专题8.4直线平面平行的判定及性质2

专题8.4直线、平面平行的判定及性质【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．知识点知识点一直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b知识点知识点二空间两直线的位置关系面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α知识点知识点三判断或证明线面平行的常用方法判断或证明线面平行的常用方法：利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 知识点知识点四平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.知识点知识点五几个唯一性定理唯一性定理：(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．常考题型剖析常考题型剖析题型一：线面平行关系的判断与证明【典例分析】例11.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（

）A． B．C． D．例12.（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．【规律方法】1.直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．2.证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．【变式训练】变式11.（2022·全国·高三专题练习）如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（）①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF．A．0 B．1 C．2 D．3变式12.（2022秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）如图，在四棱雉中，底面是正方形，，，点，分别为线段，的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.题型二：补全线面平行的条件问题例21.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：时，平面.例22.（2021秋·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.(1)求证：；(2)求证：平面；(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.【变式训练】变式21.（2022秋·北京·高三北京市回民学校校考阶段练习）设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式22.（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.(1)证明：；(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．题型三：面面平行的判断与证明【典例分析】例31.（2022秋·广西南宁·高三统考阶段练习）在如图所示的多面体中，平面，，，，点、分别为、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积．例32.（2022·全国·高三专题练习）如图：在正方体中，为的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求证：平面平面.【规律方法】证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．【变式训练】变式31.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.变式32.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.（1）证明:平面A1BD//平面CD1B1;（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.题型四：补全面面平行的条件问题例41.（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）设是两个不重合的平面，下列选项中，是“”的充要条件的是（

）A．内存在无数条直线与平行 B．存在直线与所成的角相等C．存在平面，满足且 D．内存在不共线的三个点到的距离相等例42.（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，，为的中点．(1)求证：平面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【变式训练】变式41.（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）设，为不重合的直线，，，为不重合的平面，下列是成立的充分条件的有（只填序号）.①，②，，③，④，变式42.（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．题型五：由线面平行的性质判断线线平行【典例分析】例51.（2023春·全国·高一专题练习）空间四边形中，点为边上的点，且，求证：.例52.（2023春·全国·高一期中）如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)设平面平面，求证：.【规律方法】思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.【变式训练】变式51.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱柱中，平面与棱交于点，求证：.变式52.（2023春·北京平谷·高一统考期末）三棱锥中，面，、分别是、中点，过的一个平面交面于．(1)证明：；(2)证明：．题型六：应用线面平行性质判断线段比例或点的位置【典例分析】例61.（2022·全国·高三专题练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？例62.（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式训练】变式61.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.(1)求证：；(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.变式62.（2022·全国·高三专题练习）如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．题型七：应用线面平行性质求线段长度【典例分析】例71.（2022·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN//平面A1BD则线段MN的最小值为（）A．1 B． C． D．例72.（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（

）A．1 B． C． D．【变式训练】变式71.（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，平面，则的长度为（

）A． B． C． D．2变式72.（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）在棱长为4的正方体中，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，若平面，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型八：面面平行性质及其应用【典例分析】例81.（2022·全国·高三专题练习）如图，已知，，都是平面，且，两条直线l，m分别与平面，，相交于点A，B，C和点D，E，F.已知，，，求AB，BC，EF的长.例82.（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，(1)若分别是的中点，求证：平面平面.(2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．【规律方法】1.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．2.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．【变式训练】变式81.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（

）A． B． C． D．6变式82.（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为（

）A．1 B．2 C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，平面平面，且，则()A．平面 B．平面C． D．平面平面二、多选题4．（2022秋·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考阶段练习）已知分别是三棱锥的棱上的点（不是端点），则下列说法正确的是（

）A．若直线相交，则交点一定在直线上B．若直线异面，则直线中至少有一条与直线相交C．若直线异面，则直线中至少有一条与直线平行D．若直线平行，则直线与直线平行5.（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（

）A．异面直线与成角可以为B．当为中点时，存在点，使直线与平面平行C．当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为D．存在点，使点与点到平面的距离相等三、填空题6．（2022·四川遂宁·统考一模）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）若与内的两条直线垂直，则直线与垂直.以上说法正确的是.（㝍出序号）7．（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，的中点，是线段上的动点，过M，N，E的平面截正方体所得的截面面积记为.当为线段的中点时，；当在线段（包括端点）上运动时，的取值范围是.四、解答题8.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.9.（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、都是圆柱的母线．求证：平面；10.