2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【原卷版】[A级基础达标]1.抛物线y=A.0,13 B.13,0 C.2.已知双曲线C1:x28−y28=1A.22 B.4 C.42 D.3.已知点P是抛物线y2=8x上的一个动点，则点PA.25 B.3 C.5 D.24.（多选）已知F是抛物线C:y2=16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交yA.C的准线方程为x=−B.点F的坐标为0,C.FN=D.△ONF的面积为162（5.（多选）已知抛物线C:x2=2py的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于AA.p=B.当AB⊥y轴时，C.1AFD.若AF=2FB，则直线AB6.若点P到直线y=−1的距离比它到点0,3的距离小2，则点7.下图为抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3m时，水面宽12m，则水面上升1m后，水面宽度为8.若抛物线y2=4x的准线为l,P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x9.已知抛物线C:y2（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l:x=my+4交抛物线C于Ax[B级综合运用]10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上的动点，直线AF与抛物线的另一交点为B，A关于点P4,A.3 B.5 C.6 D.1011.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线Γ:x2=8y的焦点为F，过点F'0,−2的直线l与抛物线Γ交于Ax1,y1,Bx2,y2两点（其中012.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若313.设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线l与x轴交点为K，点A在C上，点A的横坐标为2，14.已知抛物线C:y2=2px过点P1,1，过点0,12作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点.[C级素养提升]15.已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2,直线l1与C交于A，B两点，直线l2A.32 B.48 C.64 D.7216.已知F为抛物线C:x2=2pyp>0的焦点，P−（1）求C的方程；（2）已知过焦点的直线l交C于A，B两点，若PF平分∠APB，求l2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【解析版】[A级基础达标]1.抛物线y=43x2A.0,13 B.13,0 C.[解析]选C.由题意，抛物线x2=34y2.已知双曲线C1:x28−y28=1与抛物线CA.22 B.4 C.42 D.[解析]选D.因为抛物线C2:y2=联立x28−y2又AB=42，所以又p>0，所以p3.已知点P是抛物线y2=8x上的一个动点，则点P到点AA.25 B.3 C.5 D.2[解析]选D.由y2=8x可知p=4，所以F2,0为抛物线的焦点，根据抛物线的定义知，点P到抛物线准线的距离等于PF，所以PF+PA≥AF=22+−4.（多选）已知F是抛物线C:y2=16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若MA.C的准线方程为x=−B.点F的坐标为0,C.FN=D.△ONF的面积为162（[解析]选ACD.如图,不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x=−4,点F的坐标为4,0，则AN=4.FF'=8.在直角梯形ANFF'中，中位线MB5.（多选）已知抛物线C:x2=2py的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，BA.p=B.当AB⊥y轴时，C.1AFD.若AF=2FB，则直线AB[解析]选BCD.对于A，将点2,12代入抛物线方程，可得对于B，焦点F0,1，点2,1对于C，设点A，B的坐标分别为x1,y1直线AB的方程为y=kx+1消去y，整理得x2−可得x1+x2=4k,x1x2=−4,y有1AF+对于D，由题意得−x1,1−由x1+x2=4k,x6.若点P到直线y=−1的距离比它到点0,3的距离小2，则点[解析]由题意知点P到直线y=−3的距离与它到点0,3的距离相等，所以点P的轨迹是以0,3为焦点，y=−3为准线的抛物线，因此，设P的轨迹方程为x2=2pyp>0，可得17.下图为抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3m时，水面宽12m，则水面上升1m后，水面宽度为4[解析]如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=将A6,−3代入x2=my，解得m=−12，所以x2=−12y8.若抛物线y2=4x的准线为l,P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x[解析]由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2=4x及直线方程3x+4y+7=0可得直线与抛物线相离.所以点P到准线l的距离与点P到直线3x+4y9.已知抛物线C:y2（1）求抛物线C的方程；[答案]解：因为椭圆：x24+y2所以p2=1，即所以抛物线C的方程为y2=（2）若直线l:x=my+4交抛物线C于Ax[答案]证明：联立x=my+4，y2=4x，所以16x1x2=所以OA⋅OB=x1[B级综合运用]10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上的动点，直线AF与抛物线的另一交点为B，A关于点P4,2的对称点为A.3 B.5 C.6 D.10[解析]选D.取AB的中点为G，过点A,G,B分别作准线的垂线交准线于点D,E,H，连接GP.点P到准线的距离为d=5，由定义可知AD=AF所以EG=12AD+所以AB+BC=2EG+PG≥2d=10（当E11.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线Γ:x2=8y的焦点为F，过点F'0,−2的直线l与抛物线Γ交于Ax1,y1,Bx2,y2两点（其中0[解析]设Cx3,y3，由题意知直线l的斜率存在，则直线l:y=kx−2，联立得x同理可得x2x3=−16,故x1=−x3,又点A，12.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3[解析]易知焦点F的坐标为4,0，准线l方程为x抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l则AF//MB则MNNF=由3FM=2MN又CN=4，OF所以BM−44=3则MF=BM又MFNF=2513.设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线l与x轴交点为K，点A在C上，点A的横坐标为2，[解析]根据抛物线定义，AF=xA+p2=2+p2=3根据对称性，不妨设点A在第一象限，则A2,22，直线AK即22x−3y+22=0，点F1,14.已知抛物线C:y2=2px过点P1,1，过点0,12作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；[答案]解：把P1,1代入y2=所以抛物线C的方程为y2=焦点坐标为14,0，准线方程为（2）求证：A为线段BM的中点.[答案]证明：因为BM⊥x所以设Mx1,y1,Nx2,根据题意显然有x1≠若要证明A为BM的中点，只需证2yA左右同除以x1有2y即只需证明2kOA=kOB+kOM成立，其中kOA=k设直线MN:y联立y=kx+12,y2Δ=k−12由根与系数的关系可知x1+x1xkOB+将①②代入上式，有2k+x即kON+kOM=kOB+kOM=[C级素养提升]15.已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2,直线l1与C交于A，B两点，直线l2与CA.32 B.48 C.64 D.72[解析]选C.因为直线l1⊥l2,且与抛物线y2=4x都有2个交点，所以直线l1,l2的斜率均存在且不为零，因为y2=4x的焦点F1,0，所以可设直线l1的方程为x=my+1m≠0,则直线l2的方程为x=−1my+1,设同理可得DE=4所以AB+9当且仅当m2=即m=±3所以AB+916.已知F为抛物线C:x2=2pyp>0的焦点，P−（1）求C的方程；[答案]解：由P−4,m是C故m=8由抛物线定义可知，PF=m化简得p2−10p+16=0又因为P位于F的上方，故8p>