湖南省长沙市开福区第一中学2025届数学高一下期末考试试题含解析

湖南省长沙市开福区第一中学2025届数学高一下期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．等差数列的前n项和为，且，，则(

)A．10 B．20 C． D．2．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（）A． B． C． D．3．已知，，则（）A． B． C． D．4．《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，其中平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该球的体积是（）A． B． C． D．5．若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（）A． B． C． D．6．下列命题中正确的是（）A．相等的角终边必相同 B．终边相同的角必相等C．终边落在第一象限的角必是锐角 D．不相等的角其终边必不相同7．集合，，则=()A． B． C． D．8．已知等比数列的前n项和为，若，，，则（）A． B． C． D．9．如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．410．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的定义域为________12．若向量与平行．则__．13．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．14．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为_______.15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．16．如图，正方体中，的中点为，的中点为，为棱上一点，则异面直线与所成角的大小为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设全集为，集合，集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.18．已知，是实常数．（1）当时，判断函数的奇偶性，并给出证明；（2）若是奇函数，不等式有解，求的取值范围．19．数列中，，，数列满足.（1）求数列中的前四项；（2）求证：数列是等差数列；（3）若，试判断数列是否有最小项，若有最小项，求出最小项.20．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若.（1)求角；（2）若，则周长的取值范围.21．设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和同向.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：．【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2、C【解析】

由题意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），将所求式子化为b的关系式，由基本不等式可得所求最小值．【详解】直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），则[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），当且仅当时，即b，a，上式取得最小值，故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．3、C【解析】

由放缩法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.【详解】，，可得.取，，，则A、D选项中的不等式不成立；取，，，则B选项中的不等式不成立；且，由不等式的基本性质得，C选项中的不等式成立.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.4、A【解析】

根据三棱锥的结构特征和线面位置关系，得到中点为三棱锥的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解.【详解】由题意，如图所示，因为，且为直角三角形，所以，又因为平面，所以，则平面，得.又由，所以中点为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径.所以该球的体积是.故选A.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.5、B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，

∴故选B6、A【解析】

根据终边相同的角的的概念可得正确的选项.【详解】终边相同的角满足，故B、D错误，终边落在第一象限的角可能是负角，故C错误，相等的角的终边必定相同，故A正确.故选：A.【点睛】本题考查终边相同的角，注意终边相同时，有，本题属于基础题.7、C【解析】

根据交集定义直接求解可得结果.【详解】根据交集定义知：故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.8、D【解析】

根据等比数列前n项和的性质可知、、成等比数列,即可得关于的等式,化简即可得解.【详解】等比数列的前n项和为,若,,根据等比数列前n项和性质可知,、、满足：化简可得故选：D【点睛】本题考查了等比数列前n项和的性质及简单应用,属于基础题.9、B【解析】

过该圆锥顶点S的截面三角形面积最大是直角三角形，根据面积为2求出圆锥的母线长，再根据正视图求圆锥底面圆的半径，最后根据扇形面积公式求圆锥的侧面积.【详解】过该圆锥顶点S的截面三角形面积最直角三角形，设圆锥的母线长和底面圆的半径分别为，则，即，又，所以圆锥的侧面积；故选B.【点睛】本题考查三视图及圆锥有关计算，此题主要难点在于判断何时截面三角形面积最大，要结合三角形的面积公式，当，即截面是等腰直角三角时面积最大.10、B【解析】

根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值．【详解】因为，，，所以.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.【点睛】本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据反余弦函数的定义，可得函数满足，即可求解.【详解】由题意，根据反余弦函数的定义，可得函数满足，解得，即函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题主要考查了反余弦函数的定义的应用，其中解答中熟记反余弦函数的定义，列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、【解析】

由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值．【详解】由题意，向量与平行，所以，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．13、【解析】

求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．【详解】由题意，设的外心为，的外心为，则的外接圆半径，在中，因为，由余弦定理可得，所以，所以的外接圆半径，在等边中，由，所以，所以，设球心为，球的半径为，则，又由面，面，则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．14、3【解析】

可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值【详解】可行域如图所示;则可化为,由图象可知,当过点时，有最大值，则其最大值为:故答案为:3.【点睛】线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率）15、32【解析】

根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【详解】如图所示，则△ABC的面积为，即ac=2a+2c，得，得，当且仅当，即3c=a时取等号；∴的最小值为32.故答案为：32.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，属于中等题.16、【解析】

根据题意得到直线MP运动起来构成平面，可得到面，进而得到结果.【详解】取的中点O连接，，根据题意可得到直线MP是一条动直线，当点P变动时直线就构成了平面，因为MO均为线段的中点，故得到，四边形为平行四边形，面，故得到，又面，进而得到.故夹角为.故答案为.【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）化简集合，按并集的定义，即可求解；（2）得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）集合，集合，∴；（Ⅱ）由，且，∴，由题意知，∴，解得，∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合间的运算，考查集合的关系求参数，属于基础题.18、（1）为非奇非偶函数，证明见解析；（2）．【解析】

（1）当时，，计算不相等，也不互为相反数，可得出结论；（2）由奇函数的定义，求出的值，证明在上单调递减，有解，化为有解，求出的值域，即可求解.【详解】（1）为非奇非偶函数．当时，，，，因为，所以不是偶函数；又因为，所以不是奇函数，即为非奇非偶函数．（2）因为是奇函数，所以恒成立，即对恒成立，化简整理得，即．下用定义法研究的单调性；设任意，且，，所以函数在上单调递减，因为有解，且函数为奇函数，所以有解，又因为函数在上单调递减，所以有解，，的值域为，所以，即．【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数的奇偶性求参数，单调性证明及应用，以及求函数的值域，属于较难题.19、（1），，，；（2）见解析；（3）有最小项，最小项是.【解析】

（1）由数列的递推公式，可计算出数列的前四项，代入，即可计算出数列中的前四项；（2）利用数列的递推公式计算出为常数，结合等差数列的定义可证明出数列是等差数列；（3）求出数列的通项公式，可求出，进而得出，利用作商法判断数列的单调性，从而可求出数列的最小项.【详解】（1）且，，，.，，，，；（2），而，，.因此，数列是首项为，公差为的等差数列；（3）由（2）得，则.，显然，，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当且时，，即.，，所以，数列有最小项，最小项是.【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出前若干项，同时也考查了等差数列的证明以及数列最小项的求解，涉及数列单调性的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20、（1）（2）【解析】

（1）利用切化成弦和余弦定理对等式进行化简，得角的正弦值；（2）利用成正弦定理把边化成角，从而实现的周长用角B的三角函数进行表示，即周长，再根据锐角三角形中角，求得函数值域.【详解】（1）由，得到，又，所以.（2），，设周长为，由正弦定理知，由合分比定理知，即，，即.又因为为锐角三角形，所以.，周长.【点睛】对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者选定什么量为变量？然后，利用函数与方程思想，把所求的目标