初中数学-最短路径问题练习题

初中数学最短路径问题练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

1.如图，已知4MON=60。，P为NMON内一点，0M上有一点4,ON上有一点B,当A

P4B的周长取最小值时，乙4PB的度数为（）度.

A.40B.60C.100D.120

2.如图，4B1BC,AD1DC,ABAD=110°,在BC、CD上分别找一点M、N,当4

4MN周长最小时，4AMN的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P在矩形内部，且满足Spco=

3s长方形ABCD、则点P到4B两点的距离之和P4+PB的最小值为（）

A.8B.10C.14D.2V13

4.如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点4

要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短路程为（）

A.3米B.4米C.5米D.6米

5.如图，已知△力BC为等腰直角三角形，AC=BC=4,4BCD=15°,P为CD上的动

点,则|P4—PB|的最大值是()

A.4B.5C.6D.8

6.如图，4A0B=45。，。。为〃08内部一条射线，点。为射线0C上一点，。。=鱼,

点E、F分别为射线。人。8上的动点，贝必。E尸周长的最小值是()

A.V2B.2C.2V2D.4

7.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2,BC的中点为一只蚂蚁从盒外的B点沿

正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是()

A.V13B.lC.V17D.2+V5

8.如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点2

出发，沿长方体的表面爬到和4相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的

A.V61cmB.V85cmC.y/97cmD.V109cm

9.如图，^AOB=30°,乙4OB内有一定点P,且OP=10.在0A上有一点Q,0B上有

一点R.若^PQR周长最小,则最小周长是()

试卷第2页，总19页

A.10B.15C.20D.30

10.如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心.一只蚂蚁

A.40cmB.20V2c7nC.20cmD.10V2cm

二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分，）

11.如图，在△ABC中，AC=4,AB=5,BC=6,0A的半径为2,点P是BC边上的

动点，过点P作。4的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为

R

12.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，4、B到河岸的距离分别为AC和BD,且4C=

BD,若点4到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从4处把牛牵到河边饮水再回家，

八

.（、、

:、'7河

cip-

、

最短距离是_______米.」不

13.如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M,已知4B=4D=2,BF

=3.这只蚂蚁爬行的最短距离.

B

14.在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y=x+2,直线y=-%+2和直线y=4

所围成的区域内或其边界上，点M在x轴上，若点N的坐标为（5,1）,当MN+MP最小

时，点P坐标是.

15.如图，等边三角形ABC的边长为4,0c的半径为遮，P为4B边上一动点，过点P

作。C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.

三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分，）

16.作图题：线段4c是正方形4BC0的对角线，点M是边CO上的一定点（不与。、C重

合），请在对角线4c上取一点P,使得aPOM的周长值最小，并作简要说

17.如图，圆柱的高为lOczn,底面半径为4cm,在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它

想吃到上底面B处的食物，已知四边形40BC的边40、BC恰好是上、下底面的直

径.为：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？一—"

18.如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径4B=竽，高BC=12cm,在BC的中点P处

有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从4点爬到P点的最短

距离.

试卷第4页，总19页

19.如图，一个牧童在小河的南4/on的4处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北

7kM处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短

路程是多少？

小河

b,5小屋

20.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P,分别向4、B两个开发区运货.

（1）若要求货站到4、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？

（2）若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？

（分别在图上找出点P,并保留作图痕迹，写出相应的文字说明.）

B.B.

-N

第（1）题图第（2）题图

21.附加题：有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AAi、为相对的两条

母线，在上有一个蜘蛛Q,Q4=3cm；在上有一只苍蝇P,PB1=2cm,蜘蛛

沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，求最短路径.

（答案保留两个有效数字）

参考答案与试题解析

初中数学最短路径问题练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

B

【考点】

轴对称一一最短路线问题

【解析】

作出P点关于OM、ON的对称点匕，P2连接招，P2交。“，ON于4、B两点，此时△P48

的周长最小，再由四边形内和定理即可求出答案.

【解答】

解：如图，作出P点关于。M、ON的对称点A,P2连接A，「2交。M,ON于A、8两点,

此时△P4B的周长最小，由题意可知NP1PP2=180°-NMON=180°-60°=120°,

NP1P4+LP2PB=乙Pi+4P2=180°-乙P1PP2=60°,

乙4PB=120°-60°=60°.

2.

【答案】

B

【考点】

轴对称一一最短路线问题

【解析】

根据要使△4MN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出

A关于BC和CD的对称点A',A",即可得出乙44M+乙4”=4H44'=70。，进而得出

NMAB+乙NAD=70°,即可得出答案.

【解答】

解：作4关于BC和CD的对称点A,A”,连接44",交BC于M,交CD于N,则44"即为

△4MN的周长最小值，作LM延长线4H,.

4DAB=110°,

^HAA'=70°,

，Z.AA'M+AA"=^.HAA'=70°,

^MA'A=AMAB,乙NAD=£A",

：.Z.MAB+/.NAD=70°,

^MAN=110°-70°=40°.

故选B.

3.

试卷第6页，总19页

【答案】

B

【考点】

路径最短问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：，，SpcD=¥长方形ABCD、

设△PCD的CD边上的高为八

•••"仁”皿

又4。=8,

h=4,

；•动点P在与CD平行且与C。的距离为4的直线1上,

如图，作。关于直线，的对称点4连接AC,

则4c的长就是所求的最短距离.

在RtUDC中，CD=AB=6,AD=8

：.AC=<AD2+CD2

解得AC=10.

故选B.

4.

【答案】

C

【考点】

平面展开-最短路径问题

【解析】

蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成

一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径.

【解答】

解：由题意得，

路径一：

3

2\

7~\

AB=V（3+2）2+22=>/29；

路径二：

AB=V（2+2）2+32=5；

路径三：

AB=J(3+2)2+22=V29；

,/V29>5,

，5为最短路径.

故选C.

5.

【答案】

A

【考点】

轴对称一一最短路线问题

【解析】

作4关于CD的对称点4,连接48交CD于P,则点P就是使|P4-PB|的值最大的点，

\PA-PB\=A'B,连接AC,根据等腰直角三角形的性质得到4a48=4ABC=45°,

乙4cB=90。，根据三角形的内角和得到乙4CD=75。，于是得到4c44'=15。，根据轴

对称的性质得到AC=BC,^CA'A=^CAA'=15°,推出△ABC是腰三角形，根据等

边三角形的性质即可得到结论.

【解答】

解：作4关于CD的对称点A,连接力'8交C。于P,则点P就是使|P4-PB|的值最大的点,

\PA-PB\=A'B,

连接4'C,

△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,

Z.CAB=/.ABC=45°,44cB=90°,

乙BCD=15。，

Z.ACD=75°,

/.CAA'=15°,

试卷第8页，总19页

AC=A'C,

：.A'C=BC,Z.CA'A=Z.CAA'=15°,

/.ACA'=150°,

•//.ACB=90",

AA'CB=60",

...AdBC是等腰三角形，

A'B=BC=4.

【答案】

B

【考点】

轴对称一一最短路线问题

【解析】

作点。关于。4的对称点P,点0关于。8的对称点Q,连结PQ,与。4的交点即为点E,

与OB的交点即为点F,则此时E、F符合题意，求出线段PQ的长即可.

【解答】

作点。关于。力的对称点P,点。关于。8的对称点Q,连结PQ,

与。4的交点即为点E,与。8的交点即为点F,

△OEF的最小周长为OE+EF+QF=PE+EF+QF=PQ,即为线段PQ的长，

连结OP、OQ,则OP=OQ=鱼，

又Y"OQ=24408=90。，

；•AOPQ是等腰直角三角形，

PQ=7200=2,

即^PMN的周长的最小值是2.

7.

【答案】

C

【考点】

平面展开-最短路径问题

勾股定理的应用

平方根

【解析】

根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离

是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出即可.

【解答】

解：：蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点,

，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，

V无盖的正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,

力避=2+2=4,41M=1,

BM=V42+I2=V17.

AM5

m

o

故选：c.5C

8.

【答案】

B

【考点】

平面展开-最短路径问题

勾股定理的应用

平方根

【解析】

本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最

短.蚂蚁爬的是一个长方形的对角线.

【解答】

解：如图1,当爬的长方形的长是(4+6)=10,宽是3时，V102+32=V109.

如图2,当爬的长方形的长是(3+6)=9,宽是4时，忡彳甲=后.

4

6图23

如图3,爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，V72+62=V85.

试卷第10页，总19页

6

4图33

故选：B.

9.

【答案】

A

【考点】

轴对称一一最短路线问题

【解析】

先画出图形，作PMltM与。4相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.作

PN1。8与。B相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.连接EF与04相交于Q,

与。8相交于R,再连接PQ,PR,则△2(?/?即为周长最短的三角形.再根据线段垂直平

分线的性质得出△PQR=EF,再根据三角形各角之间的关系判断出AE。尸的形状即可

求解.

【解答】

解：设/P04=9,则/POB=30°-6,作PM1。力与。4相交于M,并将PM延长一倍

到E,即ME=PM.

作PN_L。8与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.

连接EF与04相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ,PR,则△PQR即为周长最短的三

角形.

V。4是PE的垂直平分线，

二EQ=QP；

同理，0B是PF的垂直平分线，

FR=RP,

：.△「(?/?的周长=EF.

0E=OF=OP=10,S.Z.EOF=4EOP+乙POF=2。+2(30°-0)=60°,

AEOF是正三角形，EF=10,

即在保持OP=10的条件下的最小周长为10.

故选力.尸

10.

【答案】

C

【考点】

平面展开-最短路径问题

【解析】

由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题

【解答】

解：

20——^—3

根据两点之间线段最短，把正方体展开，可知由4处向B处爬行，所走的最短路程是

20cm.

故选C.

二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）

11.

【答案】

Vm

4

【考点】

切线的性质

勾股定理

路径最短问题

【解析】

连接24,AQ,由切线的性质得到乙4QP=90。，由AQ=2是定值，要使PQ的长度最小,

只有P4的值最小时才成立，进而确定出和△P84是直角三角形，由勾股定理求

出PC的长度，进而求出Pl,最后求勾股定理求解.

【解答】

解：连接P4AQ,如下图.

••1PQ是的切线，

•••AQ1PQ,

■­■4AQP=90°.

•••4Q=2是定值，要使PQ的长度最小，

PA1BC,即P4的值最小时才成立，

PQ2=PA2-AQ2.

由PA1BC可知，APCA和APBa是直角三角形,

vAC=4,AB=5,BC=PC+PB=6,

PA2=AC2-PC2,PA2=AB2-PB2,

：.AC2-PC2=AB2-PB2,

BP42-PC2=52-(6-PC)2,

解得

PC=4

试卷第12页，总19页

...PQ=JPA2—AQ2=J16号—4=丹=孚

即线段PQ的最小值是亨.

4

故答案为：军.

4

12.

【答案】

1000

【考点】

轴对称一一最短路线问题

【解析】

根据轴对称的性质和“两点之间线段最短“，连接AB,得到最短距离为再根据相

似三角形的性质和力到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出&B的值.

【解答】

解：作出力的对称点4',连接与C。相交于M,则牧童从力处把牛牵到河边饮水再回

家，最短距离是AB的长.

易得△ACMW4BDM,

:'、./河

C1p-

AC=BD,所以4C=BD,则箸=需，月P

所以CM=DM,M为C。的中点，

由于A到河岸C。的中点的距离为500米，

所以4到M的距离为500米，

A'B=1000米.

故最短距离是1000米.

13.

【答案】

5

【考点】

平面展开-最短路径问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

14.

【答案】

（1，3）

【考点】

轴对称一一最短路线问题

【解析】

如图，作直线y=x+2关于x轴的对称的直线丫=一工一2,过点N作直线y=-x-2的

垂线垂足为E,交无轴于M,则点E坐标(1,-3),点E关于x轴的对称点P坐标(1,3),可

以证明点P就是所求的点.

【解答】

解：如图，作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=-x-2,

过点N作直线y=-x-2的垂线垂足为E,交x轴于M,

则点E坐标(1,一3),点E关于x轴的对称点P坐标(1,3),

理由：；MN+MP=MN+ME=NE,

MN+MP最短(垂线段最短).

故点P坐标为(1,3),

故答案为(1,3).

15.

【答案】

3

【考点】

路径最短问题

切线的性质

勾股定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：连接CP、CO,作=如图，

,/等边三角形ABC的边长为4,

AB=CB=41BCH=2CB=|x60°=30°,

BH=-AB=4,CW=—BC=—x4=273,

222

・・,PQ为G)C的切线，

/.CQ1PQt

在RMCPQ中，PQ=yJCP2-CQ2=VCP2-3,

试卷第14页，总19页

点P是4B边上一动点，

当点P运动到H点时，CP最小,

即CP的最小值为28，

，PQ的最小值为=3,

故答案为：3.

三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）

16.

【答案】

解：连接BM,交4c于P,P即为所求；由于四边形ABCD是正方形，所以B、。关于4c

轴对称一一最短路线问题

【解析】

连接BM,交AC于P,P即为所求.

【解答】

解：连接BM,交4c于P,P即为所求；由于四边形ABCD是正方形，所以B、D关于4C

【答案】

蚂蚁至少要爬行2,25+4712cm路程才能食到食物.

【考点】

平面展开-最短路径问题

【解析】

求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接

两点，求出距离即可.

【解答】

解：把圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形如下：

则的长度为所求的最短距离，

根据题意圆柱的高为10cm,底面半径为4cm,

则可以知道4c=10cm,BC=g底面周长,

底面周长为271r=2x7Tx4=Srccm,

BC=4ncmt

根据勾股定理得力”=AC2+BC2,

即AB?=102+(4兀产

AB=V100+167T2=2V25+47r2cm.

【答案】

解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：

C

on

ZB

AB==底面周长=9x71X^=8(0771),

BP=；BC=6(cm),

所以AP=V82