3.4 函数的应用(一)透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第一册）

2021-2021学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)3．4函数的应用(一)【知识导学】考点一一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.考点二二次函数模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．考点三幂函数模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．【考题透析】透析题组一：二次函数模型1．（2021·全国高一课时练习）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数:.（1）设他每月获得的利润为(单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价x的函数关系式，并求出利润的最大值.（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?2．（2020·梁河县第一中学高一月考）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量．（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）透析题组二：分段函数模型3．（2019·扬州大学附属中学高一月考）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；（2）求该商场日收益的最小值（千元）．4．（2021·湖南高一期末）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？透析题组三：建立函数模型的综合应用5．（2020·全国）如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是圆的直径，上底的端点在圆周上，设，梯形的周长为.（1）求出关于的函数的解析式；（2）求的最大值，并指出相应的值．【考点同练】一、单选题6．（2021·全国高一专题练习）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（）（默认y>x）A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10)C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10)7．（2021·全国高一课时练习）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①8．（2021·全国高一课前预习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套9．（2021·全国高一专题练习）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（）A．15 B．40 C．25 D．1310．（2021·全国高一单元测试）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM面积的最大值.11．（2021·安徽六安一中高一开学考试）一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．12．（2021·全国高一专题练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米．如果池四周围壁建造单价为400元/米，中间两道隔壁墙建造单价为248元/米，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计．设污水池的长为米，总造价为(元)，则的解析式为（）A．B．C．D．13．（2019·全国高一课时练习）国家购买某种农产品的价格为120元/担，某征税标准为100元征8元，计划可购万担.为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购量可增加个百分点则税收（万元)与的函数关系式为A．B．C．D．14．（2020·武汉市第三中学高一月考）如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是（） B．C． D．二、填空题15．（2021·全国高一课时练习）设奇函数f(x)的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________.16．（2021·全国高一课时练习）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.17．（2020·全国高一单元测试）根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格与时间满足关系，销售量与时间满足关系则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为______.18．（2020·安徽省舒城中学高一期中）已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为_______.三、解答题19．（2021·全国高一课前预习）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．（1）试用销售单价表示利润；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？20．（2021·全国高一课时练习）用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段.每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程.每次漂洗时，衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量（残留物和水分重量总和）不变.假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有千克，其中水分占.（1）求第一次漂洗后剩余残留物与这次漂洗放入水的重量的函数关系式；（2）若进行两次漂洗，加入水总重量为千克，求剩余残留物的最小值.21．（2021·上海高一专题练习）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.（1）求的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？22．（2021·全国高一课时练习）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入)（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.【答案精讲】1．（1），；（2）.【详解】（1）依题意可得：每件的销售利润为元，每月的销售量为件，所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系式为：，对称轴为，开口向下，此时最大值为，所以利润与销售单价x的函数关系式，最大利润为元.（2）由每月获得的利润不小于元，得，即，解得：，这种节能灯的销售单价不得高于元，所以，设政府每个月为他承担的总差价为元，则，由可得，所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元.2．（1）（2）当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．【详解】（1）由题意，当0<x<400s时，；当时，；故（2）当时，；当时，（元当时，（元，当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．3．（1）；（2）千元（1）（2）时，单调递增，最小值在处取到，；时，单调递减，最小值在时取到，单调递减，最小值在时取到，则最小值为，由，可得最小值为．答：该商场日收益的最小值为千元．4．（1），，；（2）从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.【详解】（1）由图1可得，当时，；当时，，即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；由图2，设对应的二次函数解析式为，又该函数过点，所以，解得，则，；（2）设上市时间为时的纯收益为，则由题意，得，即，当时，，当时，取得最大值；当时，，当时，取得最大值.综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.5．（1），；（2）时，的最大值是10.解：（1）作、分别垂直交于，连结.由圆的性质，是中点，设，又在直角中，所以其定义域是．（2）令，则，且，所以，当，即时，的最大值是10.考点：函数的解析式和最值.6．A【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函数解析式为.故选：A7．A【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.8．D【详解】因利润z＝12x－(6x＋30000),所以z＝6x－30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.故选：D9．C解：令，若，则，不合题意；若，则，满足题意；若，则，不合题意．故拟录用人数为25．故选：．10．（1）；（2）48.解（1）如图所示，延长NP交AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.在中，，所以.所以，定义域为.（2）设矩形BNPM的面积为S，则，开口向下，且对称轴为，则在上单调递增，所以当x＝8时，S取最大值48，所以矩形BNPM面积的最大值为48.11．C【详解】关于x的一元二次方程的两根均大于2，则,解得.故选：C.12．A【详解】由题意，污水池的宽为，则四周池壁总造价为，池底造价为：，两道隔壁墙造价为：，所以，又，解得：.故选：A.13．A【详解】由题意，可得调节税率后税率为%，预计调节税率后可收购万担，总费用万元，所以税收与的函数关系式为.故选A.14．B解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：．15．(－2，0)∪(2，5)【详解】利用函数f(x)的图象关于原点对称.∴f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5).故答案为：(－2，0)∪(2，5)16．，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)【详解】由题意函数是上的增函数，设，，由，解得，所以，所以故答案为：注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．17．176【详解】由题意，设日销售额为，①当，时，，故当或11时，最大值为；②当，时，，故当时，最大值为，综合①②知，当或11时，日销售额最大，最大值为.故答案为.18．【详解】，或.方程的根可视为直线与函数图象交点的横坐标，作出函数和直线的图象如下图：由图象可知，关于的方程的实数根为、.由于函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，关于的方程存在四个实数根、、、如图所示，且，，，因此，所求方程的实数根的和为.故答案为：.19．（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【详解】（1）.（2），∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．20．（1）；（2）.【详解】（1）由题知：，即；（2）设第一次漂洗后残留物为，第一次加入水量为，第二次加入的水量为则有，，即，，即，，当且仅当时，等号成立，故二次漂洗后残留物的最小值为21．（1）；（2）分钟.【