专题04 因式分解 考点清单（解析版）

清单04：因式分解【考点题型一】因式分解定义把一个多项式化为几个整式的积的形式.【例1】（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．据此逐个判断即可．【详解】解：A、左边到右边的变形是整式的乘法，不符合题意；B、左边到右边的变形不是因式分解，不符合题意；C、左边到右边的变形是因式分解，符合题意；D、左边到右边的变形是整式的乘法，不符合题意；故选：C．【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式”．根据因式分解的定义逐一判断即可．【详解】解：A、是多项式乘以多项式，不是因式分解，不符合题意；B、不是因式分解，不符合题意；C、，原选项因式分解不彻底，不符合题意；D、是因式分解，符合题意；故选：D．【变式1-2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查了因式分解的定义，正确掌握因式分解的定义及平方差公式是解题的关键．【详解】A、，A选项错误，不符合题意；B、等式右边不是积的形式，B选项错误，不符合题意；C、式子从左到右的变形为因式分解，C选项正确，符合题意；D、等式右边不是积的形式，D选项错误，不符合题意；故答案为：C．【变式1-3】（23-24八年级上·山东济南·期中）下列从左到右的运算是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．【详解】解：A、是因式分解，符合题意；B、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；故选：A．【变式1-4】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，从左到右的变形属于因式分解；C、，故本选项不符合题意；D、，是整式的乘法，故本选项不符合题意．故选：B．【考点题型二】因式分解的方法：【例2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）分解因式：​(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本题考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．（1）将变形为，提公因式即可；（2）先提公因式再用完全平方公式分解因式即可；（3）用完全平方公式分解因式即可；（4）先用平方差公式，再用完全平方公式分解即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：原式．【变式2-1】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解：（1）运用提公因式进行因式分解，即可作答；（2）运用平方差公式进行因式分解，即可作答；（3）运用分组分解法进行因式分解，即可作答；（4）运用十字相乘法进行因式分解，即可作答；正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【变式2-2】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）因式分解(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．（1）用提取公因式法即可；（2）用提取公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（3）先提取公因式法，再用平方差公式分解即可；（4）先利用多项式乘式项式法则计算，合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式【变式2-3】（22-23八年级上·四川眉山·期中）分解因式：(1)；(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）提公因式法分解因式即可；（2）用完全平方公式分解因式即可；（3）用十字相乘法分解因式即可；（4）用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．【变式2-4】（22-23八年级上·山东威海·期中）因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；(2)原式利用平方差公式分解即可；(3)原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可；(4)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．【详解】解：原式；原式；原式；原式．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【考点题型三】因式分解在化简求值的应用【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：；例2：．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)1；【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．（2）根据平方差公式即可求出答案．【详解】（1）原式；（2）．【点睛】本题考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，解题关键根据数据特征选择适当公式进行计算．【变式3-1（23-24八年级上·广东广州·期中）计算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可．【详解】解：原式=，故答案为：．【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算．【变式3-2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为．【答案】【分析】根据完全平方公式可得，再利用平方差公式进行简便运算即可．【详解】解：展开可得：展开可得：∴故答案为：．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．【变式3-3】（23-24八年级上·重庆·期中）简便计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式．（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；（2）利用因式分解进行计算，即可解答．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式3-4】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下：解：设，则原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：．【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；②(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设，，则原式，整体代入计算即可．【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；设，则原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．∴最后的结果为．②设，原式．；（2）设，，则，，原式．【考点题型四】因式分解的应用【例4】（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如∶①用配方法分解因式∶，解∶原式；②利用配方法求最小值∶求的最小值．解∶，不论取何值，总是非负数，即．，当时，有最小值，最小值为．根据上述材料，解答下列问题：(1)分解因式（利用配方法）：；(2)若，其中x为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由；(3)已知是的三条边长，若满足，求的周长．【答案】(1)(2)，见解析(3)9【分析】本题考查因式分解的应用．理解配方法是把代数式通过配方等手段，得到完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为∶比较两个数的大小，通常用作差法，如果差是正数，则被减数大于减数；若差是负数，则被减数小于减数；几个非负数相加得0，这几个非负数均为0．（1）把所给式子的前两项加上一个常数，整理为完全平方式，再把整个式子整理为和原来式子相等的形式，进而用平方差公式继续展开，整理可得因式分解的形式；（2）计算M与N的差，根据差的符号可得M和N的大小；（3）把所给等式整理为三个非负数相加得0的形式，可得这三个非负数均为0，即可求得的值，进而求的周长即可．【详解】（1）解:（2）；（3）解得：的周长．【变式4-1】（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则代数式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：，，，，，，则，当，，时，原式．故选：D．【变式4-2】（23-24八年级上·山东淄博·期中）已知三角形的三边满足，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，掌握若，则或是解题的关键．对等式进行变形得到，根据若，则或即可得出答案．【详解】解：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，故选：D．【变式4-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）①已知，求的值．②已知是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．【答案】①；②【分析】本题考查了因式分解的应用及三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．①利用完全平方公式把方程化成两个平方的和为0的形式即可解题；②根据完全平方公式因式分解，根据非负数的性质求得的值，进而根据三角形的三边关系，即可求解．【详解】解：①原方程可化为：，，∴，∴；②已知等式移项得：，即，，，，，解得：，，，，为三边，且为最长边，．【变式4-4】（23-24八年级上·北京东城·期中）【例题讲解】因式分解：．∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：，∴恒成立．∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得，∴．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若，则__________；(2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式．【答案】(1)1(2)，另一个因式为：．【分析】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．（1）将展开，结合多项式的恒等关系即可求解；（2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，（2）设多项式另一个因式为，则，，，，，，即另一个因式为：．【考点题型五】因式分解的综合问题【例5】（23-24八年级上·北京西城·期中）我们有公式：．反过来，就得到可以作为因式分解的公式：．如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有．例如：；；；．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，则原式．(1)该同学因式分解的结果是否彻底？（填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．(2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．【答案】(1)否，(2)【分析】本题考查了十字相乘法，掌握整体思想是解题关键．（1），故可继续分解；（2）设，原式可分解为；将代入可继续分解．【详解】（1）解：设，则原式故答案为：否，（2）解：设，则原式，∴【变式5-1】（22-23八年级下·广东深圳·期中）阅读以下文字并解决问题：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．(1)利用“配方法”因式分解：．(2)若，，求：①，②的值．(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)①19②343(3)8【分析】本题考查了因式分解的应用以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解本题的关键．（1）原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式变形，代入计算即可；（3）已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．【详解】（1）解：；（2）解：，，，，；，，，，；（3）解：，，，，，．【变式5-2】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解的新方法，及其应用．(1)根据方法，适当分组分解即可．(2)先因式分解，后代入求值即可．【详解】（1）．（2），又，故原式．【变式5-3】（23-24八年级上·山东东营·期中）教科书中这样写道：“形如式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：分解因式：．解：原式；再如：求代数式的最小值