2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列各数为无理数的是（）A．3 B．3.14 C． D．2．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D3．（3分）12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6名进入决赛，如果小粉知道了自己的成绩后，小粉需要知道这12位同学的成绩的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差4．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）分式方程＝的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣36．（3分）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AD＝5，BD＝6，△BOC的周长为（）A．13 B．16 C．18 D．217．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，E是AC上的一点，垂足为D，若AD＝4（）A． B． C． D．38．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上（4，3），将菱形ABCD向右平移m个单位，使点D刚好落在反比例函数y＝（x＞0），则m的值为（）A．5 B．6 C． D．9．（3分）如图，在塔前的平地上选择一点A，由A点看塔顶的仰角是α，由B点看塔顶的仰角是β．若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m，AB＝9m，β＝50°，则塔的高度大约为（）（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）A．55.5 B．54 C．46.5 D．4510．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1），经过点（2，0），其对称轴是直线x＝；②关于x的方程ax2+bx+c＝a无实数根；③当x＞0时，y随x增大而减小（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是．12．（3分）因式分解：4x3﹣x＝．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，若CD＝3cmcm．14．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是．15．（3分）如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到▱AB′C′D′（点B与点B′是对应点，点C与点C′是对应点，点D与点D′是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C＝．16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，则DH的取值范围是．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x2+6x+5＝0．18．（4分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC和∠ABC．求证：AD＝CD19．（6分）已知T＝．（1）化简T；（2）已知反比例函数y＝的图象经过点A（a﹣1，a+1），求T的值．20．（6分）“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．（1）为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：调查总人数2050100200500参加“半程马拉松”人数7173158150参加“半程马拉松”频率0.350.340.310.290.30已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为人；（2）本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法21．（8分）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个（1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；（2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？22．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x+a）（x﹣3a）（a＞0）的图象与x轴交于A（点A在点B的右侧），与y轴交于点E．（1）尺规作图：作抛物线的对称轴，交x轴于点D，并标记抛物线的顶点C，且AE与对称轴相交于点F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，若AO＝2OE23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC＝12，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．24．（12分）如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD＝4，，．矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，AC，AF．（1）求证：△ABG∽△ACF；（2）当CE的长度最大时，①求BG的长度；②在△ACF内是否存在一点P，使得的值最小？若存在，求；若不存在，请说明理由．25．（12分）已知二次函数y＝ax2+2ax+c图象与x轴交于点A和点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求点A的坐标；（2）若点D是直线BC上方的抛物线上的一点，过点D作DE∥y轴交射线AC于点E，过点D作DF⊥BC于点FDF﹣DE的最大值及此时点D坐标；（3）在（2）的条件下，若点P，并且这两个点满足∠PBQ＝90°，试求点D到直线PQ的最大距离．

2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列各数为无理数的是（）A．3 B．3.14 C． D．【解答】解：3是整数，3.14，，它们都不是无理数；2是无限不循环小数；故选：C．2．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．3．（3分）12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6名进入决赛，如果小粉知道了自己的成绩后，小粉需要知道这12位同学的成绩的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【解答】解：由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．与不能合并；B．2×3，所以B选项不符合题意；C．4与，所以C选项不符合题意；D．﹣＝6﹣＝．故选：D．5．（3分）分式方程＝的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3【解答】解：＝，方程两边都乘x（x﹣3）得：2x＝x﹣3，解得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，x（x﹣8）≠0，∴x＝﹣3是原方程的解．故选：D．6．（3分）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AD＝5，BD＝6，△BOC的周长为（）A．13 B．16 C．18 D．21【解答】解：∵▱ABCD的两条对角线交于点0，AC＝10，AD＝5，∴BO＝DO＝6，AO＝CO＝5∴△BOC的周长为：BO+CO+BC＝3+3+3＝13．故选：A．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，E是AC上的一点，垂足为D，若AD＝4（）A． B． C． D．3【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，∴BC＝＝＝6，∵ED⊥AB于点D，AD＝4，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝＝＝，∴AE＝AB＝，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣5＝3，∴BE＝＝＝3，故选：A．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上（4，3），将菱形ABCD向右平移m个单位，使点D刚好落在反比例函数y＝（x＞0），则m的值为（）A．5 B．6 C． D．【解答】解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（4，3），∴FO＝8，DF＝3，∴DO＝5，∴AD＝2，∴A点坐标为：（4，8），∴xy＝2×8＝32，∴k＝32；（2）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（4+m．代入y＝，得到6＝．即菱形ABCD平移的距离为＝个单位长度．故选：C．9．（3分）如图，在塔前的平地上选择一点A，由A点看塔顶的仰角是α，由B点看塔顶的仰角是β．若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m，AB＝9m，β＝50°，则塔的高度大约为（）（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）A．55.5 B．54 C．46.5 D．45【解答】解：如图：由题意得ED＝BF＝AG＝1.5m，∵α＝45°，CE⊥EG，∴∠ECG＝α＝45°，∴CE＝GE，设CE＝GE＝xm，则EF＝（x﹣4）m，在Rt△CEF中，tanβ＝tan50°＝＝，即2.2，解得x＝54，∴CD＝CE+ED＝54+1.8＝55.5（m），答：塔的高度大约为55.5m．故选：A．10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1），经过点（2，0），其对称轴是直线x＝；②关于x的方程ax2+bx+c＝a无实数根；③当x＞0时，y随x增大而减小（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴点（8，0）关于直线x＝，0），∵c＞1，∴抛物线开口向下，∴a＜7，∵﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，∴顶点在x轴的上方，∵a＜3，∴抛物线与直线y＝a有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y随x增大而减小；∵﹣＝，∴b＝﹣a，∴a+b＝6，故④正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是x≥﹣4．【解答】解：由题可知，x+4≥0，解得x≥﹣8．故答案为：x≥﹣4．12．（3分）因式分解：4x3﹣x＝x（2x+1）（2x﹣1）．【解答】解：4x3﹣x＝x（7x2﹣1）＝x（5x+1）（2x﹣7），故答案为：x（2x+1）（8x﹣1）．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，若CD＝3cm6cm．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AC＝2CD＝6cm，故答案为：3．14．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤且k≠1．【解答】解：由题意知：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×3（k﹣5）＝16﹣12k≥0且k﹣1≠2，解得：k≤且k≠2．则k的取值范围是k≤且k≠2．故答案为：k≤且k≠3．15．（3分）如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到▱AB′C′D′（点B与点B′是对应点，点C与点C′是对应点，点D与点D′是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C＝105°．【解答】解：由旋转可知，AB＝AB′，∠BAB′＝30°，∴∠ABB′＝∠AB′B＝．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105°．16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，则DH的取值范围是﹣1≤DH≤2．【解答】解：如图1，点F与点D重合，∵正方形ABCD的边长为2，∴DA＝AB＝4，由折叠得DH＝FH＝FA＝DA＝2，∴DH的最大值为2；如图5，连接DE，∵E为AB的中点，∴HE＝AE＝BE＝AB＝3，∵∠A＝90°，∴DE＝＝＝，∴DH+HE≥DE，∴DH+1≥，∴DH≥﹣1，∴DH的最小值为﹣1，∴DH的最值范围是﹣4≤DH≤2，故答案为：﹣8≤DH≤2．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x2+6x+5＝0．【解答】解：（x+1）（x+5）＝5，x+1＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣5．18．（4分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC和∠ABC．求证：AD＝CD【解答】证明：∵BD平分∠ADC和∠ABC，∴∠ADC＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA）．∴AD＝CD，AB＝CB．19．（6分）已知T＝．（1）化简T；（2）已知反比例函数y＝的图象经过点A（a﹣1，a+1），求T的值．【解答】解：（1）T＝＝﹣＝；（2）∵反比例函数y＝的图象经过点A（a﹣1，∴（a﹣7）（a+1）＝，∴T＝＝．20．（6分）“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．（1）为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：调查总人数2050100200500参加“半程马拉松”人数7173158150参加“半程马拉松”频率0.350.340.310.290.30已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为6000人；（2）本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法【解答】解：（1）由表格可知，随调查总人数的增加，∴本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为20000×0.30＝6000（人）．故答案为：6000．（2）将2名初中生分别记为A，B，4名高中生记为C，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的结果有：AB，共2种，∴恰好录取7名初中生志愿者的概率为＝．21．（8分）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个（1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；（2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？【解答】解：（1）设购进甲种圆规的单价是x元，乙种圆规的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：购进甲种圆规的单价是10元，乙种圆规的单价是8元；（2）设这个文具店购进m个甲种圆规，则购进（100﹣m）个乙种圆规，根据题意得：（15﹣10）m+（12﹣6）（100﹣m）≥480，解得：m≥80，∴m的最小值为80．答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．22．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x+a）（x﹣3a）（a＞0）的图象与x轴交于A（点A在点B的右侧），与y轴交于点E．（1）尺规作图：作抛物线的对称轴，交x轴于点D，并标记抛物线的顶点C，且AE与对称轴相交于点F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，若AO＝2OE【解答】解：（1）按要求作AB的中垂线即为抛物线的对称轴，再按要求作图如下：（2）对于y＝﹣（x+a）（x﹣6a），y＝a3＝OE，令y＝﹣（x+a）（x﹣7a）＝0，解得：x＝﹣a或3a，则OA＝5a，∵AO＝2OE，即3a＝8×a7，解得：a＝0（舍去）或2，则点A的坐标为：（8，0），3），8），则CD＝4＝AD，故∠CAD＝45°，由点A、E的坐标得x+3，当x＝2时，y＝3D＝2，则AF＝＝＝2．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC＝12，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．【解答】解：（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，∵AB＝AC，OB＝OC，∴A，O在线段BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC，又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC．（2）延长CD交⊙O于E，连接BE，∵∠EBC＝90°，BC⊥BE，∴∠E＝∠BAC，sin∠E＝sin∠BAC，∴＝，CE＝，∴BE＝＝8CE＝5，∵AH⊥BC，∴BE∥OA，∴＝，即＝，解得：OD＝，∴CD＝5+＝，∵BE∥OA，即BE∥OH，∴OH是△CEB的中位线，∴OH＝BE＝4BC＝3，∴AH＝5+4＝9，在Rt△ACH中，AC＝＝．24．（12分）如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD＝4，，．矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，AC，AF．（1）求证：△ABG∽△ACF；（2）当CE的长度最大时，①求BG的长度；②在△ACF内是否存在一点P，使得的值最小？若存在，求；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，CD＝AB＝，AD＝4，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AC＝8，∴∠BAC＝30°，＝＝，∵AG＝AE＝2，∴AF＝＝8，∴＝＝，∠EAF＝∠FAG＝30°，∵∠FAG＝∠FAC+∠CAG＝30°，∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝30°，∴∠FAC＝∠BAG，∴△ABG∽△ACF；（2）解：①如图2，AC+AE≥CE，A，E三点共线时，CE的长度最大，由（1）知BC＝4，AC＝8，EF＝7，∴CF＝＝＝4，＝，∴BG＝CF×＝2．解：②如图3，将AP绕着点A顺时针旋转30°AP，根据△APK边角关系，可得PK＝AP；同理将AF绕着点A顺时针旋转30°，得到ALAF，根据旋转，可得∠PAF＝∠KAL，根据两边对应成比例且夹角相等可得：△APF∽△AKL，∴KL＝PF，∵CP+PK+KL≥CL，即CP+AP+，∴当C，P，K，L四点共线时，由题意可知∠LAC＝150°，AF＝4，AL＝4，可得∠LA