2023湖北省鄂州市中考数学真题试卷和答案

鄂州市2023年初中学业水平考试数学试题学校：___________考生姓名：___________准考证号：___________注意事项：1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．·祝考试顺利·一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1.10的相反数是（

）A.－10

B.10

C.

110

D.

1102.下列运算正确的是（）A.a2a3a5

B.a2a3a5

C.a2a3a5

D.

a2a

53.中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（）A.14107

B.1.4108

C.0.14109

D.1.41094.下列立体图形中，主视图是圆的是（）A.

B.

C.

D.5.如图，直线ABCD，GEEF于点E．若BGE60，则EFD的度数是（）试卷

133A.60

B.30

C.40

D.70xa26.已知不等式组x1b

的解集是1x1，则ab2023（）A.0

B.1

C.1

D.20237.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点2,1的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（）A.yx1

B.yx1

C.y2x1

D.y2x18.如图，在ABC中，ABC90，ACB30，AB4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（）A.53

33

B.534

C.532

D.10329.如图，已知抛物线yax2bxca0的对称轴是直线x1，且过点1,0，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①ab0；②4a2bc0；③3ac0；④若Ax1,y1，Bx,y（其中xx）是抛物线上的两点，且xx2，则yy，其中正确的选项是（）22121212试卷

2A.①②③

B.①③④

C.②③④

D.①②④10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OAOB35，点C为平面内一动点，BC

32

，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA1:2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）3655

3B.

5,

65

,

6D.

5,

125

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）11.计算：16=_______．12.为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是___________．13.实数m，n分别满足m23m20,n23n20，且mn，则

1m

1的值是_______．n14.如图，在平面直角坐标系中，ABC与△ABC位似，原点O是位似中心，且111

ABAB

3．若11A9,3，则A点的坐标是___________．1试卷

3A.,55612C.5555A.,55612C.555515.如图，在平面直角坐标系中，直线ykxb与双曲线y112

k

1

2

0）相交于A2,3，Bm,2两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则ABP的面积是___________．16.2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE:EQ3:2，则

OPOE

的值是___________．三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72分）17.先化简，再求值：

a1a21a21

，其中a2．18.如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AEAD．试卷

42（其中kkx2（其中kkx（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作DAE的平分线

AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．19.为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）九（1）班共有________名学生；（2）补全折线统计图；（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．20.鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tanDAB

43

；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GFFB）．试卷

5（1）求自动扶梯AD的长度；（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）21.1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：（1）a___________，b___________；（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？»长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．试卷

622.如图，AB为22.如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CDAE，交AE的延（1）求证：CD是O的切线；（2）若DE1，DC2，求O的半径长．23.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究yax2a0型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点

14a

的距离PF，始终等于它到定直线l：y

14a

的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y

14a

叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH2OF

12a

．例如，抛物线y2x2，其焦点坐标为

1188

14

．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y【技能训练】

14

x2的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；（2）如图2，已知抛物线y求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线y

1414

x2上一点Px,yx0到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，000x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y1x3交y轴于点C，抛物2线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1d2的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线ax2a0平移至yaxh2ka0．抛物线

14a

，直线

14a

且与x轴平行．当动点P在试卷

7F0,F0,，准线方程为l：y，其中PFPN，FHF0,F0,，准线方程为l：y，其中PFPN，FH2OFyyaxh2ka0内有一定点Fh,kl过点Mh,k该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛1物线

258

的距离等于点P到直线l：

y

238

的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点

32

P是抛物线y

14

x21上一动点，当POPD取最小值时，请求出POD的面积．24.如图1，在平面直角坐标系中，直线ly轴，交y轴的正半轴于点A，且OA2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．（1）请直接写出点A的坐标；（2）如图2，若动点B满足ABO30，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CPAB时，求线段DQ的长；（3）如图3，若动点B满足

ABOA

2，EF为OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；（4）如图4，OC平分

AOB交AB于点C，ADOB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，ODE，OAC的周长分别为

C1

，

C

2，

C3．试探究：在B点的运动过程中，当2cc12c3试卷

118

时，请直接写出点B的坐标．

8y2x123y2x123上的动点P到点F1,D1,是第二象限内一定点，点鄂州市2023年初中学业水平考试数学试题学校：___________考生姓名：___________准考证号：___________注意事项：1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．·祝考试顺利·一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1.10的相反数是（

）A.－10

B.10

C.

110

D.

110【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义直接求解．【详解】解：10的相反数是－10．故选：A．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键．2.下列运算正确的是（）A.a2a3a5

B.a2a3a5

C.a2a3a5

D.

a2a

5【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些公式进行运算即可．【详解】A选项，a2和a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；B选项，a2a3a5，正确，故符合题意；试卷

933C选项，a2¸a3=a-1，不正确，故不符合题意；3

6，不正确，故不符合题意．故选：B【点睛】本题考查整式的运算，属于基础题，熟练掌握同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些运算法则是解题的关键．3.中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（）A.14107

B.1.4108

C.0.14109

D.1.4109【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1

a10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数．【详解】解：1400000001.4108故选B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．4.下列立体图形中，主视图是圆的是（）A.

B.

C.

D.【答案】D【解析】【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；圆柱的主视图是矩形，不符合题意；圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；球体的主视图是圆，符合题意；故选：D．试卷

10aD选项，aaD选项，a2【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5.如图，直线ABCD，GEEF于点E．若BGE60，则EFD的度数是（）A.60

B.30

C.40

D.70【答案】B【解析】【分析】延长GE，与DC交于点M，根据平行线的性质，求出FME的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出EFD．【详解】解：延长GE，与DC交于点M，∵ABCD，BGE60，∴FMEBGE60，∵GEEF，∴EFD906030，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．xa26.已知不等式组x1b

的解集是1x1，则ab2023（）A.0

B.1

C.1

D.2023【答案】B【解析】【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得2axb1，再结合已知可得2a1，b11，然后进行计算可求出a，b的值，最后代入式子中进行计算即可解答．试卷

11xa2①【详解】解：

，解不等式①得：x2a，解不等式②得：xb1，∴原不等式组的解集为：2axb1，∵不等式组的解集是1x1，∴2a1，b11，∴a3，b2，∴ab2023322023120231，故选：B．【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．7.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点2,1的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（）A.yx1

B.yx1

C.y2x1

D.y2x1【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点1,2，试卷

12x1x1b②设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为ykxbk0，∵ykxb过点2,1和1,2，2kb∴

，k1解得

，∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为

yx1，故选A．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．8.如图，在ABC中，ABC90，ACB30，AB4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（）A.53

33

B.534

C.532

D.1032【答案】C【解析】【分析】连接OD，BD，作OHCD交CD于点H，首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用解直角三角形求出BD、CD的长度，进而得到OBD是等边三角形，BOD60，然后根据30角直角三角形的性质求出OH的长度，最后根据S阴影SACBSCODS扇形ODB进行计算即可．【详解】解：如图所示，连接OD，BD，作OHCD交CD于点H∵在ABC中，ABC90，ACB30，AB4，试卷

1312kbb12kbb1∴

BC

ABtanACB

ABtan30

43

43

，3∵点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，∴BC是半圆的直径，∴CDB90，∵ACB30，∴BD

12

BC23，CDBCcosBCD43

32

6，又∵OBOCOD

12

BC23，∴OBODBD，∴OBD是等边三角形，∴BOD60，∵OHCD，OCH30，1∴OHOC3，2∴SSS阴影ACBCOD

S

扇形ODB

114433622

6023360

532．故选：C．【点睛】本题考查了30角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．9.如图，已知抛物线yax2bxca0的对称轴是直线x1，且过点1,0，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①ab0；②4a2bc0；③3ac0；④若Ax1,y1，Bx,y（其中xx）是抛物线上的两点，且xx2，则yy，其中正确的选项是（）22121212A.①②③

B.①③④

C.②③④

D.①②④【答案】D试卷

14【解析】【分析】根据二次函数的性质可得a<0，b2a，b0，可判断结论①；由x2处的函数值可判断结论②；由x=1处函数值可判断结论③；根据x1x22得到点Ax1,y1到对称轴的距离小于点Bx,y到对称轴的距离可判断结论④．22【详解】解：二次函数开口向下，则a<0，二次函数对称轴为x1，则

b2a

1，b2a，b0，∴ab0，故①正确；∵过点1,0，∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为3,0，由函数图象可得x2时y0，4a2bc0，故②正确；x1时y0，abc0，b2a代入得：3ac0，故③错误；∵对称轴是直线x1，xx∴若121，即xx12

2时，yy，12∴当x1x22时，点Ax1,y1到对称轴的距离小于点Bx2,y2到对称轴的距离∵二次函数开口向下∴y1y2，故④正确．综上所述，正确的选项是①②④．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OAOB35，点C为平面内一动点，BC

32

，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA1:2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）试卷

15223655

3B.

5,

65

,

6D.

5,

125

【答案】D【解析】335接BD，分别过C、M作CFOA，MEOA，垂足为F、E，先证OAM∽DAC，得

0

OMCD

OAAD

23

，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证BDO∽CDF，AEM∽AFC，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C为平面内一动点，BC

32

，∴点C在以点B为圆心，

32

为半径的OB上，35在x轴的负半轴上取点D2E，∵OAOB35，试卷

0

16A.,55612C.5555【分析】由题意可得A.,55612C.5555【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点D22，，连，，连接BD，分别过C、M作CFOA，MEOA，垂足为F、∴ADODOA

952

，∴

OAAD

23

，∵CM:MA1:2，∴

OAAD

23

CMAC

，∵OAMDAC，∴OAM∽DAC，∴

OMCD

OAAD

23

，∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，∵OAOB35，OD

352

，∴BD

OB2OD2

252

152

，∴CDBCBD9，∵

OMCD

23

，∴OM6，∵y轴x轴，CFOA，∴DOBDFC90，∵BDOCDF，∴BDO∽CDF，∴

OBCF

BDCD

即35CF

152，9解得CF

1855

，同理可得，AEM∽AFC，∴

MECF

AMAC

23

ME即1855

23，试卷

1735323532解得ME

1255

，∴OE

1252

655

，，55故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）11.计算：16=_______．【答案】4【解析】【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【详解】解：原式=42=4．故答案为4．【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．12.为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是___________．【答案】90【解析】【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据．【详解】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现2次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．故答案为：90．【点睛】本题考查了众数，众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，注意：在一组数据中，众数可能不止一个．试卷

18OM2ME262565OM2ME262565125∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是，13.实数m，n分别满足m23m20,n23n20，且mn，则3【答案】2【解析】【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．【详解】解：由题可知，m和n是x23x20的两个根，所以mn3，mn2，

1m

1的值是_______．n所以

1m

1n

mnmn

32

；故答案为：

32

．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程121212

b

ca

”．14.如图，在平面直角坐标系中，ABC与△ABC位似，原点O是位似中心，且111

ABAB

3．若11A9,3，则A点的坐标是___________．1【答案】3,1【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且

ABAB

3．若A9,3，113∴位似比为，1∴

9m

331n

31

，解得m3，n1，试卷

19ax2bxc0a0的两个根分别为x和x，则xxax2bxc0a0的两个根分别为x和x，则xx，x·xa，∴A13,1故答案为：3,1【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．15.如图，在平面直角坐标系中，直线ykxb与双曲线y112

k

1

2

0）相交于A2,3，Bm,2两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则ABP的面积是___________．【答案】【解析】

152【分析】把A2,3代入到y2

k

2

m,2代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】∵直线y1k1xb与双曲线y2

k

1

2

0）相交于A2,3，Bm,2两点，∴k2232m∴k26，m3，∴双曲线的表达式为：y2

6x

，B3,2，∵过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，∴BP3，∴S

ABP

12

3(32)

152

，故答案为

152

．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．16.2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直试卷

202（其中kkx2可求得k的值，2（其中kkx2可求得k的值，再把Bx2（其中kkx角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE:EQ3:2，则

OPOE

的值是___________．【答案】

53【解析】【分析】设ECxx0，EQ2aa0，则BE3a，证明AHQCEQ，利用相似三角形的性质求出ECBH6a，可得QHa，EH3a，利用勾股定理求出BC和AQ，进而可得OQ的长，再证明QEOPGOSAS，可得OPOQ

102

a，然后根据正方形的性质求出OE，即可得出答案．【详解】解：设ECxx0，EQ2aa0，则BE3a，∵AHQCEQ90，AQHCQE，∴AHQCEQ，∴

QHQE

AHEC

，∵RtAHB≌RtBEC，∴AHBE3a，BHECx，∴QHBHBEEQx5a，∴

x5a2a

3ax

，整理得：x25ax6a20，解得：x16a，x2a（舍去），试卷

21即ECBH6a，∴QHa，EH3a，∴BC∴AC

BE2EC235a，AQAH2QH210a，2BC310a，∴OA

12

AC

3102

a∴OQOAAQ

102

a，∵四边形HEFG是正方形，∴QEOPGO，OEOG，又∵QOEPOG，∴QEOPGOSAS，∴OPOQ

102

a，又∵EG

2EH32a，∴OE

12

EG

322

a，∴

OPOE

102322

aa

53

，故答案为：

53

．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明AHQCEQ，求出EC的长是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72分）17.先化简，再求值：试卷

a1a21a21

，其中a2．

22【答案】

1a1

，

13

．【解析】【分析】根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将a2代入即可得解．【详解】解：原式

a1a21a21

a1a1a1

1a1

，当a2时，原式

121

1．3【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，约分等相关计算法则是解决本题的关键．18.如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AEAD．（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作DAE的平分线图痕迹，不写作法）；（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．

AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作【答案】（1）见解析

（2）四边形AEFD是菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出DAFAFE，结合角平分线的定义可得EFAEAF，则AEEF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】四边形AEFD是菱形；理由：∵矩形ABCD中，AD∥BC，试卷

23∴DAFAFE，∵

AF平分DAE，∴DAFEAF，∴EFAEAF，∴AEEF，∵AEAD，∴ADEF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AEAD，∴平行四边形AEFD是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．19.为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）九（1）班共有________名学生；（2）补全折线统计图；（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）

14【解析】【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；试卷

24（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．【详解】（1）20÷40%=50（人），故答案为：50；（2）50-10-20-5=15（人），补全折线统计图如图：；（3）360

1550

=108，故答案为：108；（4）列表如下：小明A

B

C

D小丽ABCD

A,AA,BA,CA,D

B,AB,BB,CB,D

C,AC,BC,CC,D

D,AD,BD,CD,D由列表可知，一共16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有，所以P（相同主题）

416

14

．【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第（1（2（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键．20.鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图区工作人员小明准备试卷

25有4种））2，有4种））2，景从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tanDAB

43

；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GFFB）．（1）求自动扶梯AD的长度；（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）【答案】（1）25米【解析】

（2）110103米【分析】（1）过D作DMAB于M，由tanDAB

43

可得

DMAM

43

，求出DM的长，利用勾股定理即可求解；（2）过点D作DNGE于N，则四边形DMFN是矩形，得NFDM，DNFM，由已知计算得出CN的长度，解直角三角形得出GN的长度，在RtAEF中求得EF的长度，利用线段的和差，即可解决问题．【小问1详解】解：过D作DM试卷

AB于M，如图：

26在RtADM中，tanDAM

DMAM

43

，∵AM15(米)，∴DM20(米)，由勾股定理得AD

AM2DM215220225(米)【小问2详解】如图，过点D作DNGE于N，∵DM

AB，GFB90∴四边形DMFN是矩形，∴NFDM20(米)，DNFMAFAM301545(米)，由题意，CNCDDN454590(米)，∵DCG45，∴tanGCN1

GNCN

，∴GN90(米)，GFGNNF9020110（米），由题意，EAF30，AF30(米)，∴tanEAF

33

EFAF

，∴EF103(米)，∴GEGFEF110103米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21.1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处试卷

27出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：（1）a___________，b___________；（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？【答案】（1）1，302（2）yx10，y12（3）10min或30min【解析】

12

x20；【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算

b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；（2）由（1）可得y1与y2函数图象的交点坐标为20,30，分别代入计算即可；（3）由题意可得y1y25或y2y15，分别计算即可．【小问1详解】解：b1020130，a302020

12

，故答案为：1，30；2【小问2详解】由（1）可得y1与y2函数图象的交点坐标为20,30，设y1k1x10，y2k2x20，试卷

28将20,30分别代入可得：3020k110，3020k220解得：k11，k2

12

，∴y1x10，y2

12

x20；【小问3详解】由题意可得y1y25或y2y15，12

解得x30，11解得x10，∴当上升10min或30min时，两个气球的海拔竖直高度差为5m．【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．»长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是O的切线；（2）若DE1，DC2，求O的半径长．【答案】（1）证明见解析（2）

52【解析】【分析】（1）连接OC，根据弦、弧、圆周角的关系可证DACCAF，根据圆的性质得OACOCA，证明OC∥AD，得到OCFD90，根据切线的判定定理证明；试卷

29当y1y25时，x10当y1y25时，x10x205，yy5时，x20x105，当2222.如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CDAE，交AE的延（2）连接BC，CE，根据勾股定理得到CE5的长，根据等弧对等弦得到ECCB

5，根据圆内接四边形对角互补得ABCAEC180，推出DECABC，证明DEC∽CBA，利用相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】证明：连接OC，»∴ECCB，∴DACCAF，∵OAOC，∴OACOCA∴ÐDAC=ÐCOA∴OC∥AD，∴OCFD90，∵OC为半径，∴DC为O切线；【小问2详解】解：连接BC，CE，∵CDAD，∴ÐD=90°，试卷

30∵点C为EB的中点，∵点C为EB的中点，∵DE1，DC2，∴CECD2DE2∴ECCB，

22125，∴ECCB

5，∵AB为O的直径，∴ACB90，∵DECAEC180，ABCAEC180，∴DECABC，∴DEC∽CBA，∴∴

DEBC15

CEAB5AB

，，∴AB5，AO

12

AB

52∴O的半径长为

52

．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．23.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究yax2a0型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点

14a

的距离PF，始终等于它到定直线l：

y

14a

的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y

14a

叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH2OF

12a

．例如，抛物线y2x2，其焦点坐标为试卷

1188

14

．

31∵D是BC的中点，F0,F0,，准线方程为l：y，其中PF∵D是BC的中点，F0,F0,，准线方程为l：y，其中PFPN，FH2OF【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y【技能训练】

14

x2的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；（2）如图2，已知抛物线y求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线y

1414

x2上一点Px,yx0到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，000x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y1x3交y轴于点C，抛物2线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1d2的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线ax2a0平移至yaxh2ka0．抛物线

14a

，直线l过点

14a

且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点到直线l的距离PP始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛1物线

258

的距离等于点P到直线l：

y

238

的距离．请阅读上面的材料，探究下题：

32

是第二象限内一定点，点

P是抛物线y

14

x21上一动点，当POPD取最小值时，请求出POD的面积．【答案】（1）0,1，y1；试卷

12

；

32yyaxh2ka0内有一yyaxh2ka0内有一定点Fh,kMh,kPy2x123上的动点P到点F1,（4）如图4，点D1,（2）2,（3）251（4）

98【解析】【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得x28y22y1，然后根据y0000

1

x2，求出y，0进而可得x，问题得解；0（3）过点P作PE直线m交于点E，过点P作PG准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PGPFd1，PEd，根据两点之间线段最短可得当F，P，E三点共线时，dd的值最1212小；待定系数法求直线PE的解析式，求得点P的坐标为51,

352m的交点，求得点E的坐标为4,1，即可求得d和d的值，即可求得；12（4）根据题意求得抛物线y

14

x21的焦点坐标为F0,0，准线l的方程为y=2，过点P作PG准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PGPF，则POPDPGPD，根据两点之间线段最短可得当D，P，积．【小问1详解】

1324解：∵抛物线y

14

14∴

14a

1，

14a

1，∴抛物线y

14

x2的焦点坐标为0,1，准线l的方程为y1，故答案为：0,1，y1；【小问2详解】解：由（1）知抛物线y

14

x2的焦点F的坐标为0,1，∵点Px0,y0x00到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，试卷

3340，根据点E是直线PE和直线G三点共线时，POPD的值最小；求得P40，根据点E是直线PE和直线G三点共线时，POPD的值最小；求得P,，即可求得POD的面x2中a，∴x2y123y，整理得：x0001又∵y-10x2，40-860

2

8y22y1，00∴4y8y00

2

2y10解得：y0

12

或y0

14

（舍去），∴x0

2，

12

；【小问3详解】解：过点P作PE直线m交于点E，过点P作PG准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PGPFd1，PEd，如图：12若使得d1d2取最小值，即PFPE1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PFPE1EF1，即此刻dd的值最小；12∵直线

12将F0,1代入解得：b1，∴直线PE的解析式为

1yx1，2∵点P是直线PE和抛物线y

14

x2的交点，令

14

1x2x1，解得：x51，x51（舍去），12故点P的坐标为

51,

352∴d1试卷

352

，

340∴点P的坐标为2,PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为yxb，2，0∴点P的坐标为2,PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为yxb，2，∵点E是直线PE和直线m的交点，令

1x12

12

x3，解得：x4，故点E的坐标为4,1，∴d2

4

23

5

21

5552

，dd12

352

5552

251．即d1d2的最小值为251．【小问4详解】解：∵抛物线y

14

x21中a

14

，∴

14a

1，

14a

1，∴抛物线y

14

x21的焦点坐标为F0,0，准线l的方程为y=2，过点P作PG准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PGPF，则POPDPGPD，如图：若使得POPD取最小值，即PGPD的值最小，故当D，P，G三点共线时，POPDPGPDDG，即此刻POPD的值最小；如图：∵点D的坐标为

32∴点P的横坐标为1，代入y试卷

14

3x21解得y，4

355121,，DG准线l，5121,，DG准线l，即

1324

32

34

94

，则POD的面积为S

POD

19124

98

．【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．24.如图1，在平面直角坐标系中，直线ly轴，交y轴的正半轴于点A，且OA2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．（1）请直接写出点A的坐标；（2）如图2，若动点B满足ABO30，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CPAB时，求线段DQ的长；（3）如图3，若动点B满足

ABOA

2，EF为OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；（4）如图4，OC平分AOB交AB于点C，ADOB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，ODE，OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当2cc12c

118时，请直接写出点B的坐标．3【答案】（1）(0,2)（2）31（3）(4,0)或(

203

,0)（4）(23,2)【解析】【分析】1）根据OA2，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；试卷

36P,，OP（P,，OP（（2）根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出BC

3，QB2，再过点D作DHAB，得出CHDH