高中数学教案-统计

抽样方法

教学目标：了解简单随机抽样与分层抽样的概念，要求会用简单随机抽样和分层抽样这两种

常用的抽样方法从总体中抽取样本。

教学重点：会用简单随机抽样和分层抽样两种方法从总体中抽取样本

教学难点：会用简单随机抽样和分层抽样两种方法从总体中抽取样本

教学过程：

复习：

1.在统计里，我们把叫总体，其中的

一叫个体，从总体中叫一个样本，样

本中叫做样本容量«

2.从5万多名考生中随机抽取500名学生的成绩，用他们的平均成绩去估计所有考生的平均

成绩，指出：是总体，是个体，

是总体的一个样本，样本容量是。

3.我们在初中学习过一些统计知识，了解统计的基本思想方法是用样本估计总体，即通过不

是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情

况，例如，我们通常用样本平均去估计总体平均数，这样，样本的抽取是否得当，对于研究

总体来说十分关键。

那么，怎样从总体中抽取样本呢？怎样使所抽取的样本能更充分地反映总体的情况呢？

下面我们介绍两种常用的抽样方法：简单随机抽样和分层抽样。

二、新课讲授：

1.简单随机抽样：

假定一个小组有6个学生，要通过逐个抽取的方法从中取3个学生参加一项活动，第1

次抽取时每个被抽到的概率是,第2次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是—,

第3次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是一。

每次抽取时各个个体被抽到的概率是相等的，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的

概率是否确实相等？

例如，从含有6个体的总体中抽取一个容量为2的样本，在整个抽样过程中，总体中的任意

一个个体。，在第一次抽取时，它被抽到的概率是一；若它第1次未被抽到而第2次被抽

到的概率是,由于个体。第1次被抽到与第2次被抽到是(填互斥，独立)

事件，根据事件的概率—公式，在整个抽样过程中，个体。被抽到的概率P=—

。又由于个体。的任意性，说明在抽样过程中每个体被抽到的概率相等，都是—

____O

一般地，设一个总体的个体总数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取样本，且每次

抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

事实上：用简单随机抽样的方法从个体数为N的总体中逐次抽取一个容量为〃的样本，那

么每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，依次是,,二一,」一,……——-——，且

NN-1N-2TV-(w-l)

在整个抽样过程中每个个体被抽到概率都等于！n。

N

由于简单随机抽样体现了抽样的客观性和公平性，且这种抽样方法比较简单，所以成为

一种基本的抽样方法。如何实施简单抽样呢？下面介绍两种常用方法

(1)抽签法

先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N）,并把号码写在形状、大小相同的号签上,

号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌,

抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取“次，就得到一个容量为〃的样本，对个体编号

时，也可以利用已有的编号，例如从全班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号

等。

抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。

（2）随机数表法

下面举例说明如何用随机数表来抽取样本。

为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检查，在利用随机数表抽取这

个样本时，可以按下面的步骤进行:

第一步,先将40件产品编号，可以编为00,01,02,…,38,39。

第二步，在附录1随机数表中任选一个数作为开始，例如从第8行第5列的数59开始，为

便于说明，我们将附录1中的第6行至第10行摘录如下。

16227794394954435482173793237887352096438426349164

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695556719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

57608632440947279654491746096290528477270802734328

第三步，从选定的数59开始向右读下去，得到一个两位数字号码59,由于59>39,将它去

掉；继续向右读，得到16,将它取出；继续下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21,随后的

两位数字号码是12,由于它在前面已经取出，将它去掉，再继续下去，得到34。至此，10

个样本号码己经取满，于是，所要抽取的样本号码是

16191012073938332134

注将总体中的N个个体编号时可以从0开始，例如N=100时编号可以是00,01,02,…

99,这样总体中的所有个体均可用两位数字号码表示，便于运用随机数表。

当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。

在上面每两位、每两位地读数过程中，得到一串两位数字号码，在去掉其中不合要求和

与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号

码。由于随机数表中每个位置上出现哪一个数字是等概率的，每次读到哪一个两位数字号码，

即从总体中抽到哪一个个体的号码也是等概率的。因而利用随机数表抽取样本保证了各个个

体被抽取的概率相等。

2.分层抽样

一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50

岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名

职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

为了使抽出的100名职工更充分地反映单位职工的整体情况，在各个年龄段可按这部分

职工人数与职工总数的比进行抽样。

因为抽取人数与职工总数的比为100:500=1：5

所以在各年龄段抽取的职工人数依次是手,一|^,木，即25,56,19

在各个年龄段分别抽取时，可采用前面介绍的简单随机抽样的方法，将各年龄段抽取的

职工合在一起，就是所要抽取的100名职工。

像这样当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，

常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽取叫做分层抽样，其中所

分成的各部分叫做层。

可以看到，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体

数的比，分层抽样时，每一个个体被抽到的概率都是相等的。

由于分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可

以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着广泛的应用。

以上我们简单介绍了简单随机抽样和分层抽样，这两种抽样方法的共同特点是：在整个

抽样过程中每个个体被抽取的概率相等。简单随机抽样是最基本的抽样方法，当总体由差异

明显的几部分组成，采取分层抽样时，其中各层的抽样常采用简单随机抽样。

小结：了解简单随机抽样与分层抽样的概率，会用简单随机抽样与分层抽样从总体中抽取

样本。

作业：

1.某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2：3：5,现要

用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，这3个区分别应抽取多少人？

2.要从全班学生中随机抽选8人去参加一项活动，分别用抽签法和随机数表法进行抽选

并写出过程。

抽样方法习题课4月22日

教学目的：会用简单随机抽样和分层抽样从总体中抽取样本

教学重点：简单随机抽样和分层抽样的应用

教学难点：对抽样中的“随机”、“估计”的思想的理解

教学过程：

一、复习回顾

1、采用简单随机抽样时，常用的方法有、.

2、当总体由差异明显的几部分组成时，通常采用方法抽取样本.

3、某农场在三块地种有玉米，其中平地种有150亩，河沟地种有30亩，坡地种

有90亩，估产时，可按照的比例从各块地中抽取样本.

4、某学校有教师160人，后勤服务人员40人，行政管理人员20人，要从中抽

选22人参加学区召开的职工代表大会，为了使所抽的人员更具有代表性，分别

应从上述人员中抽选教师人，后勤服务人员人，行政管理人员

_____人.

二、例题解析

例1：说明在以下问题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么：

（1）为了了解某学校在一个学期里每天的缺席人数，统计了其中15天里每天

的缺席人数

（2）为了了解某地区考生（20000名）的高考数学平均成绩，从中抽取了1000

名考生的成绩.

例2：欲从全班45名学生中随机抽取10名学生参加一项社区服务活动，试用随

机数表法确定这10名学生.

评注：利用随机数表法抽取样本时，从第几行的第几个数开始，按照什么方向取

数都完全是任意的。

例3：某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查

的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：

很喜爱喜爱一般不喜爱

2435456739261072

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出60人进行更为详细的

调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出多少人？

评注：分层抽样的两个步骤：①先求出样本容量与总体的个数的比值；②按比例

分配各层所要抽取的个体数。但应注意有时计算出的个体数可能是一个近

似数，这并不影响样本的容量.

三、课堂练习

1、为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下

列说法正确的是（）

A总体是240B个体是每一个学生

C样本是40名学生D样本容量是40

2、为了考察一段时间内某路口的车流量，测得每小时的平均车流量是576辆，

所测时间内的总车流量是11520辆，那么，此问题中，样本容量是

3、为了解初一学生的身体发育情况，打算在初一年级10个班的某两个班按男女

生比例抽取样本，正确的抽样方法是（）

A随机抽样B分层抽样

C先用抽签法，再用分层抽样D先用分层抽样，再用随机数表法

4、从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整

个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽

到的概率是

A-B-C-D-

5、某大专共有全日制学主15000人，其帝专科生378?人、本科生9874人、研

究生1338人，现为了调查学生上网查找资料的情况，欲从中抽取225人，为

了使样本具有代表性，各层次学生分别应抽出多少人才合适？

四、课堂小结

1、抽样的两种方法：简单随机抽样与分层抽样

2、分层抽样的步骤：①算样本容量与总体的个数的比值；②求各层所要抽取的

个体的数目

五、课堂作业

1、为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个

问题中，200个零件的长度是（）

A总体B个体C总体的一个样本D样本容量

2、为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决

定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（）

A8B400C96D96名学生的成绩

3、一总体由差异明显的三部分数据组成，分别有m个、n个、p个，现要从中

抽取a个数据作为样本考虑总体的情况，各部分数据应分别抽取、

4、某地有2000人参加自学考试，为了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每

个考生被抽到的概率都是0.04,则这个样本的容量是

5、在不大于1的正有理数中任取100个数，在这个问题中，总体、个体、样本、

样本容量各指什么？

6、某医院在一段时间内接诊患有心脏病、高血压、癌症病人共6000人，且三类

病人之比是1：2：3,为了跟踪调查病人的恢复情况，现要用分层抽样方法从所

有病人中抽取一个容量为120的样本，每类病人分别应抽取多少人？

7、某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效

帖子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示：

很满意满意一般不满意

10800124001560011200

为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从

中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？

实习作业（4月26日）

教学目标能运用简单随机抽样、分层抽样的方法抽取样本；能通过对样本的频率分布估

计总体分布；培养学生动手能力和解决实际问题能力

教学重点抽样方法的选择；总体分布的分析

教学难点抽样方法的选择；总体分布的分析

教学过程

一、引入

大家已经知道了如何从总体中抽取样本，如何根据对样本的整理、计算和分析，对总体

的情况作出一些推断.今天就要求大家自己动手，运用所学知识解决实际问题.

二、举例

例某中学高中部共有16个班级，其中一年级6个班，二年级6个班，三年级4个班.每个

班的人数均在46人左右（44人一49人），各班的男女学生数均基本各占一半.现要调查这所

学校学生的周体育活动时间，它是指学生在一周中参加早锻炼、课间操、课外体育活动、体

育比赛等时间的总和（体育课、上学和放学路上的活动时间不计在内）.为使所得数据更加

可靠，应在所定抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作.此外还有以下具体要求：

（1）分别对男、女学生抽取一个容量相同的样本，样本容量可在40—50之间选择.

（2）写出实习报告，其中含：

全部样本数据；相应于男生样本的王与邑，相应于女生的与$2,相应于男、女全

体的样本的X:对上面计算结果作出分析.

解：（1）由于各个年级的学生参加体育活动的时间存在差异，应采用分层抽样；又由于各班

的学生数相差不多，且每班的男女学生人数也基本各占一半，为便于操作，分层抽

样时可以班级为单位.关于抽取人数，如果从每班中抽取男、女学生各3人，样本容

量各为48（3X16）,符合对样本容量的要求.

（2）实习报告如表一所示.

（3）想一想：1.如何从X],直接得出X?

2.根据上面的样本数据，还能得出什么结果？例如，二年级和三年级的学

生相比，其（与s是否存在差异？

三、练习

在本班范围内，就每名学生所在家庭的月人均用水量进行调查.调查的具体要求是：先

查得在同一月份内各家的用水量（单位以根3计），然后将它除以家庭人中数，结果保留到

小数点后第2位）；再将所得数据进行整理、计算和分析，完成下列实习报告.（表二）

四、小结抽样时需要对所抽取的统计量的具体含义加以明确的界定；当总体的个体数较

多时，对抽样方法的运用可以有一定的灵活性.

五、作业

两位同学各取一副52张的花色牌，每张牌都标有从1到13之间的一个正整数（其中A

表示1,J表示11,Q表示12,K表示13）.从这副牌中任抽1张，记下这张牌上的数，再

将这张牌放回，然后再从中任抽1张，记下牌上的数后，将这张牌放回.如此重复100次，

得到100个数.求其平均数、方差及标准差，各自列出自己的频率分布表，绘出频率分布直

方图，对比两人得出的结果，体会随机抽样的特点及内涵，写出实验报告.

附：

表一

题目调查本校学生周体育活动的时间

1.周体育活动时间，指一周中（包括双休日）参加早锻炼、课间操、课外体

育活动、体育比赛等时间的总和（体育课和上学、放学路上的活动时间不计

对抽取样

在内）.

本的要求

2.在所定抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作.

3.男、女学生的两个样本的容量相同，并在40—50之间选择.

确定抽样采用分层抽样，以班为单位，从每班中抽取男、女学生各3人，两个样本的

方法和样容量均为48,在各班抽取时，采用随机数表法.

本容量

男生女生

380500245450145620230460600110420105

样本数据

年480420520280550660580400420380180500

（单位：

级350500330600180520140450600400125540

分）

42058051017528063028038053095100570

年400150450360450330300220320250300350

级400420300500580400400360130450590230

38042023512540047020046016540075430

年

330200420280300410300220250130270340

级

男生X产，S]a

计算结果

女生x2«,s2«

男、女生全体口

计算结果从计算结果看到，在周体育活动时间方面，可以估计男生比女生略多，且波

分析动程度略小，这所学校高中学生的周体育活动时间平均约为分.

表二

题目调查本班每名学生所在家庭的月人均用水量

这里的用水量是指同一月份内各学生所在家庭的人均用水量（下

对获取数据的要求月第1天的水表数与本月第1天的水表数之差）,数据单位为机3,

结果保留到小数点后第2位.

样本数据

（单位：加）

频率分布表

频率分布直方图

样本平均数

要求讨论：通过对本问题的调查统计分析，可对全班同学所在地

统计结果的分析

区的家庭月人均用水量作出何种估计？

1.为了在所要求的时间内获取数据，调查任务就提前布置.

备注

2.实习报告可由部分同学完成，然后向全班同学报告并进行讨论.

表三

题目随机抽样的特点及内涵

对抽样的要求从52张花色牌有放回地任抽一张

样本数据

样本平均数

样本方差

样本标准差

频率分布表

频率分布直方图

计算结果分析

总体方差（标准差）的估计

教学要求：理解方差和标准差的意义，会求样本方差和标准差。

教学过程：

看一个问题：甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击20次，成绩如下:

甲786865910745656787999

乙95787686779658696877

问：派谁参加比赛合适？

一、方差和标准差计算公式：

1__一

222

样本方差：s=—（（X|一X）'+（x2-X）+-"+（xn一X））

n

样本标准差：S=J一[（%（—X）'+（X2—X）-H----F（X）（-X）-]

方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动人刁、的特征数。标准差大说明波动

大。一般的计算器都有这个键。

例一、要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平

均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了

15次比赛，得到如下数据：（单位：cm）：

甲755752757744743729721731778768761773764736741

乙729767744750745753745752769743760755748752747

如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？

Xn®®

S甲2

S乙2

说明：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定

程度。

二、练习:

甲658496

乙876582

根据以上数据，说明哪个波动小？

2、从甲乙两个总体中各抽取了一个样本:

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根据上述样本估计，哪个总体的波动较小？

3、甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下:

甲7868659107456678791096

乙95787686779658696877

问谁射击的情况比较稳定？

三、作业：

1、为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下:

甲12131415101613111511

乙111617141319681016

哪种小麦长得比较整齐?

2、某农场种植的甲乙两种水稻，在连续6年中各年的平均产量如下:

品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲6.756.96.756.386.836.9

乙6.687.27.136.386.456.68

哪种水稻的产量比较稳定？

总体分布的估计（4月24日）

教学目标通过统计案例，会用样本频率分布估计总体分布

教学重点用样本频率分布估计总体分布

教学难点频率分布表和频率分布直方图的绘制

教学过程

一引入

在统计中，为了考察一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情

况去估计总体的相应情况。这种估计大体分为两类，一类是用样本频率分布估计总体分布，

一类是用样本的某种数字特征（例如平均数、方差等）去估计总体的相应数字特征。下面我

们先通过案例来介绍总体分布的估计。

二案例分析

例1为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁~18

岁的男生的体重情况，结果如下（单位:kg）

56.569.56561.564.566.56464.57658.5

7273.556677057.565.5687175

6268.562.56659.563.564.567.57368

557266.574636055.57064.558

6470.55762.5656971.5736258

76716663.55659.563.5657074.5

68.56455.572.566.5687657.56071.5

5769.57464.55961.5676863.558

5965.562.569.57264.575.568.56462

65.558.567.570.5656666.5706359.5

试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并对相应的总体分布作出估计。

解:按照下列步骤获得样本的频率分布.

(1)求最大值与最小值的差.

在上述数据中，最大值是76,最小值是55,它们的差(又称为极差)是76—55=21)所得

的差告诉我们，这组数据的变动范围有多大.

(2)确定组距与组数.

如果将组距定为2,那么由21+2=10.5,组数为11,这个组数适合的.于是组距为2,组

数为11.

(3)决定分点.

根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5,第1小组的终点可取为56.5,为

了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”

的.这样，所得到的分组是

[54.5,56.5),[56.5,58.5),…,[74.5,76.5).

(4)列频率分布表

如表①频率分布表

分组频数累计频数频率

[54.5,56.5)20.02

[56.5,58.5)60.06

[58.5,60.5)100.10

[60.5,62.5)100.10

[62.5,64.5)140.14

[64.5,66.5)160.16

[66.5,68.5)130.13

[68.5,70.5)110.11

[70.5,72.5)80.08

[72.5,74.5)70.07

[74.5,76.5)30.03

合计1001.00

(5)绘制频率分布直方图.

频率分布直方图如图所示

频率/组距

由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积的形式反映了数据落在各

个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分步表比较确切，频率分布直方图

比较直观，它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作

出估计•.例如可以估计，体重在（64.5,66.5）kg的学生最多，约占学生总数的16%；体重

小于58.5kg的学生较少，约占8%；等等.

三巩固练习

1有一个容量为50的样本数据的分组及各组的频数如下：

[12.5,15.5)3[24.5,27.5)10

[15.5,18.5)8[27.5,30.5)5

[18.5,21.5)9[30.5,33.5)4

[21.5,24.5)11

（1）列出样本的频率分布表和画出频率分布直方图；

（2）根据样本的频率分布估计，小于30.5的数据约占多少？

2食品厂为加强质量管理，抽查了某天生产的罐头80只，得其质量数据如下(单位：克)

342340348346343342346341344348346346340344342344

345340344344336348344345332342342340350343347340

344353340340356346345346340339342352342350348344

350336340338345345349336342335343343341347341347

344339347348343347346344343344342333345339350337

（1）画出样本的频率分布直方图；

（2）根据样本的频率分布估计，质量不小于350克的罐头约占多少？

四小结

获得样本的频率分布的步骤：（1）求最大值与最小值的差；（2）确定组距与组数；（3）决定分

点（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.

五作业

1某人在同一条件下射靶50次，其中射中5环或5环以下2次，射中6环3次，射中7

环9次，射中8环21次，射中9环11次，射中10环4次.

（1）画出上述样本的频率分布直方图；

（2）根据上述结果估计，该射击者射中7环一9环的概率约是多少？

2在生产过程中，测得维尼纶的纤度（表示纤维粗细的一种量）有如下的100个数据:

1.361.491.431.411.371.401.301.421.471.391.411.361.40

1.341.421.421.451.351.421.391.441.421.391.421.421.30

1.341.421.371.361.371.341.371.371.441.451.321.481.40

1.451.391.461.391.531.361.481.401.391.381.401.361.45

1.501.431.381.431.411.481.391.451.371.371.391.451.31

1.411.441.441.421.471.351.361.391.401.381.351.421.43

1.421.421.421.401.411.371.461.361.371.271.371.381.42

1.341.431.421.411.411.441481551.37

（1）画出样本的频率分布直方图；

（2）根据上述结果估计，小于各端点值的数据所占的百分比各约是多少？

总体期望值的估计（4月24日）

教学目标：1、使学生掌握用样本的平均数去估计总体期望值。

2、培养学生分析数据的能力。

教学重点：计算样本（总体）的平均数x=L区+々+与+…+x”）

n

教学难点：适当抽样提高样本的代表性。

教学过程：

--、弓I■■言.

在初总体平均数（又称为总体期望值）描述了一个总体的平均水平。

对很多总体来说，它的平均数不易求得，常用容易求得的样本平均数：

一犬一=工1（匹+々+当+—+与）对它进行估计，而且常用两个样本平均数的大小

n

去近似地比较相应的两个总体的平均数的大小。

二、新课：

例1、在一批试验田里对某早稻品种进行丰产栽培试验，抽测了其中15

块试验田的单位面积（单位面积的大小为,%〃/）的产量如下：（单位：KG）

15

504402492495500501405409

460486460371420456395

这批试验田的平均单位面积产量约是多少？

例2、某校高二年级进行一次数学测试，抽取40人