第1讲导数的概念及其意义（解析版）

第1讲导数的概念及其意义(重点题型方法与技巧)目录类型一：导数的概念类型二：求某点处的导数值类型三：求切线方程（在型）类型四：求切线方程（过型）类型五：已知切线方程（或斜率）求参数类型六：导数与函数图象类型七：公切线问题类型一：导数的概念典型例题例题1．（2022·河北·石家庄市第二十七中学高二期中）函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A.例题2．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）某物体做自由落体运动的位移，，若，则是该物体（

）A．从1s到这段时间的平均速度 B．从0s到1s这段时间的平均速度C．在s这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度【答案】A【详解】由表示从1s到这段时间内物体的位移.为从1s到这段时间的增加量所以表示从1s到这段时间的平均速度故选：A例题3．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数的导函数为，则（

）A． B． C．2 D．8【答案】D【详解】由导数定义和，得.故选：D.例题4．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）设是可导函数，且，则___________.【答案】【详解】，，即.故答案为：同类题型归类练1．（2022·广西玉林·高二期末（理））设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（

）A． B．2a C． D．a【答案】A【详解】解：.故选：A.2．（2022·湖北襄阳·高二期末）若函数在处的导数为1，则（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3【答案】B【详解】解：若函数在处的导数为1，．则．故选：B．3．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知一物体的运动方程是的单位为的单位为），则该物体在时间段内的平均速度与时刻的瞬时速度相等，则___________.【答案】【详解】在到t+这段时间内，物体的平均速度，所以该物体在时间段内的平均速度为6,当无限趋近于0时即可得到时刻的瞬时速度即,由题意平均速度与时刻的瞬时速度相等，即,解得,故答案为：4．（2022·全国·高二课时练习）设函数在R上可导，则当d趋近于0时，趋近于______．【答案】##【详解】因为函数在R上可导，且，当时，，所以．故答案为：类型二：求某点处的导数值典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以，所以，所以，所以.故选：A例题2．（2022·青海青海·高二期末（理））已知，则等于（

）A．0 B． C．2 D．1【答案】B【详解】∵，∴，∴，∴．故选：B.例题3．（2022·广东·普宁市普师高级中学高二阶段练习）若函数，则的值为___________【答案】##【详解】因为，令，则，所以，则故答案为：同类题型归类练1．（2022·广西贵港·高二期末（理））已知为偶函数，当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】当时，，则，此时，所以．故选：A2．（2022·重庆·高三阶段练习）设函数的导函数为，且，则______.【答案】【详解】解：因为，所以，所以，所以.故答案为：类型三：求切线方程（在型）典型例题例题1．（2022·湖北·高三阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（

）A． B．1 C．0 D．【答案】B【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率为.故选：B.例题2．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数，则曲线在处的切线方程为______.【答案】【详解】，根据点斜式：故答案为:同类题型归类练1．（2022·山东省北镇中学模拟预测）曲线在点处的切线方程为________．（用一般式表示）【答案】【详解】由，得，所以切线的斜率为，所以所求的切线方程为，即.故答案为：.2．（2022·河南·高三阶段练习（理））曲线在处的切线方程是___________.【答案】【详解】，当时，，，所以切点为，切线斜率为1，所以切线方程为，即.故答案为：.类型四：求切线方程（过型）典型例题例题1．（多选）（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）过点作曲线的切线，则切线方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】.当点是切点时，此时切线的斜率为：，所以切线方程为：；当点是不切点时，设切点为，即，此时切线的斜率为：，所以切线方程为：，把点代入得：，，解得：，或舍去，所以切线方程为：，故选：BC例题2．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）求曲线过点的切线方程．【答案】或.【详解】设切点为，切线的斜率为，切线的方程为，点在切线上，，解得或，当时，切线方程为，当时，切线方程为.综上，曲线过点的切线方程是：或.同类题型归类练1．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））直线过坐标原点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设切点，，则直线的斜率为，直线方程为，代入点，得，解得，则斜率为1，故倾斜角为.故选：B.2．（2022·河南·郑州四中高二阶段练习（文））过坐标原点且与曲线相切的直线方程为__________．【答案】##【详解】设切线的切点为，对函数求导得，则切线的斜率为，所以切线方程为，将原点的坐标代入切线方程可得，则，因此，所求切线方程为，即.故答案为：.类型五：已知切线方程（或斜率）求参数典型例题例题1．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期中（文））若函数在点处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，因为函数在点处的切线与直线垂直，所以，解得，故选：A例题2．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数______．【答案】【详解】直线的斜率为：，故切线的斜率为2，，解得．故答案为：例题3．（2022·山东·微山县第二中学高三阶段练习）已知曲线的一条切线是，则实数________．【答案】1【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以，解得，．故答案为：1.同类题型归类练1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（文））直线是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b等于（

）A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2【答案】A【详解】设直线与曲线y＝lnx相切于点，由y＝lnx可得，于是有：，故选：A2．（2022·广东汕头·高三期中）已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为_____________．【答案】【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线与直线平行，对函数求导得，令，可得，则，此时，点的坐标为，因此，到直线的最小距离为.故答案为：.类型六：导数与函数图象典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知二次函数的图象如图所示，则在，两点处的导数与的大小关系为：________(填“＜”或“＞”)．【答案】＞【详解】与分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得．故答案为：＞.例题2．（2022·湖北·高二期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】过点作切线，过点作切线，连接，得到直线，由图可知，的斜率的斜率的斜率，即(2)(3)，即(3)(3)(2)(2)，故选：B．例题3．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二阶段练习（理））已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率，结合图象，可得，所以.故选：A.同类题型归类练1．（2021·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则______（填“，，，，”）【答案】【详解】由导数的几何意义可知：表示函数在处的切线斜率，表示函数在处的切线斜率，由函数的部分图象可知：函数在处的切线斜率比在处的切线斜率小，所以，故答案为：.2．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，表示两点连线的斜率，表示在处切线的斜率；表示在处切线的斜率；根据图象可知，.故选：A3．（2022·甘肃武威·高二期中（理））已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由导数的几何意义判断斜率大小，可知故选：C类型七：公切线问题典型例题例题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A．11 B．12 C． D．【答案】A【详解】解：由，得，由，解得，则直线与曲线相切于点，∴，得，∴直线是曲线的切线，由，得，设切点为，则，且，联立可得，解得，所以．∴．故选：A．例题2．（2022·广东汕头·高三阶段练习）直线是曲线和曲线的公切线，则（

）A． B． C．3 D．【答案】A【详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，，则，由，可得，则，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①，则，由，可得，，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，，②联立①②可得，故，.故选：A.例题3．（2022·内蒙古赤峰·高三开学考试（文））若直线是曲线与的公切线，则______.【答案】【详解】设与，分别相切于点，，，，，，切线方程为，，即，，，即，解得：，即.故答案为：.同类题型归类练1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习）若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数a等于（

）A． B．－ C．－ D．【答案】B【详解】由题设，的导函数为；的导函数为，设公共点为且m>0，则，，则公共点处的切线为，即；公共点处的切线为，即；因为公共点处切线相同，则，可得，则.故选：B2．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（理））若函数与的图象在一个公共点处的切线相同，则实数_________．【答案】-1或0【详解】设切点的横坐标为，根据切点在函数图象上，所以得到①，由函数得，由函数得，所