第01讲 集合（解析版）

第01讲集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NNZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈AA⊆B真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B或相等集合A，B的元素完全相同A⊆BA=B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀∅3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合{x|x∈A且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xC4.eq\o([常用结论])(1)．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2(2)．A⊆(3)．A∩CU【考点一元素的特征】1．（沭阳如东中学高三开学考试）设集合A=x|3x−1<m，若1∈A且2∉A，则实数mA．2<m<5 B．2≤m<5 C．2<m≤5 D．2≤m≤5【答案】C【详解】因为集合，而1∈A且2∉A且，解得2<m≤5．故选：C．2．（福建省厦门第二中学）已知集合A=a−2,2a2+5a,12，且A．−1 B．−23 C．−3【答案】C【详解】∵集合A=a−2,2a2+5a,12，且−3∈A，解得a=−1或a=−当a=−1时，a−2=2a2+5a=−3当a=−32时，a−2=−72，因此，实数a=−故选：C.3．（河北高一期末）若x∈1,2,x2A．0 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2【答案】C【详解】因为x∈1,2,当x=1时，集合为1,2,1，不成立；当x=2时，集合为1,2,4，成立；当时，则x=1（舍去）或x=0，当x=0时，集合为1,2,0故选：C4．（全国高一课时练习）由a2，2−a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数aA．1 B．－2 C．－1 D．2【答案】C【详解】由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确，故选：C.5．（江苏）设集合A=2,1−a,a2−a+2，若A．−3或−1或2 B．−3或−1 C．−3或2 D．−1【答案】C【详解】当1−a=4时，a=−当a2−a+2=4时，a=2或a=−1.当a=2时，符合题意；当a=−1时，故a=−3或a=2.故选：C【考点二子集的个数】1．（吉林高三（文））已知集合A=x∈Nx≤1,B=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】由题意A∩B=0,1故选：D．2．（沙坪坝·重庆八中高三月考）已知集合A=xx2−3x+2=0，B=x∈N0<x<6A．7 B．8 C．15 D．16【答案】A【详解】解：由题意得A=1,2因为AC所以1,2C⊆所以集合C的个数为集合3,4,5的非空子集的个数为23故选：A.（全国高三专题练习（理））已知集合M={(x,y)|y=2x−1,xy≤0}，N={(x,y)|y=x2−4}A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】A【详解】∵集合M＝{（x，y）|y＝2x﹣1，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2﹣4}，∴M∩N＝{（x，y）|y=2x−1，xy⩽0y=x2∴M∩N中的元素个数为0．故选：A．4．（全国高三专题练习）已知集合A=4,5,6,7，B=x4<x<9A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【详解】由已知可得，因此，A∩B的子集个数为23=8故选：B.5．（全国高三专题练习（文））已知集合，B=x4<x<9，则A∩BA．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【详解】因为，B=x4<x<9，所以A∩B=则A∩B中元素的个数为3，A∩B的子集个数为23故选：B.6．（全国高三专题练习）定义集合A★B={x∣x=ab,a∈A,b∈B}，设A={2,3},B={1,2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（）A．12 B．14 C．15 D．16【答案】B【详解】A⋆B={2,3,4,6}，所以集合A⋆B的非空真子集的个数为24故选：B.7．（黑龙江大庆市·铁人中学高三（理））已知集合A=xx>2，B=0,1,2,3,4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】由题意，集合A=xx>2，B=0,1,2,3,4所以A∩B的子集个数为22故选：D.8．（全国高三专题练习）已知集合A={1，2，3}，B={−1，0，1，2}，若M⊆A且M⊆B，则M的个数为（）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【详解】解：∵集合A={1，2，3}，B={−∴A∩B=1,2又M⊆A且M⊆∴M⊆A∩B，即M的个数为22=4故选：C.9．（全国高三）集合A=1,2,3A．3 B．6 C．7 D．8【答案】D【详解】解：由题意得集合A的子集个数为23故选：D【考点三集合间的关系】1．（普宁市普师高级中学高三月考）已知集合M，P满足，则一定有（）A．M=P B．MC．M∩P=M D．M【答案】B【详解】解：已知集合M,P满足，∴P中元素全部在集合M内，由子集的定义得P⊆M，即M⊇P.2．（福建省厦门第二中学）已知M,N为R的两个不相等的非空子集，若∁RA．∀x∈N,x∈M B．∃C．∃x∉N,x∈M D．∀【答案】D【详解】根据集合的运算，因为∁RN⊆所以∀x∈M,x∈N，所以∀x∈M,x故答案为：D.3．（全国高三（文））已知集合A=x1<x<3，B⊆NA．1∈A B．2∈B C．B=2 D．【答案】B【详解】A.1∈A，显然错误；B.由题意知2∈B，所以该选项正确；C.B=2D.∁R故选：B4．（酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三）已知M,N均为R的子集，若N∪∁A．M⊆N B．N⊆M C．M⊆∁RN【答案】D【详解】由题意知，∁R∴只有∁R故选：D.5．（山西太原五中高三（理））设集合M=x2x−x2≥0，N=A．a<2 B．a>2 C．a≥2 D．a≤2【答案】B【详解】2x−由于N=xx<a，所以a>2.故选：B6．（浙江高三期末）已知集合满足{1,2}⊆A⊆A．{3} B．{1,3} C．{2,3} D．{1,2}【答案】D【详解】∵{1,2}∴集合A可以是1,2，1,2,3.故选：D.7．（河南开封·高三（文））设a,b∈R，A=1,a，B=−1,−b，若A⊆A．−1 B．−2 C．2 【答案】D【详解】由A⊆B知：A=B，即&a=−1&∴a−故选：D.8．（河南开封·高三（理））已知集合A=xx−12<12A．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．1,+∞【答案】D【详解】集合A=xx−12<则有：a≥1.故选：D.9．（全国高三专题练习）已知集合A=1,3,m,B=A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3【答案】B【详解】因为集合，，且B⊆A，所以m=3或，若m=3，则A=1,3,3,B=若，则m=0或m=1，当m=0时，A=1,3,0,B=1,0当m=1时，集合A中元素不满足互异性，舍去，故选：B.【考点四集合间运算】1．（安徽省亳州市第一中学高三月考（理））已知集合A=−2,−1,0，B=x∣−3<x<0，则A．−2 B．−1 C．−2,−1 D．−【答案】C【详解】解：因为A=−2,−1,0，B=所以A∩B=−故选：C.2．（浙江高三专题练习）已知集合P=x|x2−2x≥0，A．[1,2) B．1,2 C．(1,2) D．1,2【答案】C【详解】解：P=x|x2所以∁R所以(∁故选：C.3．（全国高三月考（文））已知全集U=xx≤2,x∈Z，集合A=A．xx>2,x∈Z B．C．−2,−1,0,1【答案】C【详解】由题意得U=xx≤2,x∈Z所以∁U故选：C.4．（贵州中央民族大学附属中学贵阳市实验学校（理））已知全集，集合M=xy=lnx+1x−1，A．1,+∞ B．1,2C．2,+∞ D．−【答案】C【详解】因为M=xy=lnN=x所以M∩∁故选：C5．（南昌市实验中学高三月考（文））设全集，A={x|x≤1}，B={−2,0,2}，则∁U(A∩B)=A．{−2,0} B．{−2,0,2} C．【答案】C【详解】由题设，A∩B={−2,0}，又∴∁U故选：C6．（湖南师大附中）已知全集U=x∈N∗1≤x≤6，集合A=1,2,3,5A．1,6 B．2,6 C．1,2 D．1,2,6【答案】C【详解】U=x∈因为B={3,4,5}，可得∁U因为A={1,2,3,5}，所以A∩∁故选：C．7．（陕西汉中·（文））已知全集为R，集合A=x|x2−xA．−1,3 B．−1,3 C．0,2 【答案】B【详解】∵A=x|x2−x∴∁故选：B.8．（嘉峪关市第一中学高三（理））已知全集U={x∈N|0<x<6}，A=3,4,5，B=2,3，则A．1,2,3 B．2,3,4 C． D．【答案】A【详解】由题，∁UA=故选：A9．（贵州省思南中学（文））已知全集U=R，集合A=yy=xA．−2,3 B． C．−2,3 D．【答案】B【详解】依题意，A={y|y=x2+3,x∈R}={x|x≥3}，则∁而图中阴影部分对应的集合为(∁UA)∩B所以阴影部分表示的集合为.故选：B10．（河南高三月考（文））已知集合，集合M={0,2,3}，N={3,4}，则∁U(M∩N)=A．1,5 B．1,2,4,5C．0,2,4,5 D．0,1,2,4,5【答案】D【详解】由题意可得M∩N=3，

则∁UM∩N11．（西藏昌都市第三高级中学高三期末（理））已知全集为R，集合A={x|x<3,x∈N}，B={x|(x−1)(x−A．{1,2} B． C．(−∞,1) 【答案】A【详解】由题设，A={0,1,2}，B={x|x>4或x<1}，∴∁RB={x|1≤x≤4}，故故选：A12．（全国高三月考（文））已知全集，集合A={1,3,5,7}，B={1,2,4,7}，则∁UAA．{2,4,6} B． C．{6} D．【答案】C【详解】∁UA={2,4,6}，∁∁UA故选：C.13．（肥城市教学研究中心高三）已知全集U，集合P,S是U的非空子集，且，则必有（）A． B．P⊆S C． D．【答案】A【详解】依据题意画出Venn图如图所示，观察可知，故选：A.14．（江西高三月考（文））已知集合A=x∣x2A．[−1,+∞) B．(5,+∞) C．[−【答