新疆乌鲁木齐市天山区兵团第二中学2024-2025学年高二下数学期末检测试题含解析

新疆乌鲁木齐市天山区兵团第二中学2024-2025学年高二下数学期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则复数的虚部为.A．-2 B．-1 C．1 D．2.2．已知函数，若，则的最大值是（）A． B．- C． D．--3．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为A． B． C．2 D．5．如图分别是椭圆的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．执行如图的程序框图，如果输入，那么输出的（）A．B．C．D．7．函数的定义域为，且，当时，；当时，，则A．672 B．673 C．1345 D．13468．已知随机变量，，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.689．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，则的最小值为()A． B． C． D．10．已知复数（为虚数单位），则（）A． B． C． D．11．已知tan=4,cot=,则tan（+）=（）A． B． C． D．12．已知函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若，i是虚数单位，则____________．14．行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为________.15．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，若变量增加一个单位时，则平均增加5个单位；③线性回归方程所在直线必过；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个列联表中，由计算得，则其两个变量之间有关系的可能性是.其中错误的是________．16．设函数图象在处的切线方程是，则函数的图象在处的切线方程是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值．18．（12分）已知抛物线，为其焦点，过的直线与抛物线交于、两点．（1）若，求点的坐标；（2）若线段的中垂线交轴于点，求证：为定值；（3）设，直线、分别与抛物线的准线交于点、，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数且）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.20．（12分）已知函数.（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数）.21．（12分）最新研究发现，花太多时间玩手机游戏的儿童，患多动症的风险会加倍．青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的手机游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力．研究人员对110名年龄在7岁到8岁的儿童随机调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在1个月里玩手机游戏的习惯．同时，教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题．统计得到下列数据：注意力不集中注意力集中总计不玩手机游戏204060玩手机游戏302050总计5060110（1）试估计7岁到8岁不玩手机游戏的儿童中注意力集中的概率；（2）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系？附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8405.0246.6357.87910.828．22．（10分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，设，过作直线交椭圆于、两点，记椭圆的左顶点为，直线，的斜率分别为，，且，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据复数除法的运算法则去计算即可.【详解】因为，所以，虚部是，故选D.本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算2、A【解析】

设，可分别用表示，进而可得到的表达式，构造函数，通过求导判断单调性可求出的最大值.【详解】设，则,则，，故.令，则，因为时，和都是减函数，所以函数在上单调递减.由于，故时，；时，.则当时，取得最大值，.即的最大值为.故答案为A.构造函数是解决本题的关键，考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力与计算能力，属于难题.3、C【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．4、B【解析】

求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.5、D【解析】

根据等边三角形的性质，求得A点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．【详解】由题意知A，把A代入椭圆(a＞b＞0)，得，∴，整理，得，∴，∵0＜e＜1，∴，故选D.本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可确定程序的输出结果.详解：结合所给的流程图运行程序如下：首先初始化数据：，第一次循环：，,，此时不满足；第二次循环：，,，此时不满足；第三次循环：，,，此时不满足；一直循环下去，第十次循环：，,，此时满足，跳出循环.则输出的.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．7、D【解析】

根据函数周期的定义，得到函数是周期为3的周期函数，进而求得的值，进而得到，即可求解.【详解】根据题意，函数的定义域为，且，则函数是周期为3的周期函数，又由当时，，则，当时，，则，由函数是周期为3的周期函数，则则，所以，故选D.本题主要考查了函数周期性的应用，以及函数值的计算，其中解答中根据函数周期性的定义，求得函数是周期为3的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、D【解析】

先由对称性求出，再利用即得解.【详解】由于随机变量，关于对称，故故选：D本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.9、A【解析】分析：由，且，变形可得利用导数求其最值；详解：，且a＋b＝1，∴．

令，解得，此时函数单调递增；令，解得此时函数单调递减．

∴当且仅当时，函数取得极小值即最小值，点睛：本题考查利用导数研究函数的最值，属中档题.10、D【解析】

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结果.【详解】解：，则.故选：D.本题考查复数的运算法则，模的计算公式，考查计算能力，属于基础题.11、B【解析】

试题分析：由题意得，，故选B．考点：两角和的正切函数．12、C【解析】

先求导，得到函数的单调区间，函数在区间上有最大值无最小值，即导数的零点在上，计算得到答案.【详解】设函数在区间上有最大值无最小值即在有零点，且满足：即故答案选C本题考查了函数的最大值和最小值问题，将最值问题转为二次函数的零点问题是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由，得，由复数相等的条件得答案．【详解】由，得，．故答案为：1．本题考查复数相等的条件，是基础题．14、-11【解析】

根据代数余子式列式，再求行列式得结果【详解】故答案为：-11本题考查代数余子式，考查基本分析求解能力，属基础题.15、②④⑤【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时，则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个列联表中，由计算得，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.16、【解析】分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.详解：因为函数图象在处的切线方程是，，所以,因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）函数f（x）最小正周期为，单调增区间为，（Ⅱ）f（x）取得最大值为，此时．【解析】

（Ⅰ）化简，再根据周期公式以及正弦函数的单调性即可解决（Ⅱ）根据求出的范围，再结合图像即可解决．【详解】（Ⅰ）由于函数，∴最小正周期为．由得：，故函数f（x）的单调增区间为，．（Ⅱ）当时，，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值，∴，故当时，原函数取最小值2，即，∴，故，故当时，f（x）取得最大值为，此时，，．本题主要考查了三角函数化简的问题，以及三角函数的周期，单调性、最值问题．在解决此类问题时首先需要记住正弦函数的性质．属于中等题．18、（1）或；（2）证明见解析；（3）以线段为直径的圆过定点,定点的坐标或.【解析】

（1）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由，可得出，代入韦达定理可求出的值，由此可得出点的坐标；（2）求出线段的中垂线的方程，求出点的坐标，求出、的表达式，即可证明出为定值；（3）根据对称性知，以线段为直径的圆过轴上的定点，设定点为，求出点、的坐标，由题意得出，利用平面向量数量积的坐标运算并代入韦达定理，可求出的值，从而得出定点的坐标.【详解】（1）设点、，设直线的方程为，易知点，，，由可得，得.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，由韦达定理得，，，，得.此时，，因此，点的坐标为或；（2）易知，，，所以，线段的中点坐标为，则直线的方程为，即，在该直线方程中，令，得，则点.，，因此，（定值）；（3）如下图所示：抛物线的准线方程为，设点、.，，、、三点共线，则，则，得，则点，同理可知点.由对称性可知，以线段为直径的圆过轴上的定点，则.，.，解得或.因此，以线段为直径的圆过定点和.本题考查抛物线中的向量成比例问题、线段长度的比值问题以及圆过定点问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于难题.19、（1）;（2）相切.【解析】

（1）根据互化公式可得；（2）根据点到直线的距离与半径的关系可得．【详解】解：（1）由得，得，即直角坐标方程为：．（2）由，消去得，则圆心到直线的距离等于圆的半径，所以直线与圆相切．本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了直线与圆的位置关系.一般地，已知极坐标方程时，通过变形整理，将方程中的，分别代换为即可.判断直线与圆的位置关系时，可通过联立方程，由判别式判断交点个数；也可求出圆心到直线的距离，与半径进行比较.20、（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由题意可知，函数的定义域为，，因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于，由此可求的取值范围；（2）求出，因为有两极值点，所以，设令，则，上式等价于要证，令，根据函数的单调性证出即可．详解：（1）由题意可知，函数的定义域为，，因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，即，因为，所以，故的取值范围为.（2）可知，所以，因为有两极值点，所以，欲证，等价于要证：，即，所以，因为，所以原式等价于要证明：，①由，可得，则有，②由①②原式等价于要证明：，即证，令，则，上式等价于要证，令，则因为，所以，所以在上单调递增，因此当时，，即.所以原不等式成立，即.点睛：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，属难题．21、（1）（2）在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系．【解析】

（1）利用频率表示概率即得解；（2）根据题目所给的数据计算的值，对照表格中的数据，可得出结论.【详解】（1）根据题设数据，可得7岁到8岁不玩手机游戏的儿童中注意力集中的概率为．（2）根