第三章：函数的概念与性质重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)（解析版）

第三章：函数的概念与性质重点题型复习

重点题型

F题型精析

题型一函数的概念辨析

［例1］下列关于函数与区间的说法正确的是（）

A.函数定义域必不是空集，但值域可以是空集

B.函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了

C.数集都能用区间表示

D.函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应

【答案】D

【解析】对于A,函数的定义域^值域均为非空数集，A错误；

对于B,若函数的定义域和值域均为R,

对应法则可以是二上，也可以是尸2x,B错误；

对于C,自然数集无法用区间表示，C错误；

对于D,由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应,

D正确.

【变式1-1】下列对应关系或关系式中是从A到B的函数的是（）

A.A=R,8qR,x2+y2=I

B.A={-1,0,1},B={1,2},—y=W+l

C.A=R,B=R，广3尸岩

D.A=Z,B=Z,/:x->j=V2x-l

【答案】B

【解析】对于A,丁+）,2=］可化为广土QF,

显然对任意xwA（户±1除外），），值不唯一,故不符合函数的定义；

对于B,符合函数的定义；

对于C,当户2时,对应关系无意义,故不符合函数的定义；

对于D,当x为非正整数时,对应关系无意义，故不符合函数的定义.

故选：B

【变式1・2】已知集合A={0,1,2）,人{-1,1,3},下列对应关系中，从A到6的函

数为（）

AJ：x-y=xB./：x-^y=x2CJ：x-y=2xD./：

x->y=2x-\

【答案】D

【解析】对A:当>0,1,2时，对应的y=x为0,1,2,所以选项A不能构成函数；

对8:当、=0」,2时.对应的y=V为0,1,4,所以选项3不能构成函数;

对C：当x=0,1,2时，对应的y=2%为0,2,4,所以选项C不能构成函数；

对。:当"0J2时对应的），=2>1为_］」,3，所以选项。能构成函数；

故选：D.

【变式1-3］如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（）

【答案】A

【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，

即A中每一个元素在对应法则下，在8中都有唯一的元素与之对应，

对于④⑤P的每一个元素在B中有2个元素与之对应，不是A到8的

函数，

对于⑥，八中的元素。3、%在8中没有元素与之对应，，不是A到3的

函数，

综上可知，是函数的个数为3.故选：A.

【变式1-4］下列关系中是函数关系的是（）

A.等边三角形的边长和周长关系B.电脑的销售额和利润的关系

C.玉米的产量和施肥量的关系D.日光灯的产量和单位生产成本

关系

【答案】A

【解析】根据函数关系的定义可得，

选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时,周长有唯一且确定的

值与其对应，

所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；

其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选:

A

【变式1・5］若函数尸/⑴的定义域"二3-2口42｝，值域为卜二｛切0«”2｝,

则函数y=/（x）的图象可能是（）

【答案】B

【解析】A中定义域是3-2*0},不是M={x\-2<x<2},故错误；

c中图象不表示函数关系，因为存在一个x对应两个y，不满足函数定

义；

D中值域不是N={)：|O0S2}.

只有B中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：

B.

题型二判断是否为同一个函数

【例2】下列各组函数中，表示同一函数的是()

A-f(x)=£j^,g(x)=x+lB./(x)=G\g(x)=(4J

C.f(x)=国,&(%)=>/?D./(i)=Jx+l-Jx-l,g(x)=4-1

【答案】C

【解析】A.函数〃=的定义域为{xlxwl},g(x)=x+l的定义域为R,故

不是同一函数；

B.小)="的定义域为R,屹)=(4)，的定义域为。+8),故不是同

一函数；

C.”加国应⑺二必二国的定义域都是R目解析式相同数是同一函数；

D./W=G・G的定义域为{41x21},g(、)=Q的定义域为

{x|xNl或xM-1},

故不是同一函数，故选：C

【变式2-1]下列各组函数中，表示同一函数的是()

A./(人)=4°,g(x)="B.=,^(A)=A+1

XX—1

C.f(x)=4x^4x+\,g(x)=&_]D.f(x)=x,g(x)=(五，

【答案】A

【解析】A中，〃x)=d,月(力=；定义域都为HI"=。},

对应关系以及值域相同，故为同一函数；

B中，〃司==，定义域为{]*"},g(x)=x+l定义域为R,故不是

X—1

同一函数；

C中〃(x)=GG，定义域为{X|XN1},g(x)=Fi定义域为{x|x之1

或x-l},

故不是同一函数；

D中，f(x)=x,定义域为R,g(x)=(4)2定义域为⑶北0},故不是同

一函数；

故选：A

【变式2-2]下列各组函数是同一函数的是()

A./*)=/与8(工)=(1+1)2B.f@)=匚3与虱x)=

C./(外=：与晨幻=9D./(%)=Jx+3*Jx-3与身(丁)=五-9

【答案】C

【解析】对于A,f,g(x)=(x+l)2,对应关系不同,即不是同一函数，

故A不正确；

对于BJ(x)=>/=?=义域为(~°°，。]g(幻=工匚7定义域为(—,0],

定义域相同，对应关系不同，函数不是同一函数，故B不正确；

对于C,/(力=：1,定义域为S，0)U(0收),g(x)=g=l,定义域为

(e,0)U(0,伊)，

定义域、对应关系相同，故为同一函数，故C正确;

对于D,/。)=&；^>/^:不定义域为［3,­),g(x)=7?三定义域为

(-oo，TiQ+oo),

定义域不同,函数不是同一函数，故D不正确；故选：C

【变式2-3］下列各组函数是同一函数的是()

A.y=与kXB.y=—^y=x

X+1X

C.y=4与y=lD.y=J(x-1)2与尸X-1

【答案】A

【解析】对于A,)，=*=”的定义域为R,k入的定义域为R,

则两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数；

对于B,y=［=x的定义域为卜打工。},y=x的定义域为R,

则两个函数的定义域不同，不是同一函数；

对于C,广斗的定义域为{上叫，…的定义域为R,

则两个函数的定义域不同，不是同一函数；

对于D,y="一厅=卜-1|和尸z的对应关系不同,故不是同一函数.

故选：A.

题型三求函数的定义域

［例3］函数/(“人乒^+白的定义域为()

%—1

22

A.{x|x>Q且XH1}B.{x|x<w或X>1}

22

C.{x|-<x<l)D.且X"}

【答案】D

3工_2>02

【解析】由题得二一

X-1HU3

2

所以函数的定义域为{xlxz；且］"}故选：D

【变式3-1】函数k筌+（2>1）°的定义域为（）

【答案】C

【解析】要使函数尸窸+3-1）”有意义，

则有七'll〉解得工<3且旧,

所以其定义域为卜司卜目）.故选：C.

【变式3-2】已知函数加+1）的定义域为[1,2],则〃2+3）的定义域为（）

A.[1,2]B.[OilC.[-U]D.士川

22

【答案】B

【解析】因为函数/。+1）的定义域为口，2],

所以14x42,则2G+143,

所以24-2户3«3,解得0G4；,

所以“-2.13）的定义域为[0夕，故选：B

【变式3-3】已知函数尸/3的定义域为[-2,3],则函数片花筌的定义域为

x+1

（）

33

A.[--A]B.C.[-3,7]

22

D.[-3,-1）5-1,7]

【答案】B

【解析】由题意得：-20+"3,解得：,

由x+lw。,解得：XW-1,

故函数的定义域是卜(，T)U(T，1],故选：B.

【变式3-4】函数j(A-)=百一2X+1的定义域为R则实数〃?的取值范围是[)

A.(011)B.(-oo,-1]C.[1,+oo)D.(-8,

-1)

【答案】B

【解析】/(x)的定义域是R,贝卜如2-2共后0恒成立，

即病+2x740恒成立,则｛二；，解得加4-1,

所以实数机的取值范围为(YO，T].故选：B.

9r-3

【变式3-5]若函数^二的定义域为R,则实数。的取值范围是

Vox4-av+l

【答案】[0,4)

【解析】的定义域是R,则加+恒成立，

4=0时，加+0¥+1=1>0恒成立，

"。时，则不二_痴<0,解得034.

综上，0<a<4.

故答案为：。4).

题型四求函数的解析式

【例4】已知函数/(力是一次函数，且/[/(力-4月=5恒成立，则八2)=()

A.1B,3C.7D,9

【答案】D

【解析】因为函数/⑴是一次函数，且/[〃力-4打=5恒成立,

令/(x)-4x=Z,则/U)=4x+J

所以"力=4，+，=5,解得/=1,

所以/Q)=4x+1,/⑵=2x4+l=9,故选：D

【变式4-1】已知二次函数/⑺满足/(2X+1)=4/-6X+5，求，(x)的解析式；

【答案】小)=亡-5工+9

【解析】设二次函数/3=加+区+。(。工0),

则/(2x+l)=ci(2x+l)*+Z?(2x+l)+c

=4ar24-(4fl4-2Z?)x4-(fl+Z>+c)=4x2-6x+5,

故4a=4,4a+2Z?=-6,a+Z?+c=5,解得a=l,0=-5,c=9,

故/(x)=f_5X+9.

【变式4-2]若函数/[g(切=6»3,且g(x)=2x+l,贝旷(x)等于()

A.12x+9B.6x+lC.3D.3x

【答案】D

【解析】令g(x)=2x+l=l,则A?

.-./(/)=6x£jl+3=3/z即/(x)=3x故选：D.

【变式4-3】设函数小+£|=2»1,则/(x)的表达式为()

A(、川B.E(Z)

【答案】B

【解析】令/=1+；("1),则可得户土(〃1)

所以/(£)=言+1=白("1)，所以“力=片。=1)，故选：B

Z-1I—1A—1

【变式4-4］若对任意实数匕均有，(X)-2/(T)=9X+2,求/(X).

【答案】3x-2.

【解析】利用方程组法求解即可；

・.・/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

A/(-x)-2/(x)=9(-x)+2(2)

由⑴+2x(2)得-3/(x)=-9x+6,

Af(x)=3x-2(xeR).

故答案为：3x-2.

【变式4-5】设函数/⑴是R-R的函数，满足对一切xwR,都有

/(x)+V(2-x)=2,则/")的解析式为/(x)=.

2xwl

【答案】—41

l,x=1

【解析】由f(x)+#(2-x)=2,得/(2r)+(2-3(x)=2,

将/(x)和〃2T)看成两个未知数,可解得〃x)=乙(.1),

1-X

当X=1时，/(2-1)+(2-1)/(1)=2,解得"1)=1,

—工］

综上，小)=1”’

l,x=1.

故答案为：］I--

l,x=l

题型五定义法证明函数的单调性

【例5】已知函数/(%)=芸，判断并证明/(力在区间卜22］上的单调性.

JT+o

【答案】单调递增，证明见解析

【解析】“X)在区间［-2,2］上单调递增，理由如下：

任取々，♦--22］,且当＜当，

(%-1)(¥+8)一(工2—1)(4+8)(芭72)(3+々+8一中2)

人）7（力/-煞(x；+8)(x；+8)(Xj2+8)(^+8)

因为-2Mxi42,

所以X—占<0,-4<X,+X2<4,-4<X,X2<4,

所以％+占一%占>一8

所以百+工2+8-百工2>°,

所以"%）-/5）<。,即/&）<♦（%）,

所以函数/（力在区间［T2］上单调递增.

【变式5-1］已知函数〃x）=Q,试判断八月在区间。田）上的单调性，并证

明你的结论.

【答案】增函数，证明见解析

【解析】/（X）在区间卜+8）上是增函数.证明如下：

设"‘为力，”），且不。2,

则/(xJ-/(w)="口-=

Jx-]+Jx2T，

因为/天«1，3），所以历/

又为<£，所以<。,且百万与嘉口不可能同时为0,

所以斤i+Qi>。，故”4）-/⑸<0,

故/（另在区间［l，y）上是增函数.

【变式5-2】证明：函数/（幻=2/」在区间（0收）上是增函数.

x

【答案】证明见解析.

【解析】设牛W£©+<»）,且再气,

而/（内）-，（工2）=（2父-5）-（2£_:）=（2年—2石）+:一;

=2（x,-42）（x；+%内+W）+~~~-

2,\1

C；+X|X>+XyI+---

因为x<°，*+%演+¥>0,—>。，贝（%-王+X|X>+x；）-<-0--

X\X2中2.

所以〃』)-"巧)<o,即以石)vf(巧)，

所以函数fW=2//在区间(0,m)上是增函数.

x

【变式5-3】已知函数〃力对任意的〃，beR，者B有=，且

当x>0时，〃”>1,判断并证明“X)的单调性；

【答案】函数小)在R上为增函数；(2)相£(-1令.

【解析】设心工是R上任意两个不等的实数，且用<%，则&丫=匕-%>0,

A,

3=/(^)-/(^)=/^-x1)+^］-/(x1)=/(A2-x1)+/(x1)-l-/(x1)=/(Ar)-l

9

由已知条件当x〉0时，/W>1,

所以,即》>0,

所以函数/(“在R上为增函数；

题型六利用函数的单调性求参数

【例6】若函数"')=而1在区间［一1』内单调递减，则实数〃的取值范围是

【答案】卜1,0)

【解析】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数同增异减可知〃<。，

第二步考虑函数定义域，⑪+拈0在I』恒成立，

［加之。得到一国<°

故答案为：

【变式6/】若/(%)=竺斗在区间(ID上是增函数，则实数〃的取值范围是一

X-1

【答案】«<-1

【解析】函数“幻=丝白心-””“=一@4，

x-lx-1X-1

由复合函数的增减性可知，若g（x）=等在（1，笆）为增函数,

X—1

.1.a+l<0,a<-\,

【变式6・2】（多选）函数/（幻=/+（2吁以+3在（-2⑵上为单调函数，则实数。

的取值范围可以是（）

B/q，|）C,[4>|]D.&+8）

【答案】AD

【解析】二次函数/（幻=/+（2〃-1）工+3图象对称轴为：x=_号,

因函教,⑶在（々2）上为单调函数,于是有：

当函数人幻在（々2）上递减时，-亨之2,解得,

当函数,（X）在（々2）上递增时，-号V-2,解得心生，

35

所以实数〃的取值范围是：然-；或2去故选：AD

—x2-mx,x>2

【变式6-3】已知函数〃幻=F对于%,\月》）且内f,都有

---,1<x<2

x

（%-%2）"（%）-/（々）]>（）,则，”的取值范围为.

【答案】（年

【解析】由题意可知，〃x）在口，e）上为单调增函数，

要使）,=_%在口⑵上单调递增,则T〃<0,即心0,

X

要使/“）=夫2一如在[2,+co）上单调递增，则,

同时gx22-2mN-g/?t,解得：加,

4

综上可知：0<z^-.

题型七求函数的最值或值域

【例7】求函数片后，6的最大值与最小值.

【答案】最大值日,最小值4

【解析】函数,根据对勾函数的性质可得：

i在图上单调递减，[2,4]上单调递增.

当x=2时取到最小值4.

1117

又当了=不时，y=-+8=—,当入=4时，,=4+1=5

所以当X=3时取到最大值日,

所以函数），的最大值9，最小值4

【变式7-1】y=3+x-Q7的值域是（）

'.（f]B.C,你引D.[|,+8）

【答案】A

【解析】因为y-3+x-，-2x,

所以1-2x20,「.xq,又t=3+x-5/I二五在时单调递增,

所以当X时，函数取得最大值为:，所以值域是,故选：A.

【变式7・2】函数/。）=药的值域（）

A.卜司唱引B•卜，｛|唱收

C.3尚叫/D.卜W卜停

【答案】D

c2112s11

（3+1）

【解析】依题意，VI3A-7_2111

3x+l3x+l3x+l333x+l

其中产g去的值域为（y，o）u（o收），

故函数f（x）的值域为卜司呜田|，故选D.

【变式7-3】若函数/3的值域是团则函数F（x）=/3+肃的值域是：）

'.M-1」Bc.问「C10］Cc.「510］D>•［「,5，5；

【答案】B

【解析】令/（、）=，,…］则咤，3.

当小期时，"八：单调递减，

当问1,3］时,…；单调递增，

又当时,y="当f=i时，尸2,当33时,H,

所以函数小）的值域为［吟］，故选：B.

【变式7-4】已知=设.Or）=min{x-2T+4x-2},则函数/*）的

最大值是（）

A.-2B.1C,2D.3

【答案】B

【解析】当彳-2r/+4彳-2，即x«0,3］时，f（x）=x-2在xe［0,3］上单调递增，

所以〃%«="3）=3-2=1,

当工一2>-9+4工一2,即xw（—,0）U（3,+co）时，

/（力=-2+叔-2=幻-2）2+2在工«—0）上单调递增,在（3,位）上单调

递减,

因为〃0)=-2,"3)=1,所以"”)vf(3)=l;

综上：函数"*)的最大值为1,故选：B

题型八函数奇偶性的判断

【例8】判断下列函数的奇偶性.

=(2)/(力=(1)居；

—2x,x<-1

(3)/(X)=^7+X/?^3；(4)/(%)=2,-1<X<1.

2x,x>\

【答案】(1)奇函数;(2)既不是奇函数也不是偶函数

(3)既是奇函数又是偶函数；(4)偶函数

【解析】(I)A")的定义域是(e，0"(0,yo),关于原点对称，

又〃-力=(-力3-5=-卜一目=一/(耳，所以外力是奇函数.

(2)因为/(x)的定义域为［-□),不关于原点对称,

所以7")既不是奇函数也不是偶函数.

(3)因为/(力的定义域为卜百，石｝,所以〃力=。,

则/(“既是奇函数又是偶函数.

(4)方法一(定义法)因为函数/G)的定义域为R,

所以函数“X)的定义域关于原点对称.

①当x>1时,-X<~\,所以―=(-2)x(r)=2x=F(x);

②当时，/(x)=2;

③当x<一|时，T>1,所以f(T)=2x(T)=_2x=f(力.

综上，可知函数/(X)为偶函数.

方法二(图象法)作出函数/(X)的图象，如图所示，易知函数

为偶函数.

【变式8・1】函数=奇当的图象关于对称.

【答案】原点

2

【解析】要使函数有意义,则［»4-3x|>»0。，得fJ-2<。A母-<2一，

解得-24x<0或0<三2,则定义域关于原点对称.

此时卜+3|7+3，则函数小卜厚=二=旺

,;/（一"=_";=_/（%），

•.函数”X）是奇函数，图象关于原点对称

故答案为：原点

【变式8-2］判断f（x）=1X+aI-1X-3WR）的奇偶性.

【答案】当"。时，小）既是奇函数，又是偶函数；当"。时，小）是奇函数

【解析】因为xeR,所以定义域关于原点对称,

当。=0时，则/@）=口1-1幻=。，所以/（X）既是奇函数，又是偶函数；

当4工0时,g］/（-^）=1--v+«I-1-v-«H-a|-1x+a|=-f（x）f

所以是奇函数.

综上所述，当。=0时，f（x）既是奇函数，又是偶函数；当"。时，f（x）

是奇函数.

2

【变式8-3】设函数/*)=等，则下列函数中为奇函数的是()

人I1

A./(x)+lB./(A+1)C./(x)-lD./(x-D

【答案】D

【解析】因为=W.

选项A：/(x)+l=i+l,定义域为(fo，-l)“T，+oc)，定义域不对称，

故A错.

22

选项B：+1=—7-7=—7,定义域为(-—2皿-2,+8)，定义域不对

X+1+1X+2

称，故B错.

2

选项c：/(x)-l=--1，定义域为(7，-1)5-1，+8)，定义域不对称，

X+1

故C错.

选项D：/(x-l)=——=-,定义域为(Y，O)U(O,也，

X-14-1X

定义域对称，为奇函数.故D正确.故选：D.

【变式8-4］设“X)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A.是奇函数B.是奇函数

C./(尤)-/(一可是奇函数D./(尤)+/(一)是奇函数

【答案】C

【解析】A选项：设〃(x)=/(x)/(r),〃(T)=/(T)/(X)=〃(X),

则/(x)/(-x)为偶函数，A错误；

B选项：设G(X)=/(X)|/(T)|,则G(T)=〃T)V3,G(x)与G(r)关

系不定，

即不确定了(不(一必的奇偶性,B错误；

C选项:设M(x)=C(x)-f(r),则"(r)="r)T3=-M(x),

则为奇函数，C正确；

D选项：设N(x)=〃x)+八t),则N(T)=/(T)+/(X)=N(X),

则为偶函数，D错误.故选：C.

题型九利用函数的奇偶性求值或求参

【例9】若函数/*)=/—瓜2-女在［3。,2+0上为奇函数，贝11a+6=.

【答案】4

【解析】因为函数"%)=/-瓜2+以在［3〃,2+4］上为奇函数，

所以3a+2+4=0,得。=-3,

又f(—x)=—/(x),BP(--v)3-b(-x)2—^(-^)=+bx2+^x,即次2=o，g^g

立，

所以匕=0,所以。+6=-(

故答案为：-1

【变式9-1］若函数/(加包芈为奇函数，则〃=()

A.yIB.22C.37D.1

234

【答案】B

【解析】根据题意得/(-)=(⑶+2，--。)=(-3-?(»0),

-5x5x

因为函数因力=为奇函数,

所以/(r)=-f(x),即(-3弋)("叽_(3%+?(…),整理得：

5x5x

(6。-4)元=0,

2

所以6a-4=0,解得〃=；.故选：B

【变式9-2］已知函数/(力=(。-1)/+”2-1是偶函数，则”.

【答案】1

【解析】函数/a)=e-i*+2f-i是偶函数，

贝」/(1一1)=〃1),即一(。一1)+2—1=〃—1+2—1,解之得"=1

经检验符合题意.

故答案为：1

【变式9-3】已知函数“6是定义在R上的奇函数，当Q0时，/(力=土+1),

那么/(-1)等于()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】因为工>。时，〃x)=M+l),可得〃l)=lx2=2,

又因为函数/(*)是定义在R上的奇函数，可得〃-1)=-〃1)=-2.故选：

A.

【变式9-4】设/("是定义域为(-2,2)的奇函数，当0“<2时，/"卜之十2"/〃

(加为常数)，则〃T)=()

A.B.|C.D.1

3322

【答案】c

【解析】因为/(x)是定义域为(-2,2)的奇函数，

所以/(。)=0,因为当0KX<2时，"X)=4+2X+〃,，

所以八。)=一3+阳=0，解得'〃=(，

所以当0W2时，/(x)=l^+2x+：,

X一乙Z

所以“T)=_/(l)=_(T+2+；)=_g.故选：C.

【变式%5】设函数/")=总答在区间［-2,2］上的最大值为M,最小值为N,

则(M+N-1广2的值为.

【答案】1

【解析】由题意知”(%)=千詈+1(),

设月(“=学九贝Uf(x)=g*)+1，

x+1

因为g(r)=q^=-g(x),所以g(x)为奇函数,

g(x)在区间［-2,2］上的最大值与最小值的和为(),

故M+N=2,所以(M+N-ILMZTIJI.

题型十利用函数的奇偶性求解析式

【例1。】设为奇函数，且当GO时J(x)=/+x，则当工<0时，/(力=()

A.x2+xB.-x2+xC.x2-xD.-x2-x

【答案】B

【解析】设X<0,则T>0,所以/(T)=dT,

又/(X)为奇函数，所以/(力=-/(-工)=-12-"=-/+%,

所以当X<O时,“6=-炉+、.故选：B.

【变式10-1］函数式力为偶函数，当时,f(x)=2x2-7x，则当X«YO,0)

时，仆)=()

A./(X)=-2X2+7XB.f(x)=-2x2-7xC.f(x)=2x2-7x

D.f(x)=2x2+7x

【答案】D

【解析】设x«F0),则r«0,.),贝！J〃T)=2(r)2-7(T)=2f+7x,

因为函数/(可为偶函数,

贝！］当xe(7,0)时，/(%)=/(—x)=2V+7”.故选：D.

【变式。2］已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当途0时J(力=幺+奴+K1,

则当工<0时，/«=()

A.x2-xB.X2+AC.-x2+xD.-x2-

【答案】D

【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以/(。)=。，

即“0)=«+1=0,解得=-1,

当x"时，f^)=x2-x,当x<0时，r>0,

贝l」/(r)=(-x)2+x=/+x,

因为/(力是奇函数，

所以/a)=-〃r)=T2r.故选：D.

【变式10-3］若定义在R上的偶函数/(回和奇函数履可满足f(x)+g(x)=e'(e

为无理数，e=2.71828…),则g(x)=()

A.e-rB.#+巧C.e，)D.#-巧

【答案】D

【解析】由/(x)+g(6=e'可得/(T)+g(T)=e-x,

根据/(%)与g(6的奇偶性可得)+g(r)=-g(x)二尸，

故〃x)—g(x)—［/(%)+g(x)］=er-e，.

整理得-2g(x)=e：-e"即武力=；1，-尸).故选：D.

题型十一利用单调性奇偶性解不等式

【例11】定义在12,2］上的偶函数/⑴在区间［0,2］上单调递减若"1-〃?)</(〃?),

则实数〃，的取值范围是()

Am<—Bni>—C.-1<zn<-D—<m<2

2,222

【答案】c

【解析】是偶函数,

故<f(m)可变形为/(|l-w|)<y(|/w|),

・・・/(x)在区间恨2］上单调递减,

-2«1-642-1</n^3

故.一2442=>'-2-2=-1故选:C.

|l-m|>|m|1

m<—

2

【变式U-1】若偶函数/(力在［。，+8)上单调递减，且川)=0,则不等式

2

/(X-3X+3)>0的解集是_________.

【答案】口,2］

【解析】因为偶函数〃力在［。，+巧上单调递减，所以.“力在(y，。)上单调递增，

又"1)=0,所以，(T)=〃l)=0,所以当TGM1时代论。,

则不等式/y-3x+3)NO等价于T"2_3x+3W1,解得1W2,

所以原不等式的解集为11

故答案为：口，"

【变式H-2］函数/*)是定义在(T1)上的奇函数且单调递减，若

/(2-〃)+/(4-昌<0,则。的取值范围是()

A.(石,3)B.6)52,+oo)C.(62)D.(-3,2)

【答案】C

【解析】函数/⑺是定义在(TI)上的奇函数且单调递减,

f(2-a)+f(4-a2)<0可化为/(2-a)<f(a2-4)

-\<2-a<\

贝1｝一1<4一/<i，解之得石<。<2故选：C

2-a>a2-4

【变式U-3】奇函数/(x+2)是定义在上的减函数若〃所1)+/(3-2间<0,

则实数，〃的取值范围为.

【答案】。，2)

【解析】由题意知，函数”、+2)的定义域为(T-1),

所以函数/(x)的定义域为(TJ)，

所以解得1<相<2.

-l<3-2m<l

又奇函数/(工+2)是(T-1)上的减函数,

所以/(X)是㈠」)上的奇函数，且在(T1)上单调递减.

由〃一1)+/(3-*)<0，得/(加一1)<一〃3-2加)，

所以/(6一1)</(2m-3),

所以帆一1>2所3,解得切<2.综上，l<m<2.

故答案为：(1,2).

【变式11-4】已知函数/(%)是定义在R卜的偶函数若内640,小)，目尹三,

都有***)一*"£)<0成立，则不等式〃/㈣-(*T)〃2时1)>。的解集为

苦-X2

()

A.(-00,-1)B.(f1)C.(h+0°)D.(T,*o)

【答案】c

【解析】令g(x)=4(x),因为函数/(")是定义在R上的偶函数，

所以g(r)=-"(r)=-"(*)=-g(x),即g(x)是定义在R上奇函

数.

又“，一0X),且…，都有巫皿〈0成

再一々“I一七

立，

所以g(.i)在［。，y)上单调递减，

又g(x)是定义在R上奇函数，所以g(x)在R上单调递减，

所以〃矿(〃。-(26-1)/®〃-l)=g(m)-g(2/n-l)>0,即g(m)>g(窃if,

所以,解得心1.故A,B,D错误.故选：C.

题型十二利用单调性奇偶性比较大小

【例12］定义在R上的偶函数小)在(0,+如上是减函数,则下列判断正确的是

A.尼卜/卜£）</（；）B./（；卜（扑/图

C"图<巾</卜｛|D./卜乐/信卜吗）

【答案】A

【解析】因为小）为偶函数，所以/（［）=错），〃等=吗），

1|3

又;,且/*）在（0,+8）上是减函数,

所以•故选：A

【变式12-1］已知定义在R上的函数/（'）的图象是连续不断的，且满足以下条

件：①VXGRJ（-X）=/（X）;（2）V^,x2e（0,-Ko），当x产9时''''*'>。.记

内一々

“=/（1），6=守，c=§，则（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【解析】依题意，Vxxe（0,+x）工产毛，也""）一"""）>0,

p2#

X-A

fM_fM（）

即百马；o,所以函数受在（。，包）上单调递增.

又“cR,f（~x）=f（x）,所以函数/（"是R上的偶函数，

所以婚=与厕有芈〈与〈孝，所以"力，故选：B.

【变式12-2】已知函数/（x+1）是偶函数，当时，［〃％）—/（%）］（再一修）〉。

恒成立，设”/（一£|，b=f②,c=〃3）,则〃，b,c的大小关系为（）

A.c<b<aB,b<a<cC.b<c<aD,a<b<c

【答案】B

【解析】•・,当1<百<七时，［/&）-/（8）］&-3〉。，期立,

・••当1<百</时，/㈤-/6)>0,即/(%)"(%),

.・.函数/⑺在—上为单调增函数，

・・,函数/(»1)是偶函数,即/(1+力=/。-x),

・・・函数/(x)的图象关于直线x=l对