2024-2025学年湖南七年级数学下册专项突破：乘法公式的应用（原卷版）

专题突破：乘法公式的应用

01常考题型

题型一运用乘法公式简便运算

题型二平方差公式的应用

乘法公式的应用

题型三平方差公式与几何图形

题型四配方法的应用

02技巧解密

技巧点拨：

平方差公式：伍

完全平方公式：（"±'）2=/±2帅+〃

对于平方差公式、完全平方公式的应用要注意灵活转化，要抓住公式的典型特征；常见的变化

类型有：位置变化、系数变化、指数变化、符号变化、增项变化、增因式变化。

03题型突破

题型一运用乘法公式简便运算

[例1]（2024八年级上•全国・专题练习）利用平方差公式计算：

(1)31x29；(2)9.9x10.1；

(3)98x102；(4)1003x997.

【变式1-1】(湖北武汉・期中)计算100F_1004x996=()

A.-2017B.2019C.-2019D.2017

【变式1-2](24-25八年级上,吉林长春,期末)计算：20242-2023x2025=.

【变式1-3］（24-25八年级上•江西宜春•阶段练习）计算：85?-15?的结果是.

【变式1-4】（2025七年级下•全国•专题练习）计算：心一2024^^7=•

120242-2025x2023---------

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【变式1-5］（24-25七年级上•上海•期中）简便计算：-193、207

【变式1-6］（24-25七年级上•上海虹口•期中）用简便方法计算：42x5062-20241x20231.

题型二平方差公式的应用

【例2】（24-25七年级上•上海崇明•期中）计算：（2+1乂22+1乂24+1乂28+42|6+1）（结果保留幕的形

式）.

【变式2-1】（2025七年级下•全国•专题练习）计算：（2+1）X（22+1）X（24+1）X...X（216+1）+1=

【变式2-2】（2024八年级上•全国・专题练习）计算：

I2-22+32-42+52-62+...+20012-20022+20032-20042

【变式2-3］（2024八年级上•全国・专题练习）计算：一击）

题型三平方差公式与几何图形

【例3】（24-25八年级上•吉林长春•阶段练习）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两

（1）在图2中的阴影部分的面积工可表示为；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面

积其可表示为；（写成两数平方差的形式）

（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；

A.（a+=a2+2ab+b2B.（a+/＞）（«-fe）=a2-b2C.（a-Z））2=a2-2ab+b2

（3）请利用所得等式解决下面的问题：计算（2+D（22+l）Q4+D（28+l卜…xQ32+l）+l的值,并直接写出该值

的个位数字是多少.

【变式3-1］（24-25八年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为6

的小正方形>6）,将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（）

A.(a=(a+6)--4a6B.a2+b2+lab=(tz+

C.(a-b^-a2-2ab+b2D./=(〃+6)(Q_6)

【变式3-2］（2024七年级上•上海・专题练习）如图，在边长为。的正方形正中间剪去一个边长为b的小正

方形（。〉田，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边

形.剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是()

ba

f/一/

/、,

/\/

图1

A.(6/+b)2=Q?+2ab+Z?2B.(a-Z?)2—a?—2ab+Z?2

C.(Q+b)(a—b)=〃—/D.a?+b?=(a+b¥-2ab

【变式3-3】（24-25八年级上•全国・期末）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为+2）的小正方

形（a>2）,将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）

A.a?+2B.2a2+4aC.3a2-4a-4D.4a2-a-2

【变式3-4］（24-25八年级上•全国•期末）如图，在边长为°的正方形上裁去边长为6的正方形.

（1）图1,阴影面积是

（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式:

（3）运用得到的公式，计算：-

【变式3-5］（24-25七年级上•江西赣州•期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通

过图形的面积发现

（1）如图①，在边长为。的正方形纸片上剪去一个边长为6传＜。）的小正方形.小明和小红分别用了两种不

同的方法计算图中阴影部分的面积.小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影

部分的面积用代数式表示为；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成

新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为；

①②

（2）【发现规律】

猜想：a+b,a-b,a2-b2这三个代数式之间的数量关系是

（3）【运用规律】

运用上述规律计算：502-492+482-472+462-452+...+22-1.

【变式3-6］（24-25七年级上•江苏南通・期中）如图1所示，边长为。的正方形中有一个边长为b的小正

方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.设图1中阴影部分的面积为百，图2中阴影部分面积

(1)用含有字母a和6的式子分别表示邑与邑的面积：§=_,$2=_.

(2)根据图1与图2的面积关系，得到等式：_=_；运用这个等式可以简化一些乘法计算.例如，计算

51x49,可作如下变形：51x49=(50+1)x(50-1)=502-F=2500-1=2499.

(3)运用上述方法计算199x201.

题型四配方法的应用

【例|4-1](2023•四川达州・模拟预测)已知x+：=5,求下列各式的值：

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⑴尤+/

【例4-2](2024八年级下•全国•专题练习)已知正数a,b满足^6+_2a26+2“〃=7仍-8,贝!Ja2-b2=

()

A.1B.3C.5D.不能确定

【变式4-1】(22-23七年级上•湖南长沙•阶段练习)已知。一6二5,且。一6=10,贝!!/+〃+/—。台一队一农

等于()

A.105B.100C.75D.50

【变式4-2】(24-25九年级上•全国•假期作业)^x2+y2+10=6x-2y,贝口->=()

A.-1B.3C.1D.4

JQ—V

【变式4-3】（24-25八年级上•湖南长沙•期末）已知x2+/+4x-6.y+13=0,贝I.

【变式4-4］（七年级下•福建漳州•期中）请同学运用计算（。+6+。）2=/+62+。2+2。/）+2碇+2儿，解决

问题：已知X、>、z满足V+V+zZ=4,求（x-y『+（y-z『+（z-x『的最大值是.

【变式4-5］（七年级下•四川达州•阶段练习）已知"_4加+1=0,则代数式值/+:=.

【变式4-6］（24-25八年级上•天津•期末）若x+y=l,中=-6,则苫?f/的值为.

【变式4-7】（24-25八年级上•山西晋城・期中）已知。+6=6,2ab=3,则一°b=.

【变式4-8］（24-25七年级上•上海•阶段练习）已知X4+±=14，则/+：=.

【变式4-9］（24-25七年级上•上海•阶段练习）已知/-3x-l=0,那么/_3/+5=.

【变式4-10］（2025七年级下•全国•专题练习）已知"2024x+2023,6=2024x+2024,c=2024x+2025,

贝!la2+b2+c2-ab-bc-ac的值为.

【变式4-11】（七年级下•江苏南京・期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方

式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目

中的隐含条件，是解题的有力手段之一.

例如，求代数式/+2x+3的最小值.

解:原式=/+2X+1+2=（X+1『+2.

•••（x+1）2>0,

.-.（X+1）2+2>2.

二当x=-1时，/+2x+3的最小值是2

(1)请仿照上面的方法求代数式/+6x-l的最小值.

(2)已知A48C的三边a,b,c满足/-66=-14,8c=_23,c2-4a=8.求A48C的周长.

【变式4-12】(七年级下•重庆・期中)把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的

非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值

问题等问题中都有着广泛的应用.例如：若代数式"=02一2湖+262-2/)+2,利用配方法求M的最小值;

M=a2-2.ab+2b2—2b+2=a1—2ab+b2+b2—2b+\+\=(a-b)~+(b-1)~+1,

•••(a-Zj)2>0,(6-1)2>0,

.•.M=(a-Z?)2+(^-l)2+l>l

.•.当a=6=1时，代数式〃有最小值1.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：/+6a+;

⑵若代数式N=/+2a+l,求N的最大值；

⑶已知力2+8耐=36金+4”36,求以0,6为边长的等腰三角形的周长.

【变式4-13】(七年级下•浙江杭州•期中)阅读理解并填空：

(1)为了求代数式Y+2X+3的值，我们必须知道x的值.若尤=1,则这个代数式的值为6；若x=2,则

这个代数式的值为；可见，这个代数式的值因x的取值不同而(填“变化”或“不变”)，

尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围.

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(2)数学书课本里“我们把多项式a+2ab+6?及/一2ab+b叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因

式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解

可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题.

例如：X2+2X+3=（X2+2X+1）+2=（X+1）2+2,因为（x+l＞是非负数，所以，这个代数式/+2》+3,当x

的值是时；有最小值为：尝试并探究解答（要求写出解答过程）

（3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x的值？

①V-4x-2；

（2）-x2+14x+10;

（4）求代数式1+尸-4a+6b+18有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a,6的

值？

（5）求代数式2x2-12x+l有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x的值？

【变式4-14】（七年级下•浙江杭州•期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：

/+/+-必一6c-ac=；-bp+仅一+（。-cP],该等式从左至I]右的变形，不仅保持了结构的对称

性，还体现了数学的和谐、简洁美；

（1）请你检验说明这个等式的正确性.

（2）若。=2011,6=2012,c=2013,你能很快求出/+/+,?一“方一儿一%的值吗？

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（3）a-b=—,b-c=—,a2+b2+c2=1,求ab+bc+ac的值.

题型五求完全平方公式中的字母系数

【例5】（24-25八年级上•河南信阳•阶段练习）若/+加工+36是一个完全平方式，则加的值是.

【变式5-1】（24-25八年级上•海南海口•期末）如果二次三项式x2-8x+〃J是一个完全平方式，那么别的

值是（）

A.±4B.16C.4D.-16

【变式5-2】（24-25八年级上•云南昆明・期末）如果/+2"+1是一个完全平方式，则。的值是（）

A.1B.-1C.1或—1D.2或—2

【变式5-3】（24・25八年级上•山东淄博・期中）若——办+25是完全平方式，则。的值为（）

A.±5B.5C.±10D.10

【变式5-4】（24-25九年级上•吉林长春•期末）若多项式4/—（左—1）仍+25〃是关于。、b的完全平方式,

则左的值为（)

A.21B.19C.21或-19D.一21或19

【变式5-5］（24-25八年级上•湖北武汉•阶段练习）若4/一12中+阳2是完全平方式；4/一〃9+9y?是完

全平方式，则加和〃的值分别是（）

A.m=9,H=12B.m=9,n=-12

C.m=-9,n=±12D.m=9,n=±12

题型六完全平方公式与几何图形

【例6】（24-25八年级上•重庆长寿•阶段练习）现有长与宽分别为0、6的小长方形若干个，用两个这样的

小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题:

图1图2

（1）分别两种不同的方式表示图1和图2阴影部分的面积（直接用含a,b的代数式表示）,

图1可以得出的等式是

图2可以得出的等式是

（2）根据（1）中的结论，若x+》=5,孙二2,

①求/+/的值

②求的值

【变式6-1](24-25八年级上•天津河西•期末)将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利

用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是()

A.(a+b)"=a2+lab+b2B.^a-b)~=a2-lab+b2

C.(a+6)(q-6)=q--D.(a-b)2=(a+Z))2-4ab

【变式6-2](24-25八年级上•安徽芜湖•期末)通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得

到一个恒等式.

如图1是一个长为2a,宽为26的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的

形状拼成一个正方形，请解答下列问题:

b

b

图1

(1)图2中阴影部分的正方形的边长是「

(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积:

方法1：

方法2：

(3)观察图2,请你写出(a+6)1,(a-6)~,之间的等量关系是_；

(4)如图3,点C是线段上的一点，以/C,8C为边向两边作正方形，面积分别是W和$2,若43=9,

两正方形的面积S[+$2=51,求的面积.

【变式6-3］（24-25八年级上•北京大兴・期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时

难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图1中图形的面积说明了完全平方公式：（a+6）2=a~+2ab+b~.

（1）如图2,已知正方形4BCD和正方形加Z,请用两种不同的方式表示正方形52的面积.

方式一：;

方式二：;

由正方形〃电的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是.

（2）连接斯，FG,GH,HE,用含c,d的代数式表示四边形E