专题04勾股定理的实际问题

专题四勾股定理的实际问题考点一树折断问题【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。1．如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（）米．A．15 B．20 C．37 D．24【思路点拨】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．【解析】解：因为AB＝9米，AC＝12米，根据勾股定理得BC=92于是折断前树的高度是15+9＝24米．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m【思路点拨】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．【解析】解：如图：∵BC＝8米，AC＝6米，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AB＝10米，∴这棵树在折断之前的高度是18米．故选：A．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．3．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【思路点拨】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．【解析】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．∵AB＝x，AB+AC＝16，∴AC＝16﹣x．在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝16﹣x，BC＝8，∴AC2＝AB2+BC2，即（16﹣x）2＝x2+82，解得：x＝6．故旗杆在离底部6米的位置断裂．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．考点二梯子滑落问题【方法点拨】梯子滑落前后的长度是相等不变的，一般利用“两次勾股定理”求线段的长。1．如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？【思路点拨】在RT△ABC中，根据勾股定理得：AC＝8米，由于梯子的长度不变，在RT△CDE中，根据勾股定理，求出CE，从而得出答案．【解析】解：在Rt△ABC中，AB＝10米，BC＝6米，故AC=AB在Rt△ECD中，AB＝DE＝10米，CD＝（6+2）＝8米，故EC=DE故AE＝AC﹣CE＝8﹣6＝2（米）．答：梯子顶端A下落了2米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．2．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？【思路点拨】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC＝AE+CE即可求得CE的长度，在直角三角形DEC中，已知AB＝DE，CE即可求得CD的长度，根据BD＝CD﹣CB即可求得BD的长度．【解析】解：在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，则AC=2．5∵AC＝AE+CE∴CE＝2m，∵在直角△DEC中，AB＝DE，且DE为斜边，∴CD=DE2∴BD＝CD﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m答：梯足向外移动了0.8m．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CD的长度是解题的关键．3．如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m．（1）求梯子的顶端到地面的距离；（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m，则梯子顶端向下滑多少米？【思路点拨】（1）直接利用勾股定理求出梯子的顶端到地面的距离；（2）直接利用勾股定理求出梯子顶端向下滑动的距离．【解析】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∵AB＝7.5m，BC＝4.5m，∴AC=AB2-答：梯子的顶端到地面的距离为6m；（2）如图，∵BF＝1.5m，∴CF＝6m，∴EC=EF2-∴AE＝1.5，答：梯子顶端向下滑1.5米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．考点三台风问题【方法点拨】运用点到直线的距离最短，可判断是否受台风的影响。1．如图，在点B正北方1502cm的A处有一信号接收器，点C在点B的北偏东45°的方向，一电子狗P从点B向点C的方向以5cm/s的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为170cm．（1）求出点A到线段BC的最小距离；（2）请判断点A处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．【思路点拨】（1）作AH⊥BC于H．求出AH即可解决问题；（2）当AP＝170cm时，PH=1702-1502=80cm，当AP′＝170cm时，HP′＝80【解析】解：（1）作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝1502cm，∠B＝45°，∴AH＝AB•sin45°＝150cm，答：点A到线段BC的最小距离为150cm．（2）∵AH＝150cm＜170cm，∴点A处能接收到信号．当AP＝170cm时，PH=1702当AP′＝170cm时，HP′＝80cm，∴PP′＝160cm，∴可接收信号的时间=1605=答：可接收信号的时间32s．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．在某台风登陆期间，A市接到台风警报时，在该市正南方向l50km的点B处台风中心正以20km/h的速度沿BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD＝90km．（1）台风中心经过多长时间从点B移动到点D？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点D的人脱离危险．人必须在接到台风警报后的几时内撤离（撤离速度为6km/h）？【思路点拨】（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算．（2）根据在30千米范围内都要受到影响，可以根据游人的速度求游人撤离的时间，再结合第一问的结论进行分析．【解析】解：（1）在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=1502120÷20＝6时；所以台风中心经过6小时从点B移动到点D．（2）根据题意，得游人最好选择沿AD所在的方向撤离．撤离的时间＝30÷6＝5．又台风到点D的时间是6小时．即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析．3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD=12AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【思路点拨】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．【解析】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，在Rt△ABD中，∵AD=1∴∠ABD＝30°，AB＝240千米，∴AD=12AB＝∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200千米．∵120＜200，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝200．∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝22002∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．（3）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）＝7.2（级）．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．考点四方位角问题【方法点拨】掌握方位角的概念，可以巧用特殊方位角构造直角三角形求解。1．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°【思路点拨】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．【解析】解：甲的路程：40×15＝600m，乙的路程：20×40＝800m，∵6002+8002＝10002，∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，∵甲客轮沿着北偏东30°，∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．【思路点拨】根据题意得出AC＝30海里，AB＝40海里，BC＝50海里；由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，即可求出乙船的航行方向．【解析】解：根据题意得；AC＝30海里，AB＝40海里，BC＝50海里；∵302+402＝502，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴180°﹣90°﹣35°＝55°，∴乙船的航行方向为南偏东55°．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、方向角；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．3．如图，东西走向的A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？【思路点拨】过点P作PD⊥AB，D是垂足．AD与BD都可以根据三角函数用PD表示出来．根据AB的长，得到一个关于PD的方程，解出PD的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．【解析】解：过点P作PD⊥AB，垂足为D，由题可得∠APD＝30°∠BPD＝45°，设AD＝x，在Rt△APD中，PD=3x在Rt△PBD中，BD＝PD=3x∴3x+x＝100，x＝50（3-1∴PD=3x＝50（3-3）≈63.4＞∴不会穿过保护区．答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．考点五其它问题【方法点拨】根据相关的实际问题构造直角三角形，运用勾股定理求解。1．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）A．600a元 B．50a元 C．1200a元 D．1500a元【思路点拨】此题首先由已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，根据勾股定理求出另一条直角边BC，再求出面积，从而得出答案．【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，∴BC=AB共需要资金为：12×40×30•a＝600故选：A．【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是先由已知结合勾股定理求出另一条直角边，再求出面积即得答案．2．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发．现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【思路点拨】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．【解析】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根据勾股定理得AB＝500米，∵12AB•CD=12BC∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是13m．【思路点拨】设BC＝xm，根据题意用x表示出AC和OC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解析】解：设BC＝xm，则AC＝xm，OC＝（25﹣x）m，由勾股定理得，BC2＝OB2+OC2，即x2＝52+（25﹣x）2，解得x＝13．答：机器人行走的路程BC是13m．故答案为：13【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．4．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：3≈1.7【思路点拨】直接利用已知得出CF，CG的长，再利用勾股定理得出CF的长进而得出答案．【解析】解：不能通过．如图，在AB之间找一点F，使BF＝2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，∵AB＝3.3m，CA＝0.7m，BF＝2.5m，∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.5m，∵∠ECA＝60°，∠CGF＝30°∴CG＝2CF＝3m，∴GF=CG2-∵2.55＜3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出CG的长是解题关键．5．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC＝25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．【思路点拨】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）由题意得：AD＝4a，BE＝3a，根据全等可得DC＝BE＝3a，根据勾股定理可得（4a）2+（3a）2＝252，再解即可．【解析】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∠ADC∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2＝AC2，∴（4a）2+（3a）2＝252，∵a＞0，解得a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．6．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【思路点拨】（1）根据勾股定理求出BC的长；（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC＝60m，AB＝100m，且AB为斜边，根据勾股定理得：BC＝80（m）；（2）这辆小汽车没有超速．理由：∵80÷5＝16（m/s），平均速度为：16m/s，16m/s＝57.6km/h，57.6＜70，∴这辆小汽车没有超速．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．7．图1是围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2，请你根据图2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管多少米（焊接部分忽略不计）．【思路点拨】首先根据等腰三角形的性质可得DO=12CD＝0.8m，再在Rt△BDO中利用勾股定理计算出【解析】解：由题意得：BO⊥CD，∵△BCD是等腰三角形，∴DO=12CD＝0.8在Rt△BDO中，∵BD2＝DO2+BO2，∴BD=0．∴BC＝1米，∴等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管：1+1