贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高一下学期第一次月考 数学试题【含答案】

智成中学2023～2024学年度高一下学期第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内客：必修第二册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，若，则B点的坐标为（

）A． B． C． D．2．已知，在上的投影为，则（

）A． B． C． D．3．已知为不共线向量，，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线4．在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（

）A． B． C． D．5．已知向量，它们的夹角为，则（

）A．4 B．12 C．2 D．6．在中，，则（

）A． B． C． D．7．如图，在中，为的中点，则（

）A． B．C． D．8．在平行四边形中，，，，，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列关于平面向量的说法中，错误的是（

）A．B．若，则C．D．若，则10．若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（

）A．可以表示平面内的所有向量B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使D．若存在实数，，使，则11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则只有一解C．若，则为直角三角形D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量，则与向量平行的单位向量为.13．在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的外接圆的面积为.14．若△ABC的内角满足，则的最小值是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)求的值；(2)若，求的面积.16．已知向量，且.(1)求的值；(2)求向量与的夹角的余弦值.17．在中，内角的对边分别为，向量且.(1)求角；(2)若，求内切圆的半径.18．如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.(1)若是边的中点，求的值；(2)当时，请确定点的位置.19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．1．C【分析】根据向量的坐标表示计算【详解】由题意设，则，解得．故选：C2．C【分析】根据平面向量的数量积的几何意义，即可求解.【详解】因为，在上的投影为，可得，所以.故选：C.3．A【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.【详解】因为，所以三点共线，故选：A．4．C【分析】根据三角形大边对大角原则和余弦定理直接求解即可.【详解】设，则，，，最大，，，.故选：C.5．C【分析】先根据已知条件求出，再由化简计算即可【详解】因为向量，它们的夹角为，所以，所以.故选：C.6．B【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值．【详解】∵，∴由余弦定理可得：,∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故选:B7．C【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.【详解】由题意知.故选：C.8．C【分析】以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】，，.故选：C.9．BCD【分析】利用向量的坐标表示，判断A；赋值法，判断B、D；由数量积公式结合数乘运算判断C；【详解】设，则，，，，所以，故正确；若，则不能推出错误；表示与共线的向量，表示与共线的向量，而与关系不定，且与大小不定，所以C错误；若，且，则与是任意向量，故D错.故选：BCD.10．BC【分析】根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断.【详解】由题意可知：，可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确；对于C，当时，则，此时任意实数均有，故C不正确；故选：BC．11．AD【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断.【详解】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误；对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确．故选：AD．12．或【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可【详解】因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或.故答案为：或13．##【分析】利用三角形面积公式平方关系公式、正弦定理计算可得答案.【详解】因为的面积为，所以，根据余弦定理得即，即，又，所以，设的外接圆的半径为，所以，解得，所以的外接圆的面积为.故答案为：.14．【详解】试题分析：由正弦定理有,所以,,由于,故,所以的最小值是.考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把化为，再由余弦定理推论求出的表达式，还用到用均值不等式求出，再算出结果来.15．(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解.【详解】（1）因为，，所以，因为，所以.（2）因为，所以，因为，所以，为锐角，因为，所以，所以，故的面积为.16．(1)(2)【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.（2）运用平面向量夹角公式计算即可.【详解】（1）因为，，所以，解得.故的值为3.（2）由（1）知，，所以，所以，所以.故与的夹角的余弦值为.17．(1)；(2).【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得；（2）利用余弦定理求得，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径.【详解】（1）因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以的面积，设内切圆的半径为，所以，解得.18．(1)(2)是线段靠近处的四等分点【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可.（2）设，则，结合数量积运算即可.【详解】（1）由题意知，由于是边的中点，因此，因此.（2）不妨设，因此，又，所以解得，即，故是线段靠近处的四等分点.19．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角；（2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范