第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线 精讲（解析版）-2023年高考数学一轮复习

第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物

线

(精讲)

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系

题型二：中点弦问题

角度1：由中点弦确定直线方程

角度2：由中点弦确定曲线方程

题型三：弦长问题

题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题

第四部分：高考真题感悟

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：直线与椭圆的位置关系

龙2>2=1(a>6>0)联立成方程组，消元转化为关

将直线的方程与椭圆的方程7+F

于x或y的一元二次方程，其判别式为△.

①△>()1>直线和椭圆相交O直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；

②A=()0直线和椭圆相切o直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③A<0。直线和椭圆相离O直线和椭圆无公共点.

知识点二：直线与双曲线的位置关系

代数法：设直线/：y=Ax+〃?，双曲线j—「=i(a>o,o>o)联立解得：

ab-

(b~—a2k2)x2-2a1inkx—a~m1—a2b2=0

bb

(1)m=0时，—<攵v—,直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点)；

aa

bb

k>-,k<--，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；

aa

(2)相。0时，

女存在时，若。2_。2k2=o，k=士"直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相

a

交于~~1点；

若b1-a2k29^0，A=(-26r2mZ:)2-4(Z?2-a2k2)(-a2m2-a2h2)

=4a2b2(m2+b2—crk2)

A>0时，加2+。2一〃2公>0,直线与双曲线相交于两点；

A<0时，加2+/一/左2V0,直线与双曲线相离，没有交点；

4=0时加2+02一。2产=0，公=口2直线与双曲线有一个交点；相

a

切

Z不存在，一。<m<。时，直线与双曲线没有交点；

Q或根<一。直线与双曲线相交于两点；

知识点三：直线与抛物线的位置关系

设直线/：y=履+〃?,抛物线：y2=2px(，>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关

于x的方程

k2x2+2(km-p)x+m~=0

⑴若％H0,当A>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当△=0时，直线与抛物线相切，有一个切点；

当△<0时，直线与抛物线相离，没有公共点.

(2)若女=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因

此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：

若直线/：y=kx+b与圆锥曲线相交与A、B两点,A(X1,y),B(X2，>2)则：

2222

弦长|A4=yl(xt-x2)+(y,-y2)=J(x,-x2)+(kx,-k^)

=Jl+Z2k[一q

=y/l+k-J（X]+%2）——4X1X）

弦长|A目=J+.E-刃

这里1内一赴1,1y,-y21,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形:

IX-电1=&内+七>一4%七;Ijj-y2\=J（M+%尸-4y%

第二部分：课前自我评估测试

I

（2022•陕西渭南•高一期末）已知双曲线彳=16?>0,Z?>0）与直线y=2x无公

a

共点，则双曲线的离心率的最大值是（）

A.72B.2C.V2+1D.y/5

【答案】D

।22

双曲线的渐近线方程为：y=+-x,若双曲线0—1=1（fl>o,5>0）与直线y=2x无

aab~

贝U应有。<空2,所以离心率e=£=J1+-A/S>

公共点,

a

故选：D

2.（2022•上海市第三女子中学高二期末）过户（0,2）且与双曲线2/-丁=1有且只有一个公

共点的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

当斜率不存在时，过户的直线与双曲线没有公共点；

当斜率存在时，设直线为），=区+2,联立｛2；=：：]，得Q-公厂-4履-5=0①.

当2-〃=0,即人士夜时，①式只有一个解；

当2—炉工0时，则A=16产+20（2-/）=。，解得卜=±回；

综上可知过P（0,2）且与双曲线2d-y2=]有且只有一个公共点的直线有4条

故选：D.

3.（2022・湖南•高二阶段练习）已知F为双曲线C:三-亡=1的一个焦点，点”在C上，O

97

为坐标原点，若|。"|=|。尸|,则AOWF的面积为.

7

【答案】-##3.5

2

不妨设点〃（x,y）在第一象限，

22

由双曲线C：£-X=l,可得°=庐下=4，

97

因为1。徵=1。尸I，所以10MM"2=4,

又因为'-上•ul,所以y=:，故AOM尸的面枳为:x4xZ=〈.

974242

7

故答案为：—

4.（2022•内蒙古赤峰•高二期末（理））直线/过抛物线y2=2x的焦点F,且/与该抛物线

交于不同的两点3（%,%）.若占+占=3,则弦AB的长是一

【答案】4

由题意得夕=1，

由抛物线的定义知：AB=AF+BF=x]+^+x2+-^=x}+x2+p=3+l=4,

故答案为：4.

?2

5.（2022・全国•高二课时练习）已知直线3-+2=。与椭圆导/］相交于陆N两点,

求MN的长.

【答案】暗

3x—y+2=0

248

联立方程：一W-37X2+48X=0,+x=-—=0,

=12

164

因为斜率:3,

2

\MN\=J1+左2也-X2\=J]+12+4)_你工2=

48师

故答案为:

37

第三部分：典型例题剖析

题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系

典型例题

例题1.(2022•全国•高二课时练习)直线:+与=1与椭圆片+亡=1的交点个数为().

43169

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

22

由题意，椭圆土+汇=1,可得。=4,8=3,

169

则椭圆的右顶点为44,0),上顶点为B(0,3),

乂由直线5+4=1恰好过点AB,所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.

43

故选：C.

例题2.(2022♦四川•南部县第二中学高二阶段练习(理))过点尸(3,1)作直线/与抛物线

V=_4x只有一个交点，这样的直线/有()条

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

当直线/斜率不存在时，/:x=3,与抛物线无交点，不合同意；

当直线/斜率为零时，/:y=l,与抛物线有且仅有一个交点,满足题意；

当直线/斜率不为零时，x-3=1(y-l),即x=J(y-l)+3,

KK

x=—(y—1)+3

由彳k,)得：外22+今+⑵-4=0,

y2=-4x

则△=16-4%(12々-4)=0,解得：％=耳1,，满足题意的直线/有两条：

综上所述：过点P(3,l)与抛物线j2=-4x只有一个交点的直线/有3条.

故选：C.

例题3.(2022•全国•高二单元测试)若曲线2*=历7与直线y=m(x+D有公共点，则

实数机的取值范围是.

【答案】(-2⑵

如图，曲线2x=j4+y2,即为》2-1=1*>0）,表示以（右,0）为焦点的双曲线的右支部

分，此时该双曲线的渐近线为V=-2x与y=2x因为y=m（x+l）过定点要使直线

y=m（x+l）与双曲线右支有交点，则该直线的斜率一定在两渐近线之间，则-2<加<2

故答案为：（-2,2）

例题4.（2022•全国•高二课时练习）已知直线y=^+l与抛物线y,=4x有且只有一个公共

点，求k的值.

【答案】0或1.

①当直线丫=履+1与X轴平行时，方程为y=l,此时女=0,

与抛物线y?=4x只有一个公共点，坐标为（；」），满足题意；

②当时，方程y=^+l与抛物线方程联立，消去y得发2/+（2&-4）X+1=0,

△=（24-4）2-4/=0,解得4=1,此时直线方程为y=x+L

综上所述，％=0或1.

同类题型归类练

1.（2022♦江苏•高二）若直线如+利=4与圆/+丁=4没有交点，则过点的直线与

椭圆£+片=1的交点的个数为（）

94

A.0或1B.2C.1D.0

【答案】B

1-41

由题意/,,>2,得病+〃2<4,故点P（外小在以原点:为圆心，2为半径的圆内，即在

yjm~+n~

椭圆内部，过P点的直线与该椭圆必有2个交点.

故选：B

2.（2022・全国•高二课时练习）过点"（2,4）作直线/与抛物线V=8尤只有一个公共点，这

样的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.无数条

【答案】B

由题意，抛物线方程V=8x,点〃（2,4）恰好再抛物线丫2=8》上，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2,此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；

当直线/与x轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意：

因为点M在抛物线上，过点M有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，

所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.

故选：B.

3.（2022•全国•高二专题练习）直线y="+l和曲线2/+3/=6的位置关系为.

【答案】相交

曲线2f+3/=6为：片+片7,可得a=6b=立,

32

n2[2

直线产质+1恒过（0,1）,由d<i知定点（0,1）在椭圆内部，

所以直线y="+l与椭圆2/+3/=6的位置关系为相交.

故答案为：相交.

4.（2022•海南华侨中学高二期末）过点M（0,2）且与双曲线1=1只有一个公共点的直

线的条数是.

【答案】4

显然直线斜率存在，设过点M（0,2）的直线方程为y="+2,

y=Ax+2

联立方程<2y2»可得（2-&2）l2_4"—6=0,

I2

若2-〃=0,即a=±忘时，方程有1个解，即直线与双曲线只有一个公共点，满足题意；

若2-r/0,则由A=16公-4（2-公卜（—6）=0可解得4=±遥，此时直线与双曲线相切，

只有一个公共点，满足题意，

综上，满足题意的直线有4条.

故答案为：4.

5.（2022・全国•高三专题练习）若过点P（1,D且斜率为4的直线/与双曲线炉-21=|只有一

4

个公共点，则々=.

【答案】|或±2

由题意可得，：y=%（x-l）+l，代入双曲线方程得（4—二）/一2伏-22口-二+2%-5=0.

当-2=0,即1=±2时，直线/与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点:

当4一小片0时，/=4伏一公尸-4（4一公）（一公+22-5）=0,解得k=|.

综上，当％=;或左=±2时;直线与双曲线只有一个公共点.

2

故答案为：1或±2

题型二：中点弦问题

角度1：由中点弦确定直线方程

典型例题

丫2”2

例题1.（2022•河南开封•高二期末（文））如果椭圆益+方=1的弦被点（2,2）平分，那么

这条弦所在的直线的方程是（）

A.x+4y=0B.x+4y-10=0

C.x+4y-6=0D.x-4y+6=0

【答案】B

设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为4（.乂），85,力），贝匹+%=4,%+必=4

，1

汇

一+

I9

因326,两式相减可得，上其+“二幺=0,即-入二&=；•生也

-X%2

I-+-I369玉-%4y+必

9

36

,,%+2x21.y.-y11

由中点公式可得七^=7方=1,所以-砥5=-拉上7=7,即3=-；，

%+%2x2占-々4八"4

所以A8所在直线方程为y-2=—：（x—2）,即x+4y-10=0.

故选：B.

例题2.（2022•全国•高三专题练习）过点”（2,1）的直线交抛物线y2=4x于A,8两点，当点

M恰好为A8的中点时，直线AB的方程为（）

A•x+2y-5=0B.2,x—y—1=0C.2x+y-5=0D・2元—y—3=0

【答案】D

设A（x"J,8（孙力）,所以城=4占,月=4^,

两式相减得,（'+%）（,-4）=4（百一々），

因为点用（2,1）为A8的中点，所以％+丫2=2,

所以入三=2,故直线AB的斜率为2，

所以直线AB的方程为J-1=2（x-2）,即2x-y-3=0,

联立一,所以4/一16犬+9=0,A=(-16)2-4X4X9>0,故斜率为2符合题意,

因此直线AB的方程为2x-y-3=0,

故选：D.

例题3.(2022•福建•莆田一中高二期末)双曲线C:[-1=l(a>(U>0),离心率e=—,

a及3

虚轴长为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵经过点P(U)的直线/与双曲线C相交于AB两点，且尸为他的中点，求直线/的方程.

【答案】⑴《-V=l(2)x-3y+2=0

3

z.c0.2G

(1)v.e=—=---，2b=2、・・c=------a，。=1,

a33

112

,•*b—c—cr9l=­ci~—ci"fa=3t

2

...双曲线C的标准方程为工r->2=1；

3

(2)设以定点P(l,1)为中点的弦的端点坐标为A&,%),8(毛,为乂工尸毛)，

可得%+々=2,弘+%=2,

2

五2

3-X

由A8在双曲线上，可得：.2=1

天2=1

一3-%

两式相减可得以定点P(l,l)为中点的弦所在的直线斜率为：

2rj

々-斗3(y+%)3

则以定点P。,1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=；(x-1)，即为x-3y+2=0,

-------V-=1e

联立方程，3得：6y--12y+l=0,A=122-4x6x1=120>0，符合，

x-3y+2=0

二直线/的方程为：x-3y+2=0.

例题4.(2022•广东•信宜市第二中学高二开学考试)已知抛物线。：>2=20氏(0>0)上的点

M(3,，")(点〃位于第四象限)到焦点F的距离为5.

(1)求P，m的值;

(2)过点P0,2)作直线/交抛物线C于48两点，且点/>是线段AB的中点，求直线/的方

程.

【答案】(1)P=4,m=_2娓;(2)2x-y=0.

（1）由抛物线的定义可知：|MF|=3+5=5,解得：P=4,

.'.C:y2=8x,.•,/w2=8x3=24,解得，"=±2而，

,・•点M在第四象限，.•.，〃=-2#；

（2）设4（%,4）,5（孙丫2），

则"丁?，两式作差得（*+%）（%—%）=8（用一天），

.必'=8々

，直线/的斜率4="士=」一，；尸。,2）为A3的中点，

%-9y,+y2

/=4,:.k=2,

，直线/的方程为y-2=2（x-l）,即2x-y=0（经检验，所求直线符合条件）.

同类题型归类练

1.（2022・全国•高三专题练习）在抛物线V=8x中，以。,-1）为中点的弦所在直线的方程

是（）

A.x-4y-3=0B.x+4y-3=O

C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0

【答案】C

设以为中点的弦的两端点的坐标分别为人（和乂），巩々,月）,

由题意可得，）［=/,两式作差可得，靖-%2=8玉-8%,

）2=8*2

因此所求直线的方程为y—（T）=-4（x—l）,整理得4x+y-3=o.

故选：C.

2.（2022•甘肃兰州•高二期末（理））点尸（8,1）平分椭圆/+4产=4的一条弦，则这条弦

所在直线的方程是.

【答案】2x+y-17=0

椭圆方程可化为二+丁=1,

4

设4（改,乂）,3（々,%）是椭圆上的点，尸是弦A8的中点，

1J+M%f

则2两式相减并化筒得

4+x2x1—x2

1_1y-必y-%_

m即-7-z---------，-------------9，

48x}-x2-x2

所以弦A8所在直线方程为y-l=-2(x-8),即2x+y-17=0.

故答案为：2x+y-17=0

3.(2022•河南宋基信阳实验中学高二阶段练习(文))椭圆E:三+与=1(。＞人＞0)的一个

a2h~

焦点6(-2,0),离心率e=；.

(1)求椭圆E的方程；

(2)求以点尸(2,1)为中点的弦AB所在的直线方程.

22

【答案】⑴三+匕=1；(2)3x+2y—8=0.

1612

(1)根据题意可得C=2,£=]，故可得。=4,则从=〃一/=12，

a2

故椭圆方程为：—+^=1.

1612

(2)显然，直线的斜率存在，设A8两点的坐标为&/),(马,％)，

故可得K+g=i应+货=,故(…)(…)=_(M+%)D,

161216121612

X+%

故入二&X——由题可知上0=2,汽&=1,

x1^十■422

2

故可得y二&=3,=_[,

X)-x22

a

故直线AB的方程为y-1=-|(x-2),即3x+2y-8=0.

4.(2022•全国•高二课时练习)已知"(4,2)是直线/被椭圆x2+4/=36所截得的线段AB的

中点，求直线/的方程.

【答案】x+2y-8=0.

由题意可知/斜率必存在，设/斜率为％,则直线/的方程为y—2=Mx—4),

代入椭圆的方程化简得(1+4k2)/+(164一32^卜+64&2-64%-20=0,

设AG，*),/孙％)，；A>0，+X2=32公T"=8,解得女=_；,

1+4k2

故直线/的方程为：x+2y-8=0.

另解:

由题知M在椭圆内，设直线/与椭圆相交于点4（%,乂）,8仁,%），易知直线/斜率存在，设

斜率为左，：48在椭圆匕

T：篝泼，—2+4（1》。，即3+巴士®=（）,即

X+%%一%

Q1

2+44=0,解得々=.

42

.,.直线/的方程为k2=-如-4）,整理得x+2y-8=0.

5.（2022•江苏•高二课时练习）已知椭圆C：£+4=1，直线机与椭圆C相交于A,B两

63

点，且线段AB的中点为M（l,1）,求直线机的方程.

【答案”=0+|.

设A(xityi),B(X2,>,2).

由点A,8在椭圆匕

吟2+土2吟2+土2］,

（占+%）（西一%2）|（%+%）（%一必）_0

所以

63

ELyf3（药+乙）3x2

而kAB_--々i、

6(%+%)6^22

则宜线〃?：y—1=一；(1—1),即丁=—1x+—2

222

■>2

6.（2022.宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试（文））已知椭圆C：5+4=l

ab-

（a>0,b>0）的离心率为日,短轴长为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.

【答案】⑴—+^=1⑵x+2y-4=0

164

(1)e=S=且，2b=4,所以a=4,b=2,c=2百，椭圆标准方程为二十亡=1

a2164

（2）设以点P（2,l）为中点的弦与椭圆交于则须+々=4,乂+%=2,分

别代入椭圆的方程，两式相减得（X+士）（不一动+4乂+幻。—%）为，所以

4（毛-玉）+8（%-%）=0,所以％=学于=一；，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程

y-1=-—（x-2）,即x+2y-4=0.

角度2：由中点弦确定曲线方程

典型例题

22

例题1.（2022•四川南充•高二期末（文））过椭圆C：*■+专■=l（a>b>°）右焦点尸的直

线/：x-y-2=0交C于A,8两点，P为A3的中点，且。P的斜率为-g,则椭圆C的方

程为（）

A//X2y2

A,—+——1B•—H-1

8495

C.—+^-=1D.—+^-=1

73106

【答案】A

依题意,焦点尸（2,0）,即椭圆C的半焦距c=2,设A®,%）,8（X2,必），P（x。，%），

则有一"：，两式相减得：〃（占+%）（%-々）+22（乂+丫2）（必-%）=0，

也石=a~b

而玉+&=2%,%+必=2%,且包=一;，即有-2。2（芭-*2）+°2（%-丫2）=°，

又直线/的斜率>二&=1,因此有/=2从，而/—〃=/=4,解得“2=8,"=4,经验证

X一毛

符合题意，

22

所以椭圆C的方程为二+二=1.

84

故选：A

例题2.（2022•全国•高二课时练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F（6,0）,直线

y=x-l与其相交于"，N两点，若MN中点的横坐标为-：，则此双曲线的方程是

【答案】D

22

设双曲线的方程为二-2=l（a>0力>0）,由题意可得a2+b、7,设"（ax）,N（%,%），

a~h

则MN的中点为（-；,-告，由5—£=1且与一耳=1,得（为+々）『-］）=

<33；acrb储

25

（%+2%-%），2、（一§12x（一§）,即与=4，联立a**,解得。2=2,从=5,

b~->,9cib

a~h~

故所求双曲线的方程为工-£=1.故选D.

25

例题3.（2022•江苏南京•模拟预测）已知椭圆C：5•+《=1（4>。>0）过点，用，

直线/：y=x+”与椭圆C交于A,8两点，且线段AB的中点为M,0为坐标原点，直线

OM的斜率为-0.5.

（1）求椭圆C的标准方程；

22

【答案】（1）二+工=1;

42

设A（X，X），8优,必），则用（，

）1+%

即总

21

X}+工2

因为A,B在椭圆C上，所噂”1,

两式相减得（二华-）+（巨*口）=。,即_L+（y+丫2）（%-%）=0

a2/（氏+%）（公一吃）'

又二^=1,所以4-Jr=0，即/=»2.

%一%2b~

又因为椭圆C过点”,孚），所以：+4=1，解得/=4,6=2,

尤2J

所以椭圆C的标准方程为土+上=1；

42

例题4.（2022•安徽省亳州市第一中学高二开学考试）斜率为1的直线交抛物线

C：V=2px（p>0）于A,B两点,且弦AB中点的纵坐标为2.

（1）求抛物线C的标准方程；

【答案】（l）V=4x

设A（%,y）,5（如必），"必=2,%+%=4,

“1=；师，两式相减并化简得"^:白一，1=¥，P=2,

[y-=2px2x,-x2%+%4

所以抛物线方程为产=4乩

同类题型归类练

22

1.（2022・四川南充・二模（文））已知椭圆C:「+==l（a>b>0）的左焦点为F,过点F的

ah~

直线x-y+应=0与椭圆C相交于不同的两点A,8,若尸为线段AB的中点，。为坐标原点,

直线。户的斜率为则椭圆C的方程为（）

222

AA.厂Fy2=1DB.—%Hy=1

342

【答案】B

直线x-y+及=0过点网-应,0）,所以c=夜，

设4（%,3）,3（孙力），

由£+否=屠+善=1两式相减并化简得-与="&•江里

x,+x

a~bab~a~2x1-x2

所以人=c=\/2,tz=2,

所以椭圆c的方程为H+f=1.

42

故选：B

22

2.（2022•全国•高三专题练习（理））已知椭圆C：「+4=1（〃队>0）的左、右焦点分别为

ab-

耳，鸟，离心率为孝，过点耳的直线/交椭圆C于A,8两点，48的中点坐标为（-：,$.

（1）求椭圆C的标准方程：

【答案】（1）与+>2=1

设A（“，yj,B5,%）,可得与+与=1,冬+咚=1,

abah~

2_2.2

两式相减得2vV^¥二-=，

Xj-x2a

42、

将xl-^-x2=――,X+%=q代入上式，

即38.（-}=一*=e?-1,

又巳=也,

2

•*•八LAL】，

.•.直线/的方程为y=x+i,即可（—1,0）,

c=1»a=V2,i>=1,

...椭圆C的标准方程上+），2=1;

2

20

3.（2022•重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知椭圆C：二+与=1（4>匕>0）经过点P（G，

a-b-

3

5）,。为坐标原点，若直线/与椭圆。交于A,8两点，线段A5的中点为M,直线/与直

线OM的斜率乘积为

4

（1）求椭圆C的标准方程；

【答案】（1）土+炉=1

123

3

解：因为椭圆经过点尸（6，1），

39

所以/+/='

设4（4乂）,以毛，%），因为直线/与椭圆C交于48两点，

22

±+21/

2

所，两式相减得、二匹=-4•五旦，

a2

%5y+力

lv2+溟a-

a

因为线段AB的中点为M,且直线/与直线OM的斜率乘积为-9，

4

所以-=解得y=3,/=12,

a24

所以椭圆方程为：—+^-=1：

123

4.（2022.全国•高三专题练习）已知抛物线。：丁=2内（0>0）的焦点为凡过产且斜率为1

的直线与抛物线C交于A,8两点，且AB的中点的纵坐标为2.

（1）求C的方程

【答案】（1）y2=4x；

解：（1）设点A@，x）,8（々,力），则若左=2,所以％+必=4,又因为直线A8的斜率

为1,所以止工=1，

—

将4、8两点代入抛物线方程中得」%；=：网，将上述两式相减得，城-%2=2。（％-电），

[y/=2px2

即（乂_%）（乂+%）=2〃（玉_々），所以兴=干乎=1，即学=1，所以P=2,

因此，抛物线的方程为y?=4x；

题型三：弦长问题

典型例题

例题1.（2022•海南•琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆C:三+亡=1的左、右焦点

43

分别为「、K，过工且斜率为1的直线/交椭圆C于A、B两点,则|相|等于（

A241212夜

A.-o.—V.----D,瘦

7777

【答案】A

设直线A3方程为y=x-i,联立椭圆方程片+片=1

43

整理可得:7X2-8X-8=0,设A（X1,y）,3（X2，%），

则x+w=g,%”=-三，根据弦长公式有：

AB=\l'+k2.+工2『_你=[•故B，C,D错误.

故选：A.

例题2.（2022•全国•高三专题练习）经过双曲线Y-q=1的左焦点”作倾斜角为Y的直

线AB,分别交双曲线的左、右支为点A、B.求弦长IAB|=

【答案】3

•.•双曲线的左焦点为F/（-2,0）,设4（xi,w），B（X2,”），

直线"的方程可设为产去（x+2）,代入方程V—?=1得，4-4x73=0,

•_>13

••Xi+x2=-,xix2=--

Zo

二|AB\=J1+&2.1演_马卜+(.+4x,3.

故答案为：3.

例题3.（2022・贵州遵义•高二期末（理））椭圆C：*■+专■=l（“>b>0）左右焦点为《，

6,离心率为白，点Ml,

在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）经过点A（2,3）,倾斜角为:直线/与椭圆交于B,C两点，求忸C|.

【答案】（1）?+产=1（2）怛。=警

_c

（1）解：由题意得《e=Z=E,解得〃=4〃，

a2=b2+c2

又因为点Ml,一隹椭圆C上,

带入含+3=1得""

所以椭圆的标准方程为二+9=1.

4

（2）解：易得直线/的解析式为y=x+i,

设8（不必），。（林必）联立椭圆的方程

x2+4y2=4

y=x+l得……

%+刍=|,x,x2=O

忸平和+4N-占I=国（占+工2?-4「=挈

所以怛C|=苧

22

例题4.（2022•云南•丽江市教育科学研究所高二期末）已知椭圆C:]+投=1（“>。>0）的

离心率为正，且过点2-2,1）.

2

⑴求c的方程；

⑵若A,8是c上两点，直线A8与圆V+y2=2相切，求的取值范围.

22

【答案】⑴£+!=1(2)[2加,3]

63

(1)由题意得，

£_V2

a2

41r-r-

^+3=1,W=A/6,h=c=V3,

。2=/+。2

所以C的方程为F+4=1.

(2)圆V+y2=2的圆心为(0,0),半径圆r=&.

①当直线A8的斜率不存在时，方程为x=应或x=-&,

X=5/2X=—V2

于是有Yy2或*2

—+—=1—+—=1

6363

解得y=±5/2,

所以|AS|=20.

②当直线48的斜率为0时，方程为y=&或尸-血，

y=0y=-V2

于是有J2或f2

—+—=1—+—=1

6363

解得x=±亚，

所以网=2技

③当直线AB的斜率不为0时，设斜率为2,方程为、=乙+乙kx-y+t^0

因为直线48与圆V+y2=2相切，所以/L=应，得r=2(公+1)

，二.1

建