安徽省安庆市示范高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含详解）

安徽省安庆市示范高中2024-2025高一下学期期中考试数学试卷第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知，其中为虚数单位，则（

）A．1 B． C．2 D．42．已知平面向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．23．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．5．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（

）A． B． C． D．6．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A．6 B．6 C．12 D．128．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，，则下列命题正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知平面向量，，则正确的是（

）A． B．与可作为一组基底向量C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．存在点，使得平面B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知是虚数单位，若复数满足，则．13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为．14．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分）已知复数和它的共轭复数满足.(1)求；(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.16．(15分）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，．(1)求；(2)若为边AB上一点，且，求．17．(15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角的大小；(2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求．18．(17分）如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．19．(17分）已知正四棱锥.(1)证明：平面；(2)当时，求该正四棱锥外接球的体积；(3)当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高.

答案及解析一、单选题1．已知，其中为虚数单位，则（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B，则.2．已知平面向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．2【答案】A平面向量，，由，得，所以.3．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D由向量与的夹角为，且，得，则，所以在上的投影向量为.4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A由，根据正弦定理得，，即，即，即，因为，则，所以，即，所以，又，则，即，又，所以的面积为.故选：A.5．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（

）A． B． C． D．【答案】B正三棱台的上底面积，下底面积，所以此三棱台的体积.6．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C过点作，垂足分别为，因为是外接圆的圆心，则为的中点，则，由正弦定理得，等号当且仅当时成立，则，所以的最大值为.故选：C7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A．6 B．6 C．12 D．12【答案】B根据海伦-秦九韶公式，，其中，由题意，可知，则，又，故，当且仅当，即时取等号.故选：B8．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，依题意，可知，，则，，，解得，，四面体的外接球半径为，球心为，由，点的轨迹为一个圆，中点为，设轨迹圆的半径为，圆心为，过，作球的一个轴截面，∴，解得，，∴的轨迹长度为.二、多选题9．已知复数，，则下列命题正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC对于A，取，显然满足，但，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，取，满足，但，所以，故D错误．故选：BC10．已知平面向量，，则正确的是（

）A． B．与可作为一组基底向量C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为【答案】BCD对于A：因为，，所以，所以，数量积不等于0，向量不垂直，故A错误；对于B：因为，所以与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，，所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确；11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．存在点，使得平面B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球表面积为【答案】ACD对于A：当为中点时，因为是的中点，所以，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：因为，分别是，的中点，所以，在正方体中，易证，所以，过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误；对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球，所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确，故选：ACD.三、填空题12．已知是虚数单位，若复数满足，则．【答案】，故.13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为．【答案】，因为，故.又，故，故.14．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为．【答案】根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示：易知，又，在中，由余弦定理可得；在中，由余弦定理可得;又易知，所以可得，解得，又，所以，可得，即，设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得，解得，又平面，且，设四棱锥的外接球半径为，可得，即；因此外接球的表面积为.四、解答题15．已知复数和它的共轭复数满足.(1)求；(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.【答案】（1）设，则，所以，解得，故.（2）是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，，解得，.16．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，．(1)求；(2)若为边AB上一点，且，求．【答案】（1）如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，，，，．因为，，所以（2）如图，设，则，，因为，所以，得或6．故或．17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角的大小；(2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求．【答案】（1）由正弦定理可得，所以，即，可得，整理可得，因为在中，，所以，又，所以；（2）因为，AD平分，所以，由得，即，整理可得，①因为为角平分线，所以，在中由正弦定理可得，在中由正弦定理可得，又，所以，所以，②由①②可得，在中，由余弦定理可得，解得.18．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点，因为为的中点，则，又因为平面，平面，所以，平面.（2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面，因为为的中点，则点到平面的距离为，，因此，.19．已知正四棱锥.(1)证明：