11.2.2 三角形的外角

11.2.2三角形的外角基础过关练1.如图，a//b，∠3=80°，∠1−∠2=20°，则∠1的度数是()A.30° B.40° C.50° D.80°2.如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=30°，则∠3的度数为()A.130° B.120° C.110° D.50°3.如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1−∠2的度数是()A.32° B.45° C.60° D.64°4.下列说法错误的是()A.一个三角形的内角中至少有两个锐角 B.三角形的外角大于任意一个内角C.三角形的外角和是360∘ D.锐角三角形任意两个内角的和均大于5.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于()A.120° B.105° C.60° D.45°6.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE

是高线，∠BAC=50°，∠EBC=20°，则∠ADC的度数为__________．7.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于__________．8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°．9.如图，∠B+∠C+∠D+∠E−∠A=____________．10.如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB//DG，∠1+∠2=180°．(1)求证：AD//EF；(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=140°，求∠B的度数．能力提升练1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为______．2.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________．3.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A拓展培优练1.[问题情境]已知，如图1：△ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°.证明：过A点作DE/​/BC(过直线外有且只有一条直线与已知直线平行)(请按照上述思路继续完成证明过程)．[尝试运用]如图2，若∠BAC=80°，DE/​/BC且经过A点，∠EAF=1n∠EAC，∠CBF=1n∠ABC[拓广探索]如图3，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE//BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A=40°，求∠G的度数．

11.2.2三角形的外角基础过关练1.如图，a//b，∠3=80°，∠1−∠2=20°，则∠1的度数是()A.30° B.40° C.50° D.80°【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得∠1=∠4，然后根据三角形的外角可得∠3=∠4+∠2，从而可得∠1+∠2=80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a//b，∴∠1=∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3=∠4+∠2，∵∠3=80°，∴∠1+∠2=80°，∵∠1−∠2=20°，∴2∠1+∠2−∠2=100°，∴∠1=50°，故选：C．2.如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=30°，则∠3的度数为()A.130° B.120° C.110° D.50°【答案】A

【分析】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．根据三角形外角性质求出∠4，根据平行线性质得出∠3+∠4=180°，代入求出即可．【解答】解：如图所示，∵∠4=∠1+∠2，∴∠4=20°+30°=50°，∵AB//CD，∴∠3+∠4=180°，∴∠3=180°−∠4=180°−50°=130°，故选：A．3.如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1−∠2的度数是()A.32° B.45° C.60° D.64°【答案】D

【分析】本题考查三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由题意得到∠D=∠B=32°，再利用外角性质得出∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+64°，即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得：∠D=∠B=32°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+64°，∴∠1−∠2=64°．故选：D．4.下列说法错误的是()A.一个三角形的内角中至少有两个锐角 B.三角形的外角大于任意一个内角C.三角形的外角和是360∘ D.锐角三角形任意两个内角的和均大于【答案】B

【解析】三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，三角形的外角和是360∘5.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于()A.120° B.105° C.60° D.45°【答案】B

【分析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．先求出∠2，再根据三角形外角的性质列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠2=90°−45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．故选：B．6.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE

是高线，∠BAC=50°，∠EBC=20°，则∠ADC的度数为__________．【答案】85°

【分析】根据角平分线定义求得∠BAD=12∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE=90°−∠BAC【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC=50°，∴∠BAD=12∠BAC=25°∵∠EBC=20°，∴∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ABE+∠EBC+∠BAD=40°+20°+25°=85°．故答案为：85°．7.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于__________．【答案】105°

【解析】解：如图，由题意得：∠2=90°−45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°，=45°+60°，=105°．故答案为：105°．先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°．【答案】270

9.如图，∠B+∠C+∠D+∠E−∠A=____________．【答案】180°

10.如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB//DG，∠1+∠2=180°．(1)求证：AD//EF；(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=140°，求∠B的度数．【答案】(1)证明：∵AB//DG，∴∠1=∠DAE，∵∠1+∠2=180°，∴∠DAE+∠2=180°，∴AD//EF；(2)解：∵AD//EF，∠2=140°，∴∠DAE=180°−∠2=180°−140°=40°，∵AB//DG，∴∠1=∠DAE=40°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC=2∠1=2×40°=80°，∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B=∠ADC−∠BAD=80°−40°=40°．

【解析】本题考查平行线的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．(1)由平行线的性质可得∠1=∠DAE，由∠1+∠2=180°可得∠DAE+∠2=180°，即可证明；(2)由(1)可知∠DAE=40°，再由平行线的性质可得∠1=40°，由角平分线的定义可得∠ADC=80°，再由三角形外角性质即可求出∠B．能力提升练1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为______．【答案】40°或10°

【解析】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC=90°时，∵∠B=50°，∴∠BCD=90°−50°=40°；②如图2，当∠ACD=90°时，∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°−30°−50°=100°，∴∠BCD=100°−90°=10°，综上，则∠BCD的度数为40°或10°；故答案为：40°或10°．当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理可得结论．本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是本题的关键．2.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________．【答案】180°

【分析】先根据三角形外角的性质得出∠BFG=∠D+∠E，∠BGF=∠A+∠C，再由三角形内角和定理即可得出结论．本题考查的是三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．【解答】解：如图：∵∠BFG是△FED的外角，∠BGF是△ACG的外角，∴∠BFG=∠D+∠E，∠BGF=∠A+∠C，∵∠B+∠BFG+∠BGF=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案为：180°．3.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠【答案】m2【分析】本题考查了角平分线定义及三角形外角的性质，解题的关键是推导出∠A利用角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，在根据三角形外角的性质，易证【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A∴∠A1BC=∴∠A同理可得∠A2=以此类推可知∠A故答案为m22022拓展培优练1.[问题情境]已知，如图1：△ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°.证明：过A点作DE/​/BC(过直线外有且只有一条直线与已知直线平行)(请按照上述思路继续完成证明过程)．[尝试运用]如图2，若∠BAC=80°，DE/​/BC且经过A点，∠EAF=1n∠EAC，∠CBF=1n∠ABC[拓广探索]如图3，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE//BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A=40°，求∠G的度数．【答案】[问题情境]证明：过A点作DE//BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°[尝试运用]解：如图2，过F作FH//BC，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠C=180°−∠BAC=100°，∵DE//BC，∴FH//DE，∴EAF=∠HFA，∵FH//BC，∴∠CBF=∠HFB，∴∠AFB=∠AFH+∠BFH=∠EAF+∠CBF，∵DE//BC，∴∠EAC=∠C，∵∠EAF=1n∠EAC∴∠AFB=∠EAF+∠CBF=1[拓广探索]解：∵DE//BC，∴∠ADE=∠ACF=∠A+∠ABC，∠GFM=∠GDE．∵DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，∴∠GDE=12∠ACF=∴∠GFM=1∴∠G=12【解析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质