初中数学直角三角形基础习题含答案

第1页（共1页）直角三角形的性质一．选择题（共35小题）1．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（）A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m2．如图，等腰△ABC底边BC上的高AD等于腰AB长度的一半，则它的顶角∠BAC的度数为（）A．60° B．90° C．100° D．120°3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，CD⊥AB，垂足为D，则BD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线长为（）A．4 B．5 C．3或5 D．4或56．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点P是AC边上的动点，则BP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm8．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一组锐角和斜边分别对应相等 B．两个锐角分别对应相等 C．两组直角边分别对应相等 D．斜边和一组直角边分别对应相等9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．410．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在线段AB的垂直平分线上，若AD＝6，则CD的长为（）A．6 B．4 C．3 D．211．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：112．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（）A．8cm B．6cm C．cm D．5cm13．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B为（）A．15° B．30° C．50° D．60°14．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个锐角的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．40°15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长可能是（）A．5 B．6.2 C．7.8 D．816．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm17．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，∠A＝30°，则AC＝（）A．c B．c C．2c D．c18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．619．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED＝3，则AC的长为（）A．3 B．3 C．6 D．920．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（）A．AD＝BC B．AD＝DB C．DE＝DC D．BC＝AE21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足为E，点D是边AB的中点，AB＝20，S△CAD＝30，则DE的长度是（）A．6 B．8 C． D．922．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，如果CE＝8，则ED的长为（）A．2 B．3 C．4 D．623．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则AB的长为（）A．3 B．4 C．8 D．1024．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若AE＝4，则EC的长是（）A．4 B．3 C．2 D．125．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若AE＝1，则BE的长为（）A．2 B． C． D．126．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．则以下AE与CE的数量关系正确的是（）A．AE＝CE B．AE＝CE C．AE＝CE D．AE＝2CE28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是（）A． B．4 C． D．229．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点，若BD＝2，则AC的长是（）A．4 B．4 C．8 D．830．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3 B． C． D．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则CD等于（）A．3 B．4 C． D．32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC边的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，若AB＝16，则DE的长是（）A．8 B．6 C．4 D．233．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．26° B．38° C．42° D．52°34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（）A．2 B．3 C．2 D．535．到直角三角形的三个顶点距离相等的点（）A．是该三角形三个内角平分线的交点 B．是斜边上的中点 C．在直角三角形的外部 D．在直角三角形的内部二．填空题（共10小题）36．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝______．37．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACD＝132°，∠A＝______．38．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BCD＝60°，若BD＝3cm，则AD＝______cm．39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，垂足是点E，若BD＝8cm．则AC的长是______．40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，则∠EDB的度数为______．41．△ABC中，∠A＝24°，∠C＝66°，AC＝8cm，则AC边上的中线长为______cm．42．等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为20，则底边上的高AD的长为______．43．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为______．44．若直角三角形斜边上的高是4m，斜边上的中线是5m，则这个直角三角形的面积是______．45．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为______．三．解答题（共5小题）46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，求AB的值．47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．48．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．49．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC，垂足为E，CD＝5，DE＝4，求△ABC的面积．50．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°．（Ⅰ）求∠BCD的度数；（Ⅱ）若BD＝a，求AB的长度（用a表示）．

直角三角形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，∴DE＝BD，DF＝DC，∴DE+DF＝BD+DC＝（BD+DC）BC．∴DE+DF＝BC＝×10＝5m．故选：B．2．解：∵AD⊥BC，AD＝AB，∴∠B＝30°，∵AB＝AC，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故选：D．3．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（AAS）；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）；∴OB＝OC，OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；∴共有3对全等直角三角形，故选：C．4．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴BC＝AB＝8，∠B＝60°，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝30°，BD＝BC＝4，故选：C．5．解：当一个直角三角形的两直角边分别是6，8时，由勾股定理得，斜边＝＝10，则斜边上的中线＝×10＝5，当8是斜边时，斜边上的中线是4，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴BC＝AB＝＝2，∵点P是AC边上的动点，则当P与C重合时，BP的值最小为2，故选：B．7．解：直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm，故选：C．8．解：A、若一组锐角和斜边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，故选项A不符合题意；B、若两个锐角分别对应相等，不能证明这两个直角三角形全等，故选项B符合题意；C、若两组直角边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，故选项C不符合题意；D、若斜边和一组直角边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，故选项D不符合题意；故选：B．9．解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝2×1＝2，∵∠C＝90°，∠A＝15°，∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝2．故选：B．10．解：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DB＝DA＝6，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∴CD＝BD＝3，故选：C．11．解：∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB，∴AB＝4BD，∴AD：BD＝3：1，故选：B．12．解：设∠A、∠B、∠C分别为x、2x、3x，则x+2x+3x＝180°，解得，x＝30°，即∠A＝30°，∠C＝3x＝90°，∴AB＝2BC＝8（cm），故选：A．13．解：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，则x+2x＝90°．x＝30°．所以2x＝60°，即∠B为60°．故选：D．14．解：设一个锐角的度数为x，则另一个锐角的度数为x，则x+x＝90°，解得，x＝60°，故选：C．15．解：根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的长不能大于6．故选：A．16．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝×6＝3cm．故选：C．17．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝c，由勾股定理得，AC＝＝c，故选：B．18．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，故选：B．19．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝DB，DE⊥BC，∵∠C＝30°，∴BD＝DC＝2DE＝3，∴∠DBC＝∠C＝30°，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴AD＝BD＝3，∴AC＝DC+AD＝9，故选：D．20．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，AB＝2BC，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，故B正确，不符合题意；∵DA＝DB，BD＞BC，∴AD＞BC，故A错误，符合题意；∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠DBE＝∠DBC，又DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC，故C正确，不符合题意；∵AB＝2BC，AB＝2AE，∴BC＝AE，故D正确，不符合题意；故选：A．21．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，AB＝20，∴CD＝AD＝BD＝10，∵S△CAD＝30，CE⊥AB，垂足为E，∴S△CAD＝AD•CE＝30∴CE＝6，∴DE＝＝＝8，故选：B．22．解：∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE＝8．在Rt△BED中，∠B＝30°，BE＝8，∴ED＝BE＝4．故选：C．23．解：∵AD是∠CAB的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∴∠BAD＝∠DBA，∴∠BAD＝∠DBA＝∠CAD，∵∠C＝90°，∴∠BAD＝∠DBA＝∠CAD＝30°，∴AB＝2AC，由勾股定理得，AB2﹣AC2＝BC2，解得，AB＝4，故选：B．24．解：如图，连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，在△ABC中，∠CBE＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣90°＝30°，∴CE＝BE＝×4＝2，故选：C．25．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，∴CE＝2AE＝2，∴BE＝2．故选：A．26．解：∵CD是直角△ABC斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，同理得：∠B＝∠ACD，∴相等的角一共有5对，故选：D．27．解：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE，故选：D．28．解：连接CD，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝8，∵BD＝CD，∴∠B＝∠BCD＝30°，∴∠DCA＝60°，∵∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝BD＝AB＝4，故选：B．29．解：∵∠B＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°，∵DE是斜边AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝30°，∴∠DCB＝30°，∴DC＝2BD＝4，由勾股定理得，BC＝＝2，∴AC＝2BC＝4，故选：B．30．解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x，∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝时，PM2有最小值，最小值为，∴PM的最小值为＝．故选：D．31．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝3，∴DE＝2，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝＝，故选：C．32．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，∴BC＝AB＝8，∵DE⊥AC，∠C＝90°，∴DE∥BC，∵D是AC边的中点，∴AD＝CD，∴AE＝BE，∴DE＝BC＝4，故选：C．33．解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°．故选：D．34．解：设BE＝EC＝x，CF＝FA＝y，∵∠C＝90°，AE＝3，BF＝4，则有，解得x2＝，y2＝，∴AB＝＝＝2，故选：C．35．解：∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，∴直角三角形斜边的中点到直角三角形的三个顶点距离相等的点，故选：B．二．填空题（共10小题）36．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，∴AB＝2CD＝6cm．故答案为：6cm．37．解：∠ACD的△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝132°﹣90°＝42°，故答案为：42°．38．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BCD＝60°，BD＝3cm，∴BC＝2CD，可得：BC2﹣CD2＝4CD2﹣CD2＝9，解得：CD＝cm，∴BC＝2cm，∴AC＝cm，∴AB＝4cm，∴AD＝4﹣3＝1cm．故答案为：139．解：∵DE垂直平分AB，∴BD＝AD＝8cm，∴∠BDA＝∠BAD＝15°，∴∠ADC＝30°，又∵∠C＝90°，∴AC＝AD＝4cm，故答案为：4cm．40．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°，∵△CDE是△CDA翻折得到，∴∠CED＝∠A＝48°，在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，即48°＝42°+∠EDB，∴∠EDB＝6°．故答案为：6°．41．解：∵∠A＝24°，∠C＝66°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴AC边上的中线长为AC＝＝4（cm），故答案为：4．42．解：如图所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝（180°﹣120°）＝30°，∴Rt△ABD中，AD＝AB＝×20＝10，即底边上的高为10，故答案为：10．43．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（AB）2+1＝AB2，解得，AB＝，∵图形是一个中心对称图形，A为对称中心，∴BB′＝2AB＝，故答案为：．44．解：∵直角三角形斜边上的中线长是5m，∴斜边长为10m，∵直角三