浙江省台州市玉环市2024届中考五模数学试题含解析

浙江省台州市玉环市2024学年中考五模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.在=，0,—1，这四个数中，最小的数是（）

22

11

A.-B.0C.——D.-1

22

2.某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这

C.94分，96.4分D.96分,96.4分

3.下列说法:

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有（）个.

A.4B.3C.2D.1

4.在函数y=&+Q中，自变量x的取值范围是（）

A.x>0B.x<0C.x=0D.任意实数

5.制作一块3mx2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大

为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是()

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

6.如图1,在矩形ABCD中，动点E从A出发,沿A-B-C方向运动，当点E到达点C时停止运动,过点E作EF±AE

交CD于点F,设点E运动路程为x,CF=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a

A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对

7.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE±AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEFsaCAB；

@CF=2AF；③DF=DC；@tanZCAD=—.其中正确的结论有()

8.如图，点A、B、C在。O上，ZOAB=25°,则NACB的度数是()

A.135°B.115°C.65°D.50°

31

9.如图，点A,B在双曲线y=—(x>0)上，点C在双曲线y=-(x>0)上，若AC〃y轴，BC〃x轴，且AC=BC,

XX

则AB等于()

A.0B.20C.4D.30

10.如图，AB!/CD,CE交AB于点E,EF平分/BEC,交CD于F.若NECF=50，则NCEE的度数为

)

A.35°B.45°C.55°D.65°

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.分解因式：3X3-27X—.

12.某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%,则该商品每件的进价为

元.

13.反比例函数丁=々的图象经过点(1,6)和(加,—3),则.

14.如图，二次函数y=a(x-2)2+k(a>0)的图象过原点，与x轴正半轴交于点A,矩形OABC的顶点C的坐标

为(0,-2),点P为x轴上任意一点，连结PB、PC.则APBC的面积为.

15.一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是____边形.

16.如图1,在△ABC中，ZACB=90°,BC=2,NA=30。，点E,F分别是线段BC,AC的中点，连结EF.

(1)线段BE与AF的位置关系是_______,黑=_______.

BE

(2)如图2,当△CEF绕点C顺时针旋转a时((rVa<180。)，连结AF,BE,(1)中的结论是否仍然成立.如果成

立，请证明；如果不成立，请说明理由.

(3)如图3,当△CEF绕点C顺时针旋转a时(0Ya<180。)，延长FC交AB于点D,如果AD=6-26，求旋转

角a的度数.

17.计算：a6-j-a3=.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.(10分)先化简，再求值：~r±2--^(x-——),其中x=J^.

1+xx+1

19.（5分）由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200

元/台.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50

台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.完成下

列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式及售价x的取值范围；

售价（元/台）月销售量（台）

400200

250

X

（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

20.（8分）如图二次函数的图象与x轴交于点4（—3,0）和5（1,0）两点，与丁轴交于点C（0,3）,点。、。是二次函数

图象上的一对对称点，一次函数的图象经过3、D

求二次函数的解析式；写出使一次函数值大于二次函数值的X

的取值范围；若直线6。与y轴的交点为E点，连结AD、AE,求AADE的面积;

21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0)B(3,0)两点，与y轴交于

求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:;点D为抛

物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DELx轴于点E,DF〃AC交抛物线对称轴于点F,求DE+DF的最大值；①在抛

物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点

P的坐标；若不存在，请说明理由；

②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t,请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围.

22.(10分)如图，点A.F、C.D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且

AB=DE,ZA=ZD,AF=DC.

(1)求证：四边形BCEF是平行四边形,

(2)若NABC=90。，AB=4,BC=3,当AF为何值时，四边形BCEF是菱形.

E

23.（12分）2019年1月，温州轨道交通S1线正式运营，S1线有以下4种购票方式:

A.二维码过闸B.现金购票C.市名卡过闸D.银联闪付

某区居艮购K方式

JB形疏计图

/,\某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已

12T

A

知选择方式D的有200人，求选择方式A的人数.小博和小雅对A,B,C三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一

种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）.

24.（14分）已知P是。O外一点，PO交。O于点C,OC=CP=2,弦ABLOC,NAOC的度数为60。，连接PB.

,p求BC的长；求证：PB是。O的切线.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

试题分析：因为负数小于0,正数大于0,正数大于负数，所以在工，0,-I,-工这四个数中，最小的数是一1,故

22

选D.

考点：正负数的大小比较.

2、D

【解题分析】

解：总人数为6+10%=60（人），

则91分的有60x20%=12（人），

98分的有60612-15-9=18（人）,

第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是(96+96)+2=96；

这些职工成绩的平均数是(92x6+91x12+96x15+98x18+100x9)+60

=(552+1128+1110+1761+900)4-60

=5781+60

=96.1.

故选D.

【题目点拨】

本题考查1.中位数；2.扇形统计图；3.条形统计图；L算术平均数，掌握概念正确计算是关键.

3、C

【解题分析】

•••四边相等的四边形一定是菱形，.••①正确；

•••顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，.•.②错误；

•••对角线相等的平行四边形才是矩形，.••③错误；

二•经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，...④正确；

其中正确的有2个，故选C.

考点：中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定.

4、C

【解题分析】

当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.据此可得.

【题目详解】

.fx>0

解：根据题意知｛c，

[-x>0

解得：x=0,

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量

可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数

为非负数.

5、C

【解题分析】

根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可.

【题目详解】

3mx2m=6m2,

二长方形广告牌的成本是1204-6=207U/m2,

将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，

则面积扩大为原来的9倍，

,扩大后长方形广告牌的面积=9x6=541#,

,扩大后长方形广告牌的成本是54x20=1080元，

故选C.

【题目点拨】

本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

6、A

【解题分析】

由已知，AB=a,AB+BC=5,当E在BC上时，如图，可得△ABEs^ECF,继而根据相似三角形的性质可得y=-

1X2+«+5%_5；根据二次函数的性质可得-+”5"5_5=L由此可得a=3,继而可得y=-

aa2Ja23

2

-X+-X-5,把丫=工代入解方程可求得XI=N,X2=2,由此可求得当E在AB上时，y=L时，x=—,据此即可

3342244

作出判断.

【题目详解】

解：由已知，AB=a,AB+BC=5,

当E在BC上时，如图，

D尸C

；E作EF_LAE,

.,.△ABE^AECF,

.AB_CE

••一9

BEFC

•__a____5__-_x_

••一,

x-ay

.、bbQ+5.l/a+5）a+5a+51

••当x=------=-------时，-----+--------------5=一，

2a2a\2Ja23

25

解得所3,a2=y（舍去），

・128,

・・y=--xH—x—5

339

当y=L时，—=■—x2+—%—5,

4433

79

解得Xl=—,X2=—,

22

当E在AB上时，y=L时，

4

111

x=3——=—，

44

故①②正确，

故选A.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运

用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

7、A

【解题分析】

①正确.只要证明NE4C=NAC8,/45。=/4广岳=90。即可；

AEAF11AF1

②正确.由AO〃3C,推出AAE尸推出——=——，由AE=—4。=—3C,推出——=-,BPCF=2AF；

BCCF22CF2

③正确.只要证明OM垂直平分CF,即可证明；

b2aCDb历

④正确.设AE="，AB=b,贝!JAI>=2a,由△3AEs/\AOC,有—=—,BPb=~j2a,可得tanNCAD==—=.

abAD2a2

【题目详解】

如图，过。作OM〃万E交AC于N.

,四边形ABC。是矩形，J.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,：.ZEAC=ZACB.

•..5E_LAC于点F,AZABC=ZAFE=90°,：./\AEF^/\CAB,故①正确；

AEAF

'：AD//BC,：./A\AEF^/A\CBF,：.——=——.

BCCF

11AF13心

'：AE^-AD=-BC,：.——=-,：.CF=2AF,故②正确；

22CF2

,JDE//BM,BE//DM,二四边形5MOE是平行四边形，：.BM^DE^-BC,：.BM=CM,：.CN=NF.

.................2

•.•3E_LAC于点F,DM//BE,：.DN±CF,垂直平分CF,：.DF^DC,故③正确;

b2aCDbFl

设AE=a,AB=b,则AO=2a,由△3AES/\A£)C,有=—,即/tanZCAD=——=.故④正

abAD2a2

确.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助

线构造平行四边形是解题的关键.解题时注意：相似三角形的对应边成比例.

8^B

【解题分析】

由OA=OB得NOAB=NOBA=25。，根据三角形内角和定理计算出NAOB=130。，则根据圆周角定理得NP=lNAOB,

2

然后根据圆内接四边形的性质求解.

【题目详解】

解:在圆上取点P,连接以、PB.

'：OA=OB,

:.ZOAB^ZOBA=25°,

：.ZAOB=180°-2x25°=130°,

1

:.ZP=-/AOB=65°,

2

:.ZACB=180°-ZP=115°.

【题目点拨】

本题考查的是圆，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

9、B

【解题分析】

【分析】依据点C在双曲线y=L上，AC〃y轴，BC〃x轴，可设C(a,-),则B(3a,-),A(a,-),依据

XQQQ

AC=BC,即可得到』-，=3a-a,进而得出a=L依据C(1,1),B(3,1),A(1,3),即可得至ljAC=BC=2,进

aa

而得至IJR3ABC中，AB=20.

【题目详解】点C在双曲线y=，上，AC〃y轴，BC〃x轴，

X

设C(a,-),则B(3a,-A(a,-),

aaa

VAC=BC,

・3「

・・-—-=3a-a,

aa

解得a=l,(负值已舍去)

AC(1,1),B(3,1),A(1,3),

/.AC=BC=2,

.'.RtAABC中，AB=20,

故选B.

【题目点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积

是定值k,即xy=k.

10、D

【解题分析】

分析：根据平行线的性质求得NBEC的度数，再由角平分线的性质即可求得NCFE的度数.

详解：

•/NECF=50,AB//CD

NECF+NBEC=180

ZBEC=130

XVEF平分NBEC,

ZCEF=ZBEF=-ZBEC=65.

2

故选D.

点睛：本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11>3x(x+3)(x-3).

【解题分析】

首先提取公因式3x,再进一步运用平方差公式进行因式分解.

【题目详解】

3x3-27x

=3x(x2-9)

=3x(x+3)(x-3).

【题目点拨】

本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力.

一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

12、1

【解题分析】

试题分析：设该商品每件的进价为x元，则

150x80%-10-x=xxl0%,

解得x=L

即该商品每件的进价为1元.

故答案为L

点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到商品售价的等量关系.

13、-1

【解题分析】

先把点(1,6)代入反比例函数y=',求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把点(m,-3)代入即可得

x

出m的值.

【题目详解】

解：•.•反比例函数y=8的图象经过点(1,6),

X

k

6=—,解得k=6,

...反比例函数的解析式为y=-.

X

・・•点(m,・3)在此函数图象上上，

-3=—,解得m=-l.

m

故答案为-L

【题目点拨】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此

题的关键.

14、4

【解题分析】

根据二次函数的对称性求出点A的坐标，从而得出BC的长度，根据点C的坐标得出三角形的高线，从而得出答案.

【题目详解】

•.•二次函数的对称轴为直线x=2,...点A的坐标为(4,0),•.•点C的坐标为(0,-2),

...点B的坐标为(4,-2),.*.BC=4,则S.BCP=4x2+2=4.

【题目点拨】

本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型.理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键.

15、四

【解题分析】

任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度.n边形的内角和是(n-2)・180。，如果已知多边形

的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数.

【题目详解】

解：设边数为n,根据题意，得

(n-2)*180=360,

解得n=4,则它是四边形.

故填：四.

【题目点拨】

此题主要考查已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决.

16、(1)互相垂直；(2)结论仍然成立，证明见解析；(3)135。.

【解题分析】

(1)结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案；

(2)利用已知得出△BECs^AFC,进而得出N1=N2,即可得出答案；

(3)过点D作DHLBC于H,则DB=4-(6-273)=273-2,进而得出BH=若-1,DH=3-JL求出CH=BH,得

出NDCA=45。，进而得出答案.

【题目详解】

解：(1)如图1,线段BE与AF的位置关系是互相垂直；

VZACB=90°,BC=2,NA=30°,

；.AC=2百,

•.,点E,F分别是线段BC,AC的中点,

AE

—=Vr3;

BE

(2))如图2,•.•点E,F分别是线段BC,AC的中点,

11

；.EC=-BC,FC=-AC,

22

.EC_FC_1

VZBCE=ZACF=a,

.,.△BEC^AAFC,

.”=16

BEBCtan300'

.\Z1=Z2,

延长BE交AC于点O,交AF于点M

VZBOC=ZAOM,Z1=Z2

ZBCO=ZAMO=90°

ABEIAF；

(3)如图3,

A

VZACB=90°,BC=2,ZA=30°.\AB=4,ZB=60°

过点D作DHLBC于H，DB=4-（6-273）=273-2,

/.BH=V3-1,DH=3-V3,又；CH=2-（73-1）=3-73.

/.CH=BH,.♦.NHCD=45。，

.,.ZDCA=45°,a=180°-45°=135°.

17、a1

【解题分析】

根据同底数骞相除，底数不变指数相减计算即可

【题目详解】

a^aWW.故答案是a1

【题目点拨】

同底数塞的除法运算性质

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、1+V2

【解题分析】

先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.

【题目详解】

2

x(x+2)(x+x

解:原式=

l+xIx+1

x+l?

x(x+2)%2

1+xx+1

_x(x+2)X+1

1+xx2

_x+2

x

当x=0时，

原式=交兽=i+&.

V2

【题目点拨】

考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

19、（1）390,L5x,y=-5x+l（300WxW2）;⑵售价定位320元时，利润最大，为3元.

【解题分析】

(1)根据题中条件可得390,l-5x,若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根

据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值.

(2)用x表示y,然后再用x来表示出w,根据函数关系式，即可求出最大w.

【题目详解】

(1)依题意得:

400-x

y=200+50x

10

化简得：y=-5x+l.

(2)依题意有:

%>300

-5%+2200>450

解得300<x<2.

(3)由(1)得：w=(-5x+l)(x-200)

=-5x2+3200X-440000=-5(x-320)2+3.

；x=320在300SXW2内，.•.当x=320时，w最大=3.

即售价定为320元/台时，可获得最大利润为3元.

【题目点拨】

本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解

法的运用，解答时求出二次函数的解析式时关键.

20、(1)y=—(x+3)(x—1)；(2)x<—2或x>l；(3)1.

【解题分析】

(1)直接将已知点代入函数解析式求出即可；

(2)利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；

(3)分别得出EO,AB的长，进而得出面积.

【题目详解】

(1)•••二次函数与x轴的交点为4(—3,0)和5(1,0)

二设二次函数的解析式为：y=a(x+3)(x—1)

•••C(0,3)在抛物线上,

.\3=a(0+3)(0-l),

解得a=-l,

所以解析式为：y=—(x+3)(x—1)；

(2)y=-(x+3)(x-l)=-x2-2x+3,

...二次函数的对称轴为直线X=-1；

•.•点。、。是二次函数图象上的一对对称点；C(0,3)

•••。(-2,3)；

...使一次函数大于二次函数的x的取值范围为％<—2或x>1；

(3)设直线BD：y=mx+n,

m+n=0

代入B(1,0),D(-2,3)得《八।…

-2m+n=3

m=-l

解得：।,

n=l

故直线BD的解析式为：y=-x+l,

把x=0代入y=-(x+3)(x-l)得，y=3,

所以E(0,1),

AOE=1,

又・・・AB=L

11

SAADE=—xlx3----xlxl=l.

22

【题目点拨】

此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键.

1372010132

21、(1)y=-X2+2X+3；(2)DE+DF有最大值为，；(3)①存在，P的坐标为(一，一)或(一，——);②一一

239393

<t<j.

【解题分析】

(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),根据系数的关系，即可解答

(2)先求出当x=0时，C的坐标，设直线AC的解析式为y=px+q,把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式，过D

作DG垂直抛物线对称轴于点G,设D(x,-x2+2x+3),得出DE+DF=-x?+2x+3+而(x-l)=-x2+(2+710)x+3-aU，

即可解答

(3)①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点Pi,求出直线PC的解析式，再结合抛物线的解析式可求出Pi,过点

A作AC的垂线交抛物线于另一点P2,再利用A的坐标求出P2,即可解答

②观察函数图象与△ACQ为锐角三角形时的情况，即可解答

【题目详解】

解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),BPy=ax2-2ax-3a,

-2a=2,解得a=-1,

・••抛物线解析式为y=-X2+2X+3

(2)当x=0时，y=-X2+2X+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(-1,0),C(0,3)代入得

-p+q=QP=3

J，解得c,・・•直线AC的解析式为y=3x+3,如答图L过D作DG垂直抛物线对称轴于点G,设D

匕=3[4=3

VDF/7AC,

JZDFG=ZACO,易知抛物线对称轴为x=l,

ADG=x-l,DF=ViO(x-l),

DE+DF=-X2+2X+3+(x-1)=-x2+(2+)x+3-JT5，

.•.当x=l+巫，DE+DF有最大值为U

2-2

D7

答图1答图2

(3)①存在；如答图2,过点C作AC的垂线交抛物线于另一点Pi,

•.•直线AC的解析式为y=3x+3,

直线PC的解析式可设为丫=-gx+m,把C(0,3)代入得m=3,

7

y——%?+2%+3(八x——

二直线PiC的解析式为y=-1x+3,解方程组＜x=037

1。解得。或，则此时Pi点坐标为(一，

y=——%+3y=3_203

3

等)；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2,直线AP2的解析式可设为y=-1x+n,把A(-1,0)代入得n=-1,

10

y——尤?+2x+3X——

...直线PC的解析式为y=-Lx-1，解方程组＜x--\310

11，解得或＜,则此时P2点坐标为(，

33y=——x——y=0133

33y二—

9

13综上所述，符合条件的点P的坐标为(7一，2，0)或(1上0，-13-)；

93939

②-二＜t＜9.

33

【题目点拨】

此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值和作辅助线.

22、(1)见解析

7

(2)当AF=二时，四边形BCEF是菱形.

【解题分析】

(1)由AB=DE,ZA=ZD,AF=DC,根据SAS得△ABCgDEF,即可得BC=EF,且BC〃EF,即可判定四边形

BCEF是平行四边形.

(2)由四边形