2021-2022学年人教九年级（上）数学寒假作业（五）

2021-2022学年人教新版九年级（上）数学寒假作业（五）

一.选择题（共8小题）

1.下列运动属于旋转的是（）

A.火箭升空的运动

B.足球在草地上滚动

C.大风车运动的过程

D.传输带运输的东西的运动

2.如图，正方形A8CZ）的边长是3am一个边长为Icvn的小正方形沿着正方形A8C£＞的边

AB-BC-CD^DA连续翻转（小正方形起始位置在AB边上），那么这个小正方形翻转到

3.如图，在RlZ\ABC中，/ACB=90°，ZA=40°,以直角顶点C为旋转中心，将△ABC

旋转到AA'B'C的位置，其中A'、"分别是A、B的对应点，且点8在斜边A'B'

匕直角边CA'交AB于。，则旋转角等于（）

D.50°

4.如图，若正六边形A8CDEF绕着中心点O旋转a度后得到的图形与原来图形重合，则a

的最小值为（)

5.如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与

自身重合，那么这个角度至少为（）

A.60°B.72°C.75°D.90°

6.如图，边长为1的正方形ABC。绕点A逆时针旋转45。后，得到正方形AB'CD',

边B'C'与DC交于点O,则乙DO9的度数为（）

7.如图，△ABC中，ZBAC=65°,将aABC绕着A点逆时针旋转得到△AOE,连接EC,

若EC〃A8,则/CAO的度数为（）

8.如图，边长为4的正六边形ABCDE尸的中心与坐标原点0重合，A/〃x轴，将正六边形

ABCDEF绕原点。顺时针旋转〃次，每次旋转60°,当〃=2020时，顶点4的坐标为（）

y

5\（9/£入

C~~ID

A.（-2,2百）B.（-2,-2料）C.（2,-2疾）D.（2,2料）

二.填空题（共6小题）

9.如图，P是正方形ABCZ）内的一点，将△A8P绕点8顺时针方向旋转到与△C8Q重合,

若PB=5cm,则PQ—cm.

10.时钟从上午8时到中午12时，时针沿顺时针方向旋转了度.

11.如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到若NA=35°,则NCOE的度数

为_______

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，AAOB可以看作是将△OCE绕某个点旋转而得至U，

则这个点的坐标是.

D

x

13.风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转“°后能与原来的

图案重合，那么〃的最小值是

14.如图，半圆。的直径AB=\O,将半圆0绕点B顺时针旋转45°得到半圆。'，与AB

交于点P,那么AP的长为

15.在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,ZVIBC的三个顶点都在格点上,

点A的坐标（4,4）,若将△ABC绕点O逆时针旋转180°,画出旋转后的△481。，

则点4坐标为，B1坐标为，。坐标为.

16.如图，将RtAAOB绕直角顶点O顺时针旋转得到RtACOD,使点4的对应点C落在

AB边上，过点。作£>E〃A8,交AO的延长线于点E,求证：ZBCO=ZE.

17.如图，正方形ABCZ）中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP,

将8P绕点8顺时针旋转90°至IJBQ,连接QP,CQ,求证：AP=CQ.

18.如图，将矩形A8C。绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,点8与点E对应,

点E恰好落在AO边上，BHLCE交于点H,求证：CG=BH.

19.如图，点。是等边三角形ABC内的一点，NBOC=150°,将△BOC绕点C按顺时针

旋转得到△AQC,连接0。，OA.

(1)求NODC的度数；

(2)若08=4,OC=5,求4。的长.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0),点C是y轴上的动点，线段CA

绕着点C逆时针旋转90°至线段CB,连接80,设点C的纵坐标为团.

(1)求点B的坐标(用含，"的式子表示)；

(2)求线段20长度的最小值.

2021-2022学年人教新版九年级（上）数学寒假作业（五）

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.下列运动属于旋转的是（）

A.火箭升空的运动

B.足球在草地上滚动

C.大风车运动的过程

D.传输带运输的东西的运动

【考点】生活中的旋转现象.

【专题】平移、旋转与对称；应用意识.

【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形

变换叫做旋转进行分析即可.

【解答】解：人火箭升空的运动，是平移，故此选项不符合题意；

8、足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不是旋转，故此选项不符合题意；

C、大风车运动的过程，是旋转，故此选项符合题意：

。、传输带运输的东西的运动，是平移，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了生活中的旋转，解题的关键是掌握旋转的定义.

2.如图，正方形ABCQ的边长是3cm一个边长为1。”的小正方形沿着正方形ABC。的边

ABfBC-C0-D4连续翻转（小正方形起始位置在AB边上），那么这个小正方形翻转到

【考点】生活中的旋转现象.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据题意可得画出每次旋转后图形，注意从一条边到另一个边上时翻滚的角度

180度.

【解答】解：根据题意分析可得：小正方形沿着正方形A8CO的边

连续地翻转，正方形A8CO的边长是3c/n,一个边长为的小正方，如图所示：回到

DA边的终点位置时它的方向是向下.

【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，本题是一道找规律的题目，对于找规律的

题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

3.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,ZA=40°,以直角顶点C为旋转中心，^/XABC

旋转到AA'B'C的位置，其中A'、B'分别是A、8的对应点，且点3在斜边4'B'

上，直角边CA'交AB于D,则旋转角等于（）

【考点】旋转的性质.

【分析】先由/AC8=90°、ZA=40°得/A8C=50°,再由旋转的性质得=/

A8C=50°,CB=CB',继而可得答案.

【解答】解：•.•/ACB=90°,ZA=40°,

：.ZABC=50°,

又△ABC会△AB'C,

：.ZB'=NABC=5G°,CB=CB',

：.ZBCB'=80°,

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等,

对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.

4.如图，若正六边形A8CDE尸绕着中心点。旋转a度后得到的图形与原来图形重合，则a

的最小值为（）

【考点】旋转对称图形.

【专题】计算题.

【分析】先求出正六边形ABCQEF的中心角，然后根据正六边形的性质可判定正六边形

A8CDEF绕着中心点O旋转60°的整数倍后得到的图形与原来图形重合.

【解答】解：•••正六边形A8CQEF的中心角的度数为逊二=60°,

6

•••正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转60°的整数倍后得到的图形与原来图形重合.

故选：D.

【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于

360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形.常见的旋转对称图形有:

线段，正多边形，平行四边形，圆等.

5.如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与

自身重合，那么这个角度至少为（）

A.60°B.72°C.75°D.90°

【考点】旋转对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】根据五角星的五个顶点等分圆周，所以出现正五边形，进而可得结论.

【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，

所以360°+5=72°,

所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，

那么这个角度至少为72°.

故选：B.

【点评】本题考查了旋转对称图形，解决本题的关键是掌握旋转对称图形定义.

6.如图，边长为1的正方形ABC。绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB'CD',

边B'C'与。C交于点O,则的度数为（）

A.125°B.130°C.135°D.140°

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】由旋转的性质可得,ND4£=45°,由四边形内角和定理可求

解.

【解答】解：•••边长为1的正方形A8CQ绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB'C'

D',

.,.ZB'=ZB=90°,ZDAB'=45°,

/.ZDOB'=3600-ZD-ZB'-ZDAB'=135°,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

7.如图，△A8C中，/BAC=65°,将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△AOE,连接EC,

若EC〃AB,则NCAD的度数为（）

E

A.15°B.25°C.35°D.40°

【考点】旋转的性质；平行线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】由旋转的性质可得AC=AE,NEA£>=/CAB=65°,由等腰三角形的性质和平

行线的性质可得/AEC=/ACE=65°,即可求解.

【解答】解：•••将绕着A点逆时针旋转得到

；.AC=AE,NEA£)=NCAB=65°,

NAEC=ZACE,

•:ECaAB,

...NECA=NCAB=65°,

AZAEC=ZACE=65°,

AZEAC=50°,

：.ZCAD^ZCAB-ACAE=\5°,

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

8.如图，边长为4的正六边形A8CQEF的中心与坐标原点0重合，A/〃x轴，将正六边形

绕原点O顺时针旋转”次，每次旋转60°,当“=2020时，顶点A的坐标为（）

(-2,-2A/3)C.(2,-273)D.(2,273)

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【专题】与圆有关的计算：推理能力.

【分析】连接。4根据正多边形的性质得到NAOH=30°,AH=2,根据勾股定理求出

0H,根据规律解答.

【解答】解：连接0A,

ZAOH=3O0,AH=2,

0H=《UK2TH2=2如'

,六边形ABCDEF是正六边形,

，正六边形ABCDEF绕原点0顺时针旋转6次回到原位置,

2020+6=336…4,

.•.当”=2020时，顶点A的坐标为（-2,-2代）,

【点评】本题考查的是正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变

换的性质是解题的关键.

填空题（共6小题）

9.如图，P是正方形ABC。内的一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转到与重合，

若PB=5cm,则尸。=5、万cm.

【考点】旋转的性质；正方形的性质.

【专题】计算题.

【分析】依题意得，旋转中心为点B,旋转角/PBQ=/A8C=90°,对应点P、。到旋

转中心的距离相等，即尸B=BQ=5,可证△BP。为等腰直角三角形，由勾股定理求「。.

【解答】解：根据旋转的性质可知，/PBQ=NABC=90°,PB=BQ=5,

...△8PQ为等腰直角三角形，

由勾股定理，得PQ={BP2+BQ2=5M.

故答案为：5金.

【点评】本题考查了旋转的两个性质：①旋转角相等，②对应点到旋转中心的距离相等.解

题时要注意是按顺时针旋转.

10.时钟从上午8时到中午12时，时针沿顺时针方向旋转了120度.

【考点】生活中的旋转现象；钟面角.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观；模型思想.

【分析】根据钟面角的意义和大小计算方法，可算出答案.

【解答】解：从上午8时到中午12时，时针就从指向8,旋转到指向12,共顺时针转了

4个“大格”，

而每个“大格”相应的圆心角为30°,

所以，30°X4=120°,

故答案为：120°.

【点评】本题考查钟面角的计算，掌握钟面角的计算方法是得出正确答案的关键.

11.如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△£＞（%,若NA=35°,则/COE的度数

【考点】旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】根据旋转的性质可得NDC8=90°,NB=NEDC,求出的度数即可.

【解答】解：△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△OCE,

/.ZDCB=90°,NB=/EDC,

'：ZA=35°,

.".ZB=90°-ZA=55°,

：.ZEDC=55Q,

故答案为：55。.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应角相等是解题的关键.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，△408可以看作是将绕某个点旋转而得到,

则这个点的坐标是（2,2）.

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【专题】平面直角坐标系；几何直观.

【分析】根据旋转中心到对应点距离相等，可知旋转中心是OC、8E的垂直平分线的交

点、.

【解答】解：如图，旋转中心是。C、BE的垂直平分线的交点,

二旋转中心的坐标为(2,2),

故答案为：(2,2).

【点评】本题主要考查了图形的旋转，明确旋转中心到对应点距离相等是解题的关键.

13.风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转”。后能与原来的

图案重合，那么n的最小值是120.

【考点】旋转对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】由于该图形被平均分成三部分，因而旋转120°的整数倍，就可以与自身重合.

【解答】解：•••该图形被平均分成三部分，旋转120。的整数倍，就可以与自身重合，

故n的最小值为120,

故答案为：120.

【点评】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，

与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫做旋转角.

14.如图，半圆0的直径AB=10,将半圆。绕点B顺时针旋转45°得到半圆0，，与A8

交于点P,那么AP的长为10-572.

【考点】旋转的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】先根据题意判断出AO'P8是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB

的长，进而可得出AP的长.

【解答】解：如图，连接O'P，

■：ZOBA'=45°,O'P=O'B=5,

...△O'PB是等腰直角三角形，

:.PB=®B(X=5五，

：.AP=AB-BP=10-5版,

故答案为：10-5&.

【点评】本题考查的是旋转的性质，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质.

三.解答题(共6小题)

15.在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系X。)，，△ABC的三个顶点都在格点上,

点A的坐标(4,4),若将△ABC绕点。逆时针旋转180°,画出旋转后的△481C”

则点Ai坐标为(-4,-4),31坐标为(-1,-1),G坐标为(-3,

-1)

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【专题】网格型；几何直观.

【分析】根据题意，找出点A、B、C关于点。的对称点，然后画出△48］。，根据图形

即可得出Ai坐标为（-4,-4）,Bi坐标为（-1,-1）,Ci坐标为（-3,-1）.

【解答】解：如图所示，。为^ABC绕点。旋转180°所得，根据图形可得：4

坐标为（-4,-4）,Bi坐标为（-1,-1）,。坐标为（-3,-1）,

故答案为：（-4,-4）；（-1,-1）；（-3,-1）.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转的知识，正确找出点A、B、C关于点。的对

称点，是解题的关键.

16.如图，将RtAAOB绕直角顶点。顺时针旋转得到RtACOZ）,使点A的对应点C落在

48边上，过点。作。交AO的延长线于点E,求证：ZBCO^ZE.

【考点】旋转的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称;

推理能力.

【分析】由旋转的性质可得AO=CO,可得/A=NACO,由平行线的性质和邻补角的性

质可得结论.

【解答】证明：：将RtAAOB绕直角顶点0顺时针旋转得到RtACOD,

：.AO=CO,

：./A=/ACO,

,JAB//DE,

：.ZA+ZE=180",

又,.♦NACO+/8CO=180°,

：.4BC0=NE.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

17.如图，正方形ABCZ）中，尸是对角线4c上的一个动点（不与A、C重合），连接8尸，

将8P绕点B顺时针旋转90°至U8。，连接QP,CQ,求证：AP=CQ.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】由旋转的性质可得8P=BQ,ZPBQ=90°,由"SAS"可证AABP丝△CBQ,

可得AP=CQ.

【解答】证明：•.•四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90c,

•将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,

：.BP=BQ,NPBQ=90°,

.'.ZPBQ^ZABC,

:.NABP=/CBQ,

在△4BP和△C8Q中，

'AB=BC

,ZABP=ZCBQ>

BP=BQ

丝Z\CBQ(SAS),

：.AP=CQ.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，灵活运用

这些性质解决问题是解题的关键.

18.如图，将矩形A8C£>绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形尸ECG,点8与点E对应，

点E恰好落在AD边上，BHLCE交于点H,求证：CG=BH.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】由平行线的性质可得/QEC=NBC”，再根据“AAS”可得丝△CHB,进

而可得结论.

【解答】证明：••,四边形A8C。是矩形，

：.AD//BC,AB=CD,

：.ZDEC=ZBCH,

VZD=90°,BH±AC,

D=/BHC,

由旋转得，CE=CB,CD=CG,

在△£■£>(:和△CHB中，

，ZDEC=ZHCB

•ZD=ZBHC，

CE=CB

:.AEDC%ACHB(AAS),

：.BH=CD=CG.

【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明畛△C，B是解题

关键.

19.如图，点0是等边三角形42c内的一点，ZBOC=150°,将aBOC绕点C按顺时针

旋转得到△△£)(?,连接O。，0A.

(1)求NODC的度数；

(2)若。8=4,0c=5,求A。的长.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理.

【专题】证明题；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】(1)根据旋转的性质即可求解；

(2)根据旋转的性质和勾股定理即可求解.

【解答】解：(1)由旋转的性质得，CD=CO,ZACD=ZBCO,

VZACB=ZACO+ZOCB=60°,

/.ZDC0=ZACO+ZACD=ZACO+ZOCB=60°.

.♦.△OC0为等边三角形.

AZ0DC=60°.

答：NOOC的度数为60°.

(2)由旋转的性质得，AD=OB=4.ZADC=ZBOC=150°

•.•△OC£＞为等边三角形，

：.OD=OC^5.

VZBOC=150°,ZODC=60°,

：.ZADO=90°.

在RtZ\AOO中，由勾股定理得：AO=YAD24£)D2r42+52=5/11.

答：40的长为J五.

【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形，解决本题的关键是综合运用

以上知识.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4(1,0),点C是y轴上的动点，线段C4

绕着点C逆时针旋转90°至线段CB,连接BO,设点C的纵坐标为m.

(1)求点B的坐标(用含"?的式子表示)；

(2)求线段30长度的最小值.

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.

【分析】(1)过点B作轴，垂足为点H,证明△AOCg/\CHB(44S),推出HC

=OA,HB=OC,可得点8的坐标为(机，m+\)；

(2))推出点B的运动轨迹是直线y=x+l,根据垂线段最短解决问题即可.

【解答】解：(1)过点8作出7，>轴，垂足为点H,

：./BHC=9Q°,

.•.N”C8+/B=90°,

•••线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB,

：.ZBAC=90'>,CB=CA,

：.ZHCB+ZACO=90°,

NB=ZACO,

在△AOC和△CHB中，

fZCBH=ZACO

<ZCHB=ZAOC=90°

CB=CA

:.l\A0g/\CHB(A4S),

：.HC=OA,HB=OC,

•二点C(0,机)，点A(1,0),

.,.点B的坐标为(m,m+1)；

(2)•.•点8的坐标为Cm,m+1)；

B的运动轨迹是直线y=x+l,

；直线y=x+l交x轴于E(-1,0),交y轴于尸(0,1),

：.OE=OF=\,EF=®

过点。作OTVEF于T.则OT=LEF=叵,

22_

根据垂线段最短可知，当点8与点T重合时，03的值最小，最小值为近.

【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知

识，解题的关键是正确寻找点8的运动轨迹，属于中考常考题型.

考点卡片

1.钟面角

(1)钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走」一格,

12

分针1分钟走1格.钟面上每一格的度数为360°+12=30°.

(2)计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处

的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数.

(3)钟面上的路程问题

分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°+60=6°

时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°+12+60=0.5°.

2.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

3.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

4.等边三角形的性质

(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，

腰和底、顶角和