辽宁省辽阳市县第二高级中学高三数学文上学期摸底试题含解析

辽宁省辽阳市县第二高级中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种 B．72种 C．108种 D．120种参考答案：D【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开，第二类，是A、B两个学校中其中一名学生相邻，根据分类计数原理可得．【解答】解：设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2=72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有=48．根据分类计数计数原理得共有72+48=120种．故选：D．2.为了得到的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度或者向右平移个单位长度，和均为正数，则的最小值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A3.设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝()A．{－1,0,1}

B．{0,1}C．{1}

D．{0}参考答案：B4.《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月（15日），一共能织布几尺（

）A．75

B．85

C.105

D．120参考答案：D设第一天织尺，第二天起每天比前一天多织尺，由已知得，，故选D.

5.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（▲）A. B. C. D.参考答案：D略6.设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为（

）

A．

B．

C．

D．1

参考答案：B略7.等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．212 D．215参考答案：C【考点】导数的运算；等比数列的性质．【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：C．8.对于函数(其中)，选取的一组值计算

和，所得出的正确结果一定不可能是（

）

A、4和6 B、2和1

C、2和4

D、1和3参考答案：B略9.已知的取值如下表所示01342.24.34.86.7从散点图分析与的线性关系，且，则（

）A.2.2

B.2.6

C.3.36

D.1.95

参考答案：B计算，又由公式得，选B10.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，然后解不等式即可．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x﹣1，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∴f（x）=﹣f（x）=x+1，x＜0．图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数，有下列4个结论：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立．

则其中所有正确结论的序号是▲.参考答案：【知识点】分段函数的应用．B1①③④

解析：的图象如图所示：①的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取，都有恒成立，正确；②f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）≠8f（+8），故不正确；③如图所示，函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，结合图象，可得④正确．故答案为：①③④．【思路点拨】作出的图象，利用图象可得结论．12.曲线在处的切线方程是

▲

．参考答案：试题分析：因为，所以在处的切线斜率为，因此切线方程是考点：导数几何意义【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.13.若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则____________.参考答案：设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.14.等差数列中，已知，则___________．参考答案：1007略15.计算定积分________．参考答案：

14.

15.

16.16.如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为．参考答案：10【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB﹣2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．因为AB为直径，所以∠ADB=90°．在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED．所以=，即AE=．又AD=x，AB=4，所以AE=．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，4﹣＞0，解得0＜x＜2，故所求的函数为y=﹣x2+2x+8（0＜x＜2）y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，又0＜x＜2，所以，当x=2时，y有最大值10．17.函数的图象与的图象所有交点的横坐标之和等于

参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分13分)如图，已知双曲线，定点(c是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F(c，0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足(O为原点)，且A、B、D三点共线．(1)求双曲线的离心率；(2)若a＝2，过点B的直线l交双曲线的左、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN＝2，求l的方程．参考答案：19.不等式选讲

设函数f(x)＝｜x＋a｜－｜x－4｜，xR

①当a=1时，解不等式f（x）＜2；

②若关于x的不等式f(x)≤5－｜a＋l｜恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：略20.（2017?宁城县一模）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）当x＞1时，求证f（x）＞3（x﹣1）．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，解a的方程可得a的值；（2）求出f（x）的解析式，令g（x）==，求得导数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），求出导数，判断单调性，运用零点存在定理可得h（x）零点的范围，进而得到g（x）的单调性，即有g（x）的最小值，即可得证．【解答】解：（1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f′（x）=a+lnx+1．因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，所以f′（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．…（2）证明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，令g（x）==，则g′（x）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，…（9分）所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[g（x）]min=g（x0）===x0．因为x0＞3，所以x＞1时，令＞3，即f（x）＞3（x﹣1）…（12分）【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用方程思想，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用导数判断单调性以及函数零点存在定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用条件概率公式计算所求的概率值；（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A，“后两次均取到白球”为事件B，则，；所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”为；…（或）

…（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3；

…则，，，；

…所以随机变量X的分布列为：X0123P…数学期望为．…22.（本小题共14分）已知函数，．(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；(Ⅱ)求在区间上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立．参考答案：【知识点】导数的综合运用【试题解析】（Ⅰ）由，定义域为，

得．

因为函数在处取得极值，

所以，即