专题114平行线中的动点问题（分层练习）（综合练）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.14平行线中的动点问题（分层练习）（综合练）1．（2023下·广东汕头·七年级校考期末）点E在射线上，点F、G为射线上两个动点，满足，，平分．

（1）如图1，当点G在点F右侧时，求证：；（2）如图2，当点G在点F左侧时，求证：；2．（2023下·江西赣州·七年级统考期末）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点．

（1）求证：；（2）如图，为线段上一个定点，点为射线上一个动点，当点在射线上运动（点除外）与有何数量关系？猜想结论并说明理由．3．（2023下·广东云浮·七年级校考期中）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合），平分，平分，分别交射线于点C，D．

（1）求，的度数；（2）当点P运动时，试判断与的度数有怎样的关系，并说明理由；（3）当点P运动到使时，求的度数．4．（2023下·四川凉山·七年级统考期末）直线交于M、N，P点是直线上一个动点

（1）如图a，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）如图b，P点在射线上时，若时，证明、与的关系．5．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，．（1）求的度数；（2）在点运动过程中，试判断与之间的数量关系？并说明理由；（3）当点运动到使时，求出的度数．6．（2022上·山西临汾·七年级统考期末）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线，直线与，分别交于点C，D，点A在直线上，且在点C的左侧，点B在直线上，且在点D的左侧，点Р是直线上的一个动点（点Р不与点C，D重合）．当点Р在点C，D之间运动时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．独立思考：（1）请解答老师提出的问题．实践探究：勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点Р在C，D两点的外侧运动时，，，之间的数量关系又是如何？（2）如图2，当点P运动到点C上方时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当点P运动到点D下方时，请直接写出，，之间的数量关系．7．（2022下·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）如图，∠EBF为锐角，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从点B出发在∠EBF的边BE上，沿BE方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线．（1）在动点A运动的过程中，______（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD平分∠EAC？（2）假设存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之间有何数量关系？并请说明理由；（3）当AC⊥BC时，写出AD与AC之间的位置关系，并说明理由．8．（2022下·江西赣州·七年级统考期末）已知AB∥CD，点E在射线BC上，连接AE，DE，设∠BAE＝α，∠CDE＝β．（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠AED＝______（用含α，β的式子表示）；（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时．①判断∠AED与α，β的数量关系，并说明理由；②若M为平面内一动点，且MA∥ED，请直接写出∠MAB与β的数量关系．9．（2022下·辽宁营口·七年级统考期中）已知，ABCD，点M、N分别在AB、CD上，点P是一个动点，连接MP、NP．（1）当动点P落在图1位置时，请探讨∠P与∠AMP、∠CNP之间的关系，并说明理由；（2）当动点P落在图2位置时，请探讨∠P与∠AMP、∠CNP之间的关系，并说明理由；（3）当动点P落在图3位置时，请探讨∠P与∠AMP、∠CNP之间的关系．（直接写出答案，不需要说明理由）（4）当动点P落在图4位置时，请探讨∠P与∠AMP、∠CNP之间的关系．（直接写出答案，不需要说明理由）10．（2022下·北京·七年级北京市第二中学分校校联考期中）已知：，P为平面内任意一点，连接．（1）如图1，若点P为平行线之间一点，且满足，则的度数为_____；（直接写出答案）（2）拖动点P至如图2所示的位置时，试判断和之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，设点E为延长线上一点，作和的角平分线交于点Q，请你试写出与之间的数量关系，并简要说明理由．11．（2024上·重庆万州·七年级统考期末）如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为M、N，交于点P，且．（1）判断是否平分，并说明理由．（2）如图2，点E是射线上一动点（不与点P、N重合），平分交于点F，过点F作交于点Q，①当点E在线段上时，若，求的度数；②当点E在运动过程中，设，（和（之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．12．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．

（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．①当点G在点F的右侧时，若，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．13．（2023下·山西晋城·七年级期末）如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分．（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由．（2）如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q，①若，，求的值．②设，．点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由．14．（2022下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）（1）“一条彩虹路，尽览红叶美，”渑池县以打造最美旅游公路为重点，弘扬地域文化、彰显仰韶特色．数学课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，已知，，，求的度数．小明同学的思路：过点P作，点G在点P的左侧，进而推出，由平行线的性质来求，得______．（2）图2、图3均是由一块直角三角尺和一把直尺拼成的图形，，，与相交于点E，有一动点P在边上运动，连接，，记，．①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．

15．（2023上·湖南怀化·八年级校考开学考试）如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．

（1）求与的和；（提示过点D作）（2）当点在直线上运动时，试说明；（3）当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值．16．（2022上·吉林长春·七年级校考期末）如图，，平分，点E在射线上，，垂足为D，平分，交射线于点F，动点P从点O出发沿射线运动，连接．

（1）当平分时，______°；（2）当时，求的度数；（3）当时，______°；（4）当时，直接写出此时的度数．17．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，已知直线与直线，直线分别交于点E，F，平分交直线于点M，且．

（1）求证：；（2）点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设．①点G在点F右侧，且，求的度数；②点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出结论．18．（2023下·河南漯河·七年级统考期中）问题情境：（1）如图①，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得______；

问题迁移：（2）图②，图③均是由一块三角尺和一把直尺拼成的图形，三角尺的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．

①如图②，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图③，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由．拓展延伸：（3）当点在，两点之间运动时，若，的平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．19．（2023下·山东青岛·七年级校考阶段练习）如图，长方形中，已知，，且点是边的中点，点是以每秒个单位的速度从点出发沿射线方向运动的一个动点．

（1）当，求四边形面积．（2）若，，求的度数．（3）求点运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一．20．（2023下·天津西青·七年级期末）已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．

（1）如图①，求证；（2）如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数．21．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，在中，．过点A作．

（1）判断是否平分，并说明理由；（2）如图2，点D是射线上一动点（不与点B，C重合），平分交射线于E，过点E作于F．①当点D在点B左侧时，若，求的度数；②点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．22．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．

（1）求的度数．（2）点为直线上的一个动点，连接．①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由．②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．23．（2023下·广东肇庆·七年级统考期中）如图1，已知直线，点C为直线，之间（不在直线上）的一个动点，连接，，平分，平分，和交于点F．

（1）证明：，（2）如图2，连接，则在点C的运动过程中，当满足，时：①若，请直接写出的度数；②若，求的度数．24．（2023下·贵州黔东南·七年级统考期末）如图，已知直线，直线分别与交于C，D两点.点A，B分别在直线上，且与点C，D不重合，点P是直线上的动点．

（1）【问题解决】写出图1中一对相等的角；（2）【问题探究】如图1，若点P是线段上的动点，试探究，之间的关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图2，若点P在线段的延长线上时，探究，之间的关系，并说明理由．参考答案：1．（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】（1）先根据平分，可得出,从而得到,然后根据内错角相等，两直线平行，得出，又，所以,根据同位角相等，两直线平行，及可得出答案；（2）过点G作，交于点H，可得到,所以，，故可得到．解：（1）证明：（1）∵平分，∴,又∵，

∴,∴（内错角相等，两直线平行），∴,∵，∴,∴（同位角相等，两直线平行）；（2）证明：过点G作，交于点H，如图，

由（1）可得，∴,∴，（两直线平行，内错角相等），∵，∴．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是找到各个角度之间的关系．2．（1）见分析；（2），证明见分析【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得出，进而即可得证；（2）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而得出．解：（1）证明：，平分，平分，（2）证明：过点作，

，，，，，．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．3．（1），；（2）．不随点P运动变化，见分析；（3）【分析】（1）由得到，则可得，，由平分线的定义得到，则，即可得到的度数；（2）由得到，由平分得到，则，结论得证；（3）由得到，根据得到，则，即可得到，由（1）可知，由角平分线定义得到，即可得到的度数．（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，（角平分线的定义），∴，∴；（2）与之间数量关系是：．不随点P运动变化．理由：∵，∴（两直线平行内错角相等），∵平分（已知），∴（角平分线的定义），∴（等量代换），即；（3）结论：．理由：∵，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）可知，∴，∴．【点拨】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，利用平行线的性质、角平分线的定义得到角之间的关系是解题的关键．4．（1），理由见分析；（2），理由见分析【分析】（1）过点P作，得到，进而推出，得到，由此得到结论；（2）过点P作，得到，推出，由此得到结论．（1）解：，理由如下：过点P作

∴∵∴∴∴∵∴；（2）证明：，理由如下：过点P作，

∵∴∴∵∴．【点拨】此题考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）；（2），理由见分析；（3）【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，进而即可求解；（2）根据平行线的性质得出，，又平分，即可得出；（3）由平行线的性质得出，进而得出，角平分线的定义即可得出结论（1）解：如图，，，，，、分别平分和，，，，（2），理由如下：，，，又平分，，∴．（3），，，，即，，．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．6．（1）；（2），理由见分析；（3）【分析】（1）过点Р作，根据平行线的性质得出，再由平行线的推论得出，利用等量代换即可得出结果；（2）过点作，根据平行线的性质得出，再由平行线的推论得出，利用等量代换即可得出结果；（3）过点作，方法与（1）（2）类似，即可得出结果．（1）解：．理由：如解图1，过点Р作，则．∵，∴．∴．∴．（2）．理由：如解图2，过点作，则．∵，∴．∴．∴．（3）．如解图3，过点作，则．∵，∴．∴．∴．【点拨】题目主要考查平行线的性质及推论，熟练掌握平行线的性质及推论是解题关键．7．（1）是；（2）∠B＝∠ACB，理由见分析；（3）AD⊥AC，理由见分析【分析】（1）要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD=∠CAD，由平行线的性质可得∠B=∠EAD，∠ACB=∠CAD，则当∠ACB=∠B时，有AD平分∠EAC；（2）根据角平分线可得∠EAD=∠CAD，由平行线的性质可得∠B=∠EAD，∠ACB=∠CAD，则有∠ACB=∠B；（3）由AC⊥BC以及平行线的性质可得AC⊥AD．（1）解：是．理由如下：要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD=∠CAD，由平行线的性质可得∠B=∠EAD，∠ACB=∠CAD，则当∠ACB=∠B时，有AD平分∠EAC；故答案为：是；（2）解：∠B=∠ACB．理由如下：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵ADBC，∴∠B=∠EAD，∠ACB=∠CAD，∴∠B=∠ACB；（3）解：AD⊥AC．理由如下：∵AC⊥BC，ADBC，∴AD⊥AC．【点拨】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．8．（1）；（2）①，见分析；②或【分析】（1）过点E作EF∥AB，可得∠AEF=∠BAE＝α，再由AB∥CD，可得EF∥CD，从而得到∠DEF=∠CDE＝β．即可求解；（2）①作EF∥AB，可得可得∠AEF=∠BAE＝α，再由AB∥CD，可得EF∥CD，从而得到∠DEF=∠CDE＝β．即可求解；②分两种情况讨论：当点M在∠BAE的内部时，当点M在∠BAE的外部时，即可求解．（1）解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠AEF=∠BAE＝α，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF=∠CDE＝β．∴∠AED=∠AEF+∠DEF=α+β．故答案为：（2）解：①．理由如下：如图，作EF∥AB，∴∠AEF=∠BAE＝α，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF=∠CDE＝β．∴；②如图，当点M在∠BAE的内部时，∵AM∥DE，∴∠MAE=，∵∠BAE＝α，∴∠MAB=∠BAE∠MAE=α（αβ）=β；如图，当点M在∠BAE的外部时，∵AM∥DE，∴∠NAE=，∵∠BAE＝α，∴∠NAB=∠BAE∠NAE=α（αβ）=β；∴∠MAB=180°∠BAN=180°β；综上所述，∠MAB与β的数量关系为或．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．9．（1）∠P＝∠AMP＋∠CNP，理由见分析；（2）∠P＋∠AMP＋∠CNP＝360°，理由见分析；（3）∠P＝∠CNP－∠AMP；（4）∠P＝∠AMP－∠CNP【分析】（1）过点P作PQAB，根据平行公理可得PQCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AMP＝∠1，∠CNP＝∠2，然后根据∠P＝∠1+∠2等量代换即可得解；（2）过点P作PQAB，根据平行公理可得PQCD，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠AMP＝180°﹣∠1，∠CNP＝180°﹣∠2，然后根据∠P＝∠1+∠2等量代换即可得解；（3）过点P作PQAB，然后根据平行线的性质解答即可．（4）过点P作PQAB，然后根据平行线的性质解答即可．（1）解：如图1，过点P作PQAB，∵ABCD，∴PQCDAB，∴∠AMP＝∠1，∠CNP＝∠2，∵∠MPN＝∠1+∠2，∴∠MPN＝∠AMP+∠CNP；（2）如图2，过点P作PQAB，∵ABCD，∴PQCDAB，∴∠AMP＝180°﹣∠1，∠CNP＝180°﹣∠2，∴∠AMP+∠CNP＝180°×2﹣（∠1＋∠2），∵∠MPN＝∠1+∠2，∴∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°；（3）∠MPN＝∠CNP﹣∠AMP；如图3，过点P作PQAB，∵ABCD，∴PQCDAB，∴∠NPQ＝∠CNP，∠AMP＝∠MPQ，∴∠MPN＝∠NPQ－∠MPQ＝∠CNP－∠AMP，即∠NPM＝∠CNP﹣∠AMP；（4）∠P＝∠AMP﹣∠CNP．如图4，过点P作PQAB，∵ABCD，∴PQCDAB，∴∠NPQ＝∠CNP，∠AMP＝∠MPQ，∴∠MPN＝∠MPQ－∠NPQ＝∠AMP－∠CNP，即∠MPN＝∠AMP﹣∠CNP．【点拨】本题考查了平行线的性质和判定、角的和差计算等知识，此类题目，关键在于添加平行线作为辅助线．10．（1）75；（2）∠BAP=∠APC+∠C，见详解；（3）∠AQC+∠APC=90°，见详解【分析】（1）过点P作PF∥AB，根据平行线的性质即可得解；（2）延长BA交PC于点G，根据平行线的性质、三角形外角性质求解即可；（3）设CQ交AB于点M，根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质求解即可．（1）解：过点P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PF，∴∠APF=∠A=30°，∠CPF=∠C=45°，∴∠APC=∠APF+CPF=75°，故答案为：75°；（2）解：∠BAP=∠APC+∠C，理由如下：延长BA交PC于点G，∵AB∥CD，∴∠PGA=∠C，∵∠BAP=∠APC+∠PGA，∴∠BAP=∠APC+∠C；（3）∠AQC+∠APC=90°，理由如下：设CQ交AB于点M，∵AB∥CD，∴∠QCD=∠AMQ，∵CQ平分∠PCD，∴∠QCD=∠PCD，∴∠AMQ=∠PCD，∵AQ平分∠BAE，∴∠MAQ=∠BAE=（180°∠PAB）=90°∠PAB，由（2）知，∠PAB=∠APC+∠PCD，∴∠MAQ=90°（∠APC+∠PCD），即∠MAQ=90°∠APC∠AMQ，∵∠AMQ=∠AQC∠MAQ，∴∠MAQ=90°∠APC（∠AQC∠MAQ），∴∠AQC+∠APC=90°．【点拨】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．11．（1）平分，详见分析；（2）①，或【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．（1）利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用角平分线的定义即可解答；（2）①设，先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，进而可得，然后再利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后进行计算即可．②分两种情况：当点E在线段上时；点E在线段的延长线上时；然后分别进行计算即可解答．（1）解：平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，即平分．（2）解：①设，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：x=40，∴．分两种情况：当点E在线段上时，；当点E在线段的延长线上时，；理由：当点E在线段上时，设，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即；如图：当点E在线段的延长线上时，设，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；综上所述：当点E在线段上时，；当点E在线段的延长线上时，．12．（1）平行，见分析；（2）①25度；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时，【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用：（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；（2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，平分，即可得到，再根据，即可得到中，；②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，．当点G在点F的左侧时，．解：（1）∵平分∴，又∵，∴，∴；（2）①如图2，

∵∴，又∵平分，平分∴，，∴，又∵，∴中，，即；②点G是射线上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，．

证明：∵，∴，又∵平分，平分∴，∴，又∵，∴中，，即；如图3，当点G在点F的左侧时，．

证明：∵，∴，又∵平分，平分，∴，∴，又∵，∴中，，即．13．（1）直线与直线平行，理由见分析；（2）①；②点H在运动过程中，α和β的数量关系，理由见分析【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的计算，证明两个角的关系．（1）证明内错角相等即可．（2）①根据平行线的性质，等腰三角形的性质，余角性质计算即可．②仿照①，结合外角性质，将问题一般化计算即可．（1）解：直线与直线平行，理由如下：∵平分，∴，又∵，∴，∴．（2）①∵，的平分线，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．②点H在运动过程中，α和β的数量关系，理由如下：∵是的外角，是的外角，∴，又∵平分，的平分线，，∴，，∴，即．14．（1）；（2）①；②【分析】（1）过点P作，点G在点P的左侧，根据平行线的性质及平行公理即可；（2）①过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可；②过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可．解：（1）过点P作，点G在点P的左侧．

∵，∴．∴，．又∵，，∴．故答案为：；（2）①与，之间的数量关系为．理由如下：如图①，过点P作．

图①∵，∴．∴，．∴．∴与，之间的数量关系为．②与，之间的数量关系为．理由：如图②，过点P作．

图②∵，∴∴，．∴．【点拨】本题考查了平行线的性质及平行公理，熟练掌握平行线的性质及平行公理，作出合适的辅助线是本题的关键．15．（1）；（2）详见分析；（3）【分析】（1）过点作，根据平行的性质可得，，即可得，问题随之得解；（2）由（1）得：，结合，即可得作答；（3）根据角平分线的定义有，，再根据平行的性质可得，即有，在结合（2）的结论即可作答．解：（1）如图，过点作，则．

∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．（2）由（1）得：，则．∵，∴，∴．（3）若平分，也恰好平分，则有，，．∵，∴，∴．由（2）知：，则，解得：．【点拨】本题主要考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，16．（1）；（2）；（3）；（4）或【分析】（1）先求解，，，再求解，再利用角的和差关系可得答案；（2）证明，结合，从而可得答案；（3）证明，可得；（4）分两种情况讨论：在的外部时和在的内部时，再求解，再利用角的和差可得答案．（1）解：∵，平分，∴，∵，平分，∴，，∵平分，∴，∴．（2）如图，∵，，∴，

∵，∴．（3）如图，

∵，∴，∵，∴．（4）如图，当在的外部时，

∵，，∴，∴，如图，当在的内部时，

同理可得：，∴．【点拨】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．17．（1）见分析；（2）①；②或【分析】（1）由角平分线的定义即得出，结合题意可证明，即得出；（2）①平分和，可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②分两种情况讨论：当点G在点F的右侧，当点G在点F的左侧时，即可求解．解：（1）证明：∵平分，∴．又∵，∴，∴；（2）解：①如图1，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得．②和之间的数量关系为或．理由如下：当点G在点F的右侧，由（2）得，当点G在点F的左侧时，如图2，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，综上所述，和之间的数量关系为或．【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．18．（1）；（2）①，②，理由见分析；（3）【分析】（1）过点P作，则，由平行线的性质可得，进而可得的度数；（2）①过点P作，依据平行线的性质可得，进而可得与，之间的数量关系；②过P作，依据平行线的性质可得，，即可得到；（3）过P和N分别作的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到与∠α，∠β之间的数量关系为．解：（1）如图1，过点P作，

∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，故答案为：；（2）①，理由：如图②，作过点P作，

∵，∴，∴，∴；②，理由：如图，过点作，

则，∵，∴，∴，∴．（3），理由：如图，

理由：由（2）①可得，，∵，的平分线，相交于点，，∴．【点拨】本题考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．19．（1）；（2）；（3）秒或秒【分析】（1）四边形面积，据此可解；（2）根据平行线的性质定理求解；（3）分“在线段上，在的延长线上”两种情况，根据等量关系列方程，即可求解．（1）解：，，且点是边的中点，，，，四边形面积为：；（2）解：，，，，；（3）解：当在线段上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一，则，解得：，当在线段的延长线上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一，则，解得：，答：点运动秒或秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一．【点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，平行线的性质，三角形面积计算等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理，第三问注意分情况讨论．20．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；（2）根据平行线的性质可得，从而利用平角定义可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．（1）解：证明：平分，，，，；（2），，，平分，平分，，，，，，的度数为．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．21．（1）平分，理由见分析；（2）①；②或，理由见分析【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可解答；（2）①根据角平分线的定义可得，从而得到，再由平行线的性质，即可解答；②分两种情况讨论：当点D在点B左侧时；当点D在点B右侧时，即可解答．（1）解：平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴平分；（2）解：①∵，∴，∵是角平