2024年中考数学总复习：数与式综合复习-知识讲解（提高）

2024中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】(1)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算；（2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；（3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的有关概念、性质1．实数及其分类实数可以按照下面的方法分类：实数还可以按照下面的方法分类：要点诠释：整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称实数．2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．要点诠释：实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础．3．相反数实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零．一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．要点诠释：两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数．4．绝对值一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．要点诠释：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数．5．实数大小的比较（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．（2）正数都大于0；负数都小于0，两个负数绝对值大的那个负数反而小.（3）对于实数要点诠释：常用方法：①数轴图示法；②作差法；③作商法；④平方法等.6．有理数的运算(1)运算法则(略)．(2)运算律：加法交换律a+b＝b+a；加法结合律(a+b)+c＝a+(b+c)；乘法交换律ab＝ba；乘法结合律(ab)c＝a(bc)；分配律a(b+c)＝ab+ac．(3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．算式里如果有括号，先进行括号内的运算．如果只有同一级运算，从左到右依次运算．7．平方根如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．要点诠释：正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．8．算术平方根正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．零的算术平方根是零．要点诠释：从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数．9．近似数及有效数字近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字．10．科学记数法把一个数记成±a×的形式(其中n是整数，a是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数．考点二、二次根式、分式的相关概念、性质1．二次根式的概念形如(a≥0)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．要点诠释：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互为有理化因式；（2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；（3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.3．二次根式的主要性质（1）；（2）；（3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：.4．二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．要点诠释：二次根式的混合运算：1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.5．代数式的有关概念(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．代数式的分类：(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式．(3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式．整式包括单项式和多项式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义．6．整式的运算(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项．(2)整式的乘法：①正整数幂的运算性质：；；；(a≠0，m＞n)．其中m、n都是正整数．②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．③乘法公式：；．④零和负整数指数：在(a≠0，m，n都是正整数)中，当m＝n时，规定；当m＜n时，如m-n＝-p(p是正整数)，规定．7．因式分解（1）因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简．（2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．②运用公式法：；；③十字相乘法：．④运用求根公式法：若的两个根是、，则有：.（3）因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；②考虑所给多项式是否能用公式法分解．要点诠释：因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形.8．分式（1）分式的概念形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零．（2）分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．，．(其中M是不等于零的整式)要点诠释：分式有意义分母≠0；分式无意义分母=0；分式值为0分式值为1分式值为正分子、分母同号.分式值为负分子、分母异号.（3）分式的运算①加减法：，．②乘法：．③除法：．④乘方：（n为正整数）．要点诠释：

解分式方程的注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审——仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．【典型例题】类型一、实数的概念、运算及因式分解1．在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示．化简：|a-b|+|a-c|-|b+c|．【思路点拨】通过观察数轴得到a、b、c的符号，通过确定绝对值里的式子的符号，来去掉绝对值符号.【答案与解析】由上图可得b＜c＜0＜a，∴a-b＞0，a-c＞0，b+c＜0．∴|a-b|+|a-c|-|b+c|＝(a-b)+(a-c)-(-b-c)＝2a．【总结升华】由绝对值的定义我们知道：如果m＞0，那么|m|＝m；如果m＜0，那么|m|＝-m；如果m＝0，那么|m|＝0．要去掉绝对值符号，首先要弄清m的值是正、是负，还是零． 举一反三：【变式】阅读下面的材料，回答问题：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1，；当A、B两点都不在原点时：（1）如图1-2，点A、B都在原点的右边，；O（O（A）0bB图1-1O0O0bB图1-2aA（2）如图1-3，点A、B都在原点的左边，；（3）如图1-4，点A、B在原点的两边，．BbBbaA图1-3O0BbaBbaA图1-4O0综上，数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是．如果，那么x=．【答案】（1）3，3，4；（2）或．依据阅读材料，所获得的结论为，结合各问题分别代入求解．（1）；（2）；因为，所以，所以或．所以或．2．分解因式．（1）﹣18x2y2+9x4﹣6x3y．（2）1﹣m2﹣n2+2mn．（3）﹣a+2a2﹣a3．【思路点拨】如果多项式各项含有公因式，就先提出这个公因式，再进一步分解因式．分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止．【答案与解析】解：（1）﹣18x2y2+9x4﹣6x3y=﹣3x2（6y2﹣3x2+2xy）；（2）1﹣m2﹣n2+2mn=1﹣（m﹣n）2=（1+m﹣n）（1﹣m+n）；（3）﹣a+2a2﹣a3=﹣a（1﹣2a+a2）=﹣a（1﹣a）2．【总结升华】(1)如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出负号，使括号内的第一项系数是正数，以便于观察是否可以进一步分解因式．(2)在提取公因式时，一是要真确确定公因式，二是要注意一步到位；分解因式一定要彻底．举一反三：【变式】分解因式：=．【答案】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组，本题应采用一三分组法进行分解．原式．类型二、分式的有关运算3．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…（1）根据对上述式子的观察，你会发现，请写出□，○所表示的数；（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．【思路点拨】等式右边的第一个分母是左边的分母加1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为n，则右边第一个分母为（n＋1），第二个分母为n（n＋1）．【答案与解析】（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为，⊙表示的式为．验证：，所以上述结论成立．【总结升华】通过对三组式子的观察，不难找出规律．举一反三：【变式】若0＜x＜1，则的大小关系是()．A．B．C．D．【答案】C.4．计算．【思路点拨】在进行分式的四则运算时，一定要注意按运算顺序进行，并注意结合题目的具体情况及时化简，以便简化运算过程．【答案与解析】．【总结升华】在进行分式的四则运算时，要注意利用运算律，寻找合理的运算途径．举一反三：【变式】计算．【答案】．类型三、二次根式的运算5．已知【思路点拨】这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉a，b的符号，但可从a+b=-9，ab=12中分析得到.【答案与解析】∵a+b=-9，ab=12，∴a＜0，b＜0.【总结升华】1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.举一反三：【变式】估计×+的运算结果应在（）A.6到7之间 B.7到8之间C.8到9之间 D.9到10之间【答案】本题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即.故选C.6．若a，b为实数，且b=，试求的值.【思路点拨】本题中根据b=可以求出a，b，再对的被开方数进行配方、化简.【答案与解析】由二次根式的性质得ab＞0，当【总结升华】对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意举一反三：【变式】(1)若，且，则．(2)若，求的值．【答案】(1)3；(2)-2.类型四、数与式的综合运用7．（2014秋•延平区校级月考）如图，用相同规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，共有瓷砖块，其中白色瓷砖块，黑色瓷砖块（均用含n的代数式表示）；（2）按上述铺设方案，铺设一块这样的矩形地面共用了1056块瓷砖，求此时n的值；（3）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，则问题（2）中，共花多少元购买瓷砖？【思路点拨】（1）根据第n个图形的白瓷砖的每行有（n+1）个，每列有n个，即可表示白瓷砖的数量，再让总数减去白瓷砖的数量即为黑瓷砖的数量；（2）当y=1056时可以代入（1）中函数关系式求出n；（3）和（1）一样可以推出白瓷砖的总块数为（n+1）×n，然后可以推出黑瓷砖数目，再根据已知条件即可计算出钱数；【答案与解析】解：（1）在第n个图中，共有瓷砖（n2+5n+6）块，其中白色瓷砖（n2+n）块，黑色瓷砖（4n+6）块（均用含n的代数式表示）；（2）依题意得：n2+5n+6=1056，整理得：n2+5n﹣1050=0，解得：n=﹣35（舍去），n=30，答：此时n的值为30；（3）当n=30时4（4n+6）+3（n2+n）=4×（4×30+6）+3（302+30）=3294（元），答：共花费3294元购买瓷砖．【总结升华】考查了图形的变化规律：解决此题的关键是能够正确结合图形用代数式表示出黑、白瓷砖的数量，再根据题意列方程求解．中考总复习：数与式综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题

1.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（）A.B.C.D.2．按一定的规律排列的一列数依次为：┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（）A．B．C．D．3．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（）000110010111001111A．100，011B．011，100C．011，101D．101，1104．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是（）A．m＞nB．m＜nC．m=nD．不能确定5．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折n次后折痕的条数是（）A．2n－1B．2n＋1C．2n－1D．2n＋16．如图图案都是同样大小的小正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中有5个小正方形，第2个图形有13个小正方形，第3个图形有25个小正方形，…，按此规律，则第8个图形中小正方形的个数为（）A．181 B．145 C．100 D．88二、填空题7．若非零实数a，b满足，则=．8．已知分式，当x＝时，分式的值为0．9．在实数范围内分解因式=.10.化简：（1）当x≥0时，=；（2）当a≤0时，=；（3）当a≥0，b＜0时，=．11．德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：第一行第二行第三行第四行第五行…………根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：．12．让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n23＋1得a3；…………依此类推，则a2012=_______________．三、解答题13．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）观察图③，你能得到怎样的代数等式呢？（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）；（5）若x+y=﹣6，xy=2.75，求x﹣y的值．14．阅读下列题目的计算过程：＝（A）＝（x－3）－2（x－1）（B）＝x－3－2x＋1（C）＝－x－1（D）（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号．（2）错误的原因．（3）本题目正确的结论为．15．已知,求的值.16.设,,,…,设，求S的值(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】A；【解析】．2.【答案】D；【解析】每个分数的分子均为1，分母为或（当n为奇数时加1，当n为偶数时减1），7为奇数，因而其分母为．3.【答案】B；【解析】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011和100．4.【答案】C；【解析】设地球仪赤道半径为r，则；设地球赤道半径为R，则，所以相等．5.【答案】C；【解析】除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍．6.【答案】B；【解析】∵第1个图案中小正方形的个数为3+1+1=5；第2个图案中小正方形的个数为5+3+1+3+1=13；第3个图案中小正方形的个数为7+5+3+1+5+3+1=25；…∴第n个图形的小正方体的个数（n+1）2+n2；∴第8个图形中小正方形的个数为92+（9﹣1）2=81+64=145个．故选：B．二、填空题7．【答案】2；【解析】将原式改写为，所以，可求出b=2a．8．【答案】－1；【解析】由题意且，所以x=－1．9．【答案】；【解析】此题如果按一般方法去分解，须将展开，结果将问题复杂化了，其实原式可化为，将看成一个整体，再用公式法分解因式.10．【答案】3x；﹣a；﹣3ab【解析】解：（1）∵x≥0，∴=|3x|=﹣3x，故答案为：3x．（2）∵a≤0，∴=|a|=﹣a，故答案为：﹣a．（3）∵a≥0，b＜0，∴=|3ab|=﹣3ab，故答案为：﹣3ab．11．【答案】、、、、、；【解析】每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值．12．【答案】65；【解析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．由题目得，a1=26；n2=8，a2=65；n3=11，a3=122；看不出什么规律，那就继续：n4=5，a4=26；…；这样就发现规律：每三个为一个循环，2012÷3=670……2；即a2012=a2=65．答案为65.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），所以阴影部分的面积为（m﹣n）2；故答案为：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；故答案为：（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（4）答案不唯一：（5）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=（﹣6）2﹣2.75×4=25，∴x﹣y=±5．14.【答案与解析】（1）B；（2）去分母；（3）．15.【答案与解析】因为,所以,所以,即,所以所以16.【答案与解析】===∴S=+++…+.（利用拆项即可求和）．中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．下列说法中，正确的是()．

A．等腰梯形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等

C．矩形的对角线互相垂直D．正方形的对角线互相垂直且相等2．如图，在中，于且是一元二次方程x2+x-2=0

的根，则的周长为（）.

A．

4+B．4+

C．8+

D．2+

3.如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角

去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）.

A．

B．

C．

D．

4.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个5.（2015•蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形C．正三角形和正六边形 D．正五边形和正十边形6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝15°，则∠A′BD的度数为（）．A.15°B.20°C.25°D.30°

第6题二、填空题7.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度.8.矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为_________平方单位．9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．10.如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，

以正方形的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作

正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是__________________.

11.如图，若△ABC的边AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和的最大值为________.12.（2014秋•隆化县校级期中）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE的长为．三、解答题13.如图，过正方形ABCD的顶点作，且作，又．

求证：．

14.(2014春•武侯区期末）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求∠CBD的度数．15.（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．16（2011•营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；

（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）

【答案与解析】一．选择题1．【答案】D．2．【答案】B.【解析】解方程x2+x-2=0得：x1=-2，x2=1，

∵AE=EB=EC=a，a是一元二次方程x2+x-2=0的一个根，

∴a=1，

即AE=BE=CE=1，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴由勾股定理得：AB=，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=，AD=BC=1+1=2，

∴平行四边形ABCD的周长是2（2+）=4+2，故选B．3．【答案】A.4．【答案】B．【解析】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B．5．【答案】B.【解析】A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．故选：B．6．【答案】D.【解析】∵梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，

∴∠C=90°，∵∠A′BC=15°，

∴∠DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°，

由折叠的性质可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，

∵AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=75°，∴∠A′BD=30°．二．填空题7．【答案】30.8．【答案】64.9．【答案】20.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．故答案为：20．10．【答案】

.11.【答案】9.【解析】把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，根据旋转的性质和正方形的性质有A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，得到S△CHF=S△BCH'=S△ABC，同理：S△BDG=S△AEM=S△ABC，所以S阴影部分面积=3S△ABC=3×AB×AC×sin∠BAC，即当AB⊥AC时，S△ABC最大值为：×2×3=3，即可得到三个阴影部分的面积之和的最大值．12．【答案】1.【解析】∵△ABC等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°﹣90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°﹣45°=15°∴∠CDB=180°﹣135°﹣15°=30°，∠BDE=60°﹣30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD∴△BCD≌△BED∴BE=CB=×sin45°=1∴BE=1．三.综合题13．【解析】提示：易证菱形AEFC，∠AEB=∠ACF,设正方形边长为1，则，，做CG⊥AC,BG∥AC，即得等腰Rt△CBG,

等腰Rt△CBG中，故∠CFG=30°

∴∠ACF=30°，∠FCB=15°

∴

14．【解析】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD；∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN，∴AE∥CF；又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，则AC与EF互相垂直平分，∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），∴AC与BD互相垂直平分，∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），∴AB=BC（菱形的邻边相等）；∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），∴△ABM≌△CAM，∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠CBD=30°.15.【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．16.【解析】（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．

（2）解：（1）中的结论成立．

①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，

又PC=PC，

∴△PDC≌△PBC，∴PD=PB，

∵PE=PD，

∴PE=PB，

②：由①，得△PDC≌△PBC，

∴∠PDC=∠PBC．（7分）

又∵PE=PD，∴∠PDE=∠PED．

∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，

∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，

∴PE⊥PB．

（3）解：如图所示：

结论：①PE=PB，②PE⊥PB．中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图，在中，，是上异于、的一点，则的值

是（）．A．16B．20C．25D．30

2.如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当

时，点应运动到（）.A．处

B．处

C．处

D．处

3．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）.A.2004B.2005C.2006D.20075．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是.若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（）.

A．

B．C．

D．

6.（2015•河南一模）如图，正方形ABCD的边长为1，将长为1的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，按A→B→C→D→A的方向滑动到A停止，同时点R从点B出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到B停止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形面积为（）A． B．4﹣π C．π D．二、填空题7.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直

时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．

第7题第8题8.如图，在等腰梯形中，，=4=，=45°．直角三角板含45°角

的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点．若为等腰三角

形，则的长等于____________．

9.（2012•锦州）如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，…，AnBnBn+1Cn，按如图所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、An在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、Bn在射线OB上．若∠AOB=45°，OB1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1，S2，S3，…，Sn，则Sn=________________-．第9题第10题10.（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．11.（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为．12.（2015•武汉模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．若射线EF经过点C，则AE的长是．三、解答题13.如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A⇒B，B⇒C，C⇒D，D⇒A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S（cm2），运动时间为t（s）．

（1）试证明四边形EFGH是正方形；

（2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？

（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14.如图,在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片还原，使点D与P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。（1）当x=0时，折痕EF的长为；当点与E与A重合时，折痕EF的长为；（2）请求出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出x=2时菱形的边长：（3）令EF2为y，当点E在AD，点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似；若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。15.（2014春•青山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E、与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE（1）求证：BC=CE；（2）若DM=2，求DE的长．16.已知，以AC为边在外作等腰，其中AC=AD.（1）如图1，若，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则°；（2）如图2，若，是等边三角形，AB=3，BC=4.求BD的长；（3）如图3，若为锐角，作于H，当时，是否成立？若不成立，说明你的理由，若成立，并证明你的结论.【答案与解析】一．选择题1．【答案】A．2．【答案】C.3．【答案】C．【解析】①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；④S△ABD=AB•DE=AB•（BE）=AB•AB=AB2，即④正确．综上可得①②④正确，共3个．4．【答案】B.根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．

因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34=k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33)×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．

当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005（刀）．5．【答案】C.【解析】提示：可得A(1,1)，B(1+,1).6．【答案】D【解析】根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为0.5，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以0.5为半径的四个扇形，∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．∵正方形ABCD的面积为1×1=1，4个扇形的面积为4×=，∴点M所经过的路线围成的图形的面积为1﹣=．故选：D．二．填空题7．【答案】17.【解析】提示：当两张矩形纸条的对角线重合时，矩形纸条的一条对角线也是菱形的对角线，菱形的对角线有最大值，那么菱形的边长也有最大值。菱形的边长就成为不重叠的两个全等直角三角形的斜边，此时重叠部分的菱形有最大值.

设菱形边长为x,根据勾股定理，x²=2²+（8-x）²,解得：X=4.25，所以，周长为4×4.25=17.

8．【答案】.9．【答案】.【解析】根据正方形性质和等腰直角三角形性质得出OB1=A1B1=1，求出A1C1=A2C1=1，A2C2=A3C2=2，A3C3=A4C3=4，根据三角形的面积公式求出S1=×20×20，S2=×21×21,S3=×22×22，推出Sn=×2n-1×2n-1，求出即可．10．【答案】7.【解析】如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．11.【答案】﹣1．【解析】解：连接AE，BE，DF，CF．∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，∴AB=AE=BE，∴△AEB是等边三角形，∴边AB上的高线为：，同理：CD边上的高线为：，延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，∵AE=BE，∴点E在AB的垂直平分线上，同理：点F在DC的垂直平分线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴MN⊥AB，MN⊥DC，设F到AB到距离为x，E到DC的距离为x′，EF=y，由题意可知：x=x′，则x+y+x=1，∵x+y=，∴x=1﹣，∴EF=1﹣2x=﹣1．12．【答案】2或5．【解析】过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于M，则BH=AD=MF=，∵∠ABC=120°，AB∥CD，∴∠BCH=60°，∴CH=BM==1，设AE=x，则BE=6﹣x，在Rt△EFM中，EF==，∵AB∥CD，∴∠EFD=∠BEC，∵∠DEF=∠B=120°，∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE，∴，∴EF2=DF•BE，即（7﹣x）2+3=7（6﹣x），解得x=2或5．故答案为：2或5．三.综合题13．【解析】（1）∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同，

∴AE=BF=CG=DH，

在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

且AB=BC=CD=DA，

∴EB=FC=GD=HA，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），

∴EH=FE=GF=HG（全等三角形的对应边相等），

∠AEH=∠BFE（全等三角形的对应角相等），

∴四边形EFGH是菱形．（四条边相等的四边形是菱形），

又∵∠BEF+∠BFE=90°，

∴∠BEF+∠AEH=90°，

∴∠FEH=180°-（∠BEF+∠AEH）=90°，

∴四边形EFGH为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）．

（2）∵运动时间为t（s），运动速度为1cm/s，

∴AE=tcm，AH=（4-t）cm，

由（1）知四边形EFGH为正方形，

∴S=EH2=AE2+AH2=t2+（4-t）2

即S=2t2-8t+16=2（t-2）2+8，

当t=2秒时，S有最小值，最小值是8cm2；

（3）存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8．

∵S=S正方形ABCD，

∴2（t-2）2+8=×16，∴t1=1，t2=3；

当t=1或3时，

四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比是5：8．14．【解析】（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，

当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；

当点E与点A重合时，

∵点D与点P重合是已知条件，

∴∠DEF=∠FEP=45°，

∴∠DFE=45°，

即：ED=DF=1，

利用勾股定理得出EF=

∴折痕EF的长为；

（2）∵要使四边形EPFD为菱形，

∴DE=EP=FP=DF，

只有点E与点A重合时，EF最长为，此时x=1，

当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，

∴探索出1≤x≤3

当x=2时，如图，连接DE、PF．

∵EF是折痕，

∴DE=PE，设PE=m，则AE=2-m

∵在△ADE中，∠DAE=90°，

∴AD2+AE2=DE2，即12+（2-m）2=m2

解得m=，此时菱形EPFD的边长为．（3）过E作EH⊥BC；

∵∠OED+∠DOE=90°，∠FEO+∠EOD=90°，

∴∠ODE=∠FEO，

∴△EFH∽△DPA，

∴，

∴FH=3x；

∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；

当F与点C重合时，如图，连接PF；

∵PF=DF=3，

∴PB==2，

∴0≤x≤3-2．15．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠FEC，∠ADF=∠ECF，∵点F为边DC的中点，∴DF=CF，在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AD=CE，∴BC=CE．（2）解：如图，连接FM，∵DM平分∠ADF，AF平分∠DAB，AB∥DC，AD∥BC，∴∠DAF=∠BAF=DFN，∠ADM=∠FDM=∠AMD，∴AD=DF=AM，∴四边形AMFD是菱形，∴AF⊥DM，DN=MN=DM=1，又∵DF=FC，DC=AB=6，∴AM=3，∴AN==2，∴AF=2AN=4，∵AF=EF，∴NE=AE﹣AN=6，∴DE==．16.【解析】（1）45； （2）如图2，以A为顶点AB为边在外作=60°，并在AE上取AE=AB，连结BE和CE.∵是等边三角形,∴AD=AC，=60°.∵=60°,∴+=+.即=.∴≌. ∴EC=BD.∵=60°，AE=AB=3,∴是等边三角形，∴=60°,EB=3， ∵,∴.∵，EB=3，BC=4,∴EC=5.∴BD=5. SHAPE（3）=2成立. 以下证明：如图３，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连结EA，EC.并取BE的中点K，连结AK.∵于H，∴.∵BE∥AH,∴.∵，BE=2AH,∴.∵,∴EC=BD.∵K为BE的中点，BE=2AH,∴BK=AH.∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形.又∵,∴四边形AKBH为矩形.∴.∴AK是BE的垂直平分线.∴AB=AE.∵AB=AE，EC=BD，AC=AD,∴≌. ∴.∴.即.∵，为锐角,∴.∵AB=AE,∴.∴.∴=2.∴=2. 中考总复习：四边形综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.

2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.

3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.

4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.

5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.

6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【知识网络】【考点梳理】考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；

(2)推论：多边形的外角和是360°；

(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；

(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.

4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S菱形=ab=ch（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）.S平行四边形=ah(a为平行四边形的边，h为a上的高）.考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.

(2)不平行的两边叫做梯形的腰.

(3)梯形的四个角都叫做底角.

2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.

5.等腰梯形的判定方法：

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；

(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：

(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.

(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：

①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.【典型例题】类型一、多边形及其镶嵌1.一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个内角.少了的这个内角是_________度，他求的是_________边形的内角和.【思路点拨】一个多边形的内角和能被180°整除，本题内角和1125°除以180°后有余数，则少的内角应和这个余数互补.【答案】135；九.【解析】设这个多边形边数为n，少算的内角度数为x，由题意得：(n-2)·180°=1125°+x°，∴n=，∵n为整数，0°＜x＜180°，∴符合条件的x只有135°，解得n=9.【总结升华】多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.举一反三：【变式】（2015•眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C.【解析】∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，则这个多边形的边数是7，故选C．2．（2015•蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形C．正三角形和正六边形 D．正五边形和正十边形【思路点拨】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【答案】B.【解析】A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．故选：B．【总结升华】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．类型二、特殊的四边形【高清课堂：四边形综合复习例1】3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)判断四边形EHFG的形状；(2)在什么情况下，四边形EHFG为菱形？【思路点拨】（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，通过证明有一组邻边相等，可得平行四边形EHFG是菱形；【答案与解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥CF，AB=CD，

∵E是AB中点，F是CD中点，

∴AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AF∥CE．

同理可得DE∥BF，

∴四边形FGEH是平行四边形；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∵E是AB中点，F是CD中点，

∴BE=CF，

在△EBC与△FCB中，

∵，

∴△EBC≌△FCB，

∴CE=BF，

∠ECB=∠FBC，

BH=CH，EH=FH，平行四边形EHFG是菱形.【总结升华】本题属于综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和正方形的判定，注意找准条件，有一定的难度．举一反三：【变式】已知：如图所示，四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：PA＝EF．【答案】连结PC．因为PE⊥BC，PF⊥DC，所以∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°，所以四边形PECF是矩形，所以PC＝EF．在△ABP和△CBP中，AB＝CB，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，所以△ABP≌△CBP，所以AP＝CP．所以AP＝EF．4.（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．

求证：AE=CF．

（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．

求证：EI=FG．【思路点拨】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．

（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得