复数的概念教学设计高一年级下册数学湘教版（2019）必修第二册

最新湘教版必修第二册教学设计-3.1复数的概念

(共1课时)

【课程标准】

1.通过方程的求解，认识复数.

2.理解复数的代数表示和两个复数相等的含义.

【教学目标】

1.使学生通过方程的求解，理解引入复数的必要性，掌握复数的有关概念、复数的分

类，两个负数相等的含义.

2.通过类比引入、分类讨论、化归于转化等数学思想方法的使用，培养学生分析问题、

解决问题的能力.

3.通过对复数概念的讲解，初步培养学生的数学运算和逻辑推理的核心素养.

【重点难点】

重点：理解复数的基本概念；

难点：虚数单位的引入以及复数概念的形成.

【学情和内容分析】

人类认识数的范围是一步一步扩充的，数系的每一次扩充，一方面是由于描述和解决实

际问题的需要，另一方面也是基于解决数学自学矛盾的需要.本节课教学，从通过方程的求

解实例入手，使学生了解数系的扩充过程，理解引入复数的必要性，进而掌握复数的概念、

分类，以及两个复数相等的含义.

【教学过程】

一、阅读理解

阅读课本第101页《3.1复数的概念》一节内容，并思考下列问题：

1.初中学习一元二次方程的解法，所涉及的一元二次方程的系数都是实数，故称为实系

数一元二次方程.我们学习实系数一元二次方程的解法时遇到了什么问题？是什么原因造成

的？

2.为了解决实系数一元二次方程当△<()时无解的问题，人们采取了什么办法？进而发

生了什么事情？

3.把形如怎样的数称为复数？用代数形式怎样表示？

4.复数是如何分类的?或满足什么条件时分别是实数、虚数、纯虚数？

5.当两个复数满足什么条件时相等？

6.复数能比较大小吗？

二、创设情境，引入课题

古希腊的毕达哥拉斯学派认为，世间任何数都可以用整数和分数表示，并将此作为他们

的一条信条，有一天这个学派的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇

怪的数。于是努力研究终于证明出它不能用整数或分数表示。这打破了毕达哥拉斯学派的信

条，于是毕达哥拉斯下令不许他外传。但希伯斯将这个秘密透露出去，毕达哥拉斯大怒，要

将他处死.希伯斯连忙外逃，然而还是被抓住扔进了大海，他为科学的发展献出了宝贵的生

命.这个故事说明，人类对数的认识，是伴随着探索范围的扩大不断加深的.毕达哥拉斯所认

识的数，并不是数的全部，而是其中的一部分，这类数被后人称为有理数，希伯斯发现的这

类数，被后人称为无理数，有理数和无理数统称为实数，即希伯斯发现了无理数，将数的范

围由有理数扩充到实数范围内.到此，人类对数的认识并没有停止，探索还在继续.

在初中，我们学习实系数一元二次方程。/+/?%+。=0(。。0)的解法时，需要将判别

式△=房—4ac开平方.由于负实数在实属范围内没有平方根，因此当判别式A<0时，一元

二次方程就没有实数解.那么，此时该方程仅仅是没有实数解，还是纯粹没有解呢？还是我

们的认识具有局限性，没有办法求出它的解呢？

这就是我们本节课需要学习的内容.

三、探索思考，形成新知

(-)复数的概念

探索一：为了解决上述问题，人们采取了什么办法？

为了解决上述问题，人们引入了一个符号i,规定它满足：

(1)i=-l,即i表示T的一个平方根；

(2)在引入符号i后，实数系中的运算律仍然成立.

探索二：引入符号i后，发生了什么事情？

引入符号i,在它满足的条件下，对任意实数a,b,b与i相乘得数bi,再与a相加，

得数a+bi.而这个数，显然不是实数系中的数，是一个新数.

另外，无实数解的实系数一元二次方程x'+x+kO,在引入符号i,在它满足的条件下有解

了，解为％或x=L—且九也是形如a+初的新数.

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综上引入符号i后，无实数解的实系数一元二次方程有解了，并且诞生了形如

a+bi{a,beR)的新数.

复数的定义：

把形如a+的数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i

称为虚数单位.由全体复数构成集合，称为复数集，用字母C表示，即。={4+次|4/6氏}.

复数通常用字母Z表示，即z=a+bi(a,bGH),这种表示称为复数的代数形式.复数Z

的实部记作Rez,虚部记作Imz.

(二)复数的分类

探索三：复数集与实数集有什么关系？从它们的关系中，你发现了什么？

在复数集。=①+次|a力eR｝中，当虚部b=0时，复数z=a是实数.反过来，实数a

是虚部为0的复数.即实数是复数，而复数不一定是实数，实数集R是复数集C的子集.

当虚部时，z=a+bi,称为虚数，当a=0且b/0时，bi称为纯虚数.即复数、实数、

虚数、纯虚数之间有如下关系：

从上面的关系中可以发现，引入符号i,即虚数单位后，数系的家族诞生了新成员一•

虚数，把数系由实数系扩充到复数系.

探索四：当虚部人/0时，z=a+bi为什么称为虚数？

人们引入T的平方根i是需要用它来解决问题的，但又认为它不是真实的数，而是“虚

幻”的数，故称其为虚数，并用“虚幻”的英文单词imaginary的首字母i来表示.后来才

发现，“虚数”并不虚，它在人们的生活、生产和科学研究中有着广泛应用.

例1.求以下复数的实部和虚部：

(1)1—z;(2)3+；(3)—z

解：(1)l-i=l+(-1)i,实部为1,虚部为T.

(2)3+2/=3+2*+0i,实部为3+24，虚部为0.

(3)-i=0+(-1)i,实部为0,虚部为T.

例2.当加是何实数时，复数2=根2+加一2+(7/—1)，分别是：

(1)实数(2)虚数(3)纯虚数(4)0?

解：(1)当m"l=0,即m=±l时，复数z是实数.

(2)当m2T=0,即mW±1时，复数z是虚数.

(3)当m2+m-2=0且#-1/0,即m=-2时，复数z是纯虚数.

(4)m2+m-2=0_S.m2-l=0,即m=l时,复数z是=0.

(三)两个复数相等

探索五：在实数集中，我们知道存在两个数相等的关系，那在复数集中是否也存在两个

数相等呢？

两个复数相等的定义：

若两个复数a+bi,c+di(a,b,c,dGR)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等,

即：a+b/=c+d/Oa=c且b=d

例3.设羽y£尺若复数（2x-4y）+（3x+2»=5+6，，求％,y的值.

解：根据复数相等的定义可得｛六:］二:

（4

X=-

解方程组得《%

”一石

探索六：我们知道，两个实数可以比较大小，那么两个复数能否比较大小吗？

两个实数可以比较大小，但当两个复数不全是实数时，它们之间不能比较大小，只能说

相等或不相等.例如，2-i和3+i,1和i之间都不能比较大小.

四、课堂练习

课本103练习1-4

五、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同

完成小结.

在这一节课中，同学们主要学习了实数系到复数系的扩充过程，复数的基本概念，两复

数相等的充要条件.

六、课后作业

课本