安徽省2024-2025学年高三年级下册3月调研考试数学试题（含答案解析）

安徽省2024-2025学年高三下学期3月调研考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合4={彳€1\,<4},2=1€1<卜2-%-6<0},则AB=()

A.0B.{-1,0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.已知复数Z满足(z+l)i=l+i3,贝l|z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

3.己知等差数列{4}的前8项和为48；%+/=4,则{%}的公差为()

A.1B.2C.4D.8

4.下列函数中，是奇函数的是()

A.〃x)=e：e*B./(x)=sin^+|^|

x2x+1

C./(x)=xln|x|D./(%)=~+1

X-1

5.已知平面向量满足问=1,|2〃+石卜2,且(a+Z?)_La,则卜卜()

A.2B.6C.&D.1

TT

6.把函数/(x)=2cosx(sinx+cosx)-l的图象向左平移孑个单位长度后，得到函数g(x)的图

象，则g(x)的图象的一条对称轴方程为()

7.甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为

0.6,且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7,如果周六游泳，则周日跑步的概率为09

若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为()

8.已知“X)是定义域为R的非常值函数，且〃x+y)+/(x—y)=2〃x)〃y),/(2)=0,

/⑺是的导函数，且/'(x)的定义域为R.若设/>⑺=。,/(1)=6,则曲线y=〃x)

在点耳-5,〃-5))处的切线方程为()

A.y=—bx—5b—aB.y=bx+5b+aC.y=—bx—5b+a

D.y=bx+5b-a

二、多选题

9.记数列｛凡｝的前几项和为S“，则下列条件使他“｝一定为等比数列的是（）

n

A.?=3B.d+a+2C.Sn=3-2D.

Unai

10.己知产是抛物线£：/=2外5>0）的焦点，点"1#,-2在圆

C：Y+（y+2）2=R2（R>0）上，圆C在点N处的切线与£只有一个公共点，动直线

l:y=6x+t,则下列说法正确的是（）

Q

A.R=l,p=-

B.与E和圆C各恰有一个公共点的直线有6条

C.若圆C上仅有一个点到/的距离为2,则满足条件的/的值有4个

D.若t=0,E上一点。到/的距离为〃，则|。尸|+1的最小值为：

11.如图，正方体ABC。-的棱长为1，点4尸,G分别在棱AA,A瓦，4A上（与

端点不重合），过点A作平面跳G,垂足为a,则下列说法正确的是（）

A.£FG可能为直角三角形

B.若H为.EFG的外接圆的圆心，则三棱锥A-E/G为正三棱锥

C.若AE=A^=AG,则四面体AE尸G的棱与面所成角的正弦值的集合是

试卷第2页，共4页

[o3变1]

'3'2'

]]11

2+2+22

D，Aj£AFAfi~A}H

三、填空题

12.甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116,第四

次的分数为132,且中位数为120,则甲同学这四次数学考试的平均分为.

2

13.过双曲线EY:二-―2=1(。＞0/〉0)的右焦点/作直线yb=一力的垂线/,垂足为与石

aba

的右支交于点5,若FB=BA，则E的离心率0=.

14.t己tanA=根，tan—+—tan—+-tan—=—-1,则实数。=____.

3228416832am

四、解答题

15.在VABC中，内角A,3,C的对边分别为a,6,c,已知sin'A+sinBsinCusinZB+sin2c.

⑴求A；

⑵若。为AC的中点，且的长为2,求税的最大值，并求此时。的值.

JT

16.如图，四棱锥尸-ABCD的底面ASCD是边长为2的菱形，且ZA8C=g,ABPC是正三

角形，24=",6为8。的中点.

⑴求证：PE_L平面A3CD；

(2)求二面角D—PA—B的正弦值.

17.口袋中有编号分别为1,2,3,…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别.

(1)从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率；

(2)从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为X,求X的分布列及期望.

22oi

18.已知椭圆£卞+今=1(。>6>0)的离心率为3，点「(1，5)在石上，直线y=5无+根与E

交于4,8两点，点A关于x轴的对称点为C,O为坐标原点.

⑴求E的方程；

(2)证明：30c的面积为定值；

(3)若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值.

19.若函数“X)的图象上存在三点43〃期,8伍,/。)),“(加,〃/)bS.a<m<b,使得

直线反与〃x)的图象在点”处的切线平行，则称加为“X)在区间可上的“中值点”.

⑴若函数〃x)=V+3x+2在区间,力］上的中值点为加，证明：机力成等差数列.

⑵已知函数g(x)=2xlnr-x2+在，存在b>a>0,使得g(a)=g。).

(i)求实数f的取值范围；

(ii)当仁ApwN*)时，记g(x)在区间［a,句上所有可能的中值点之和为证明：

19

S.+S.++S>-n92+-n.

1244

试卷第4页，共4页

《安徽省2024-2025学年高三下学期3月调研考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DABCACDDADABC

题号11

答案BCD

1.D

【分析】先求出集合A和3,由集合的交集运算即可求解.

【详解】因为x<4,xeN,所以A={o,l,2,3},f-x—6<0n(x-3)(x+2)<0n-2cx<3,

所以B={x卜2(尤<3},

所以AB={O,1,2}.

故选：D.

2.A

【分析】利用复数的乘方及除法计算得解.

【详解】依题意，(z+l)i=l-i,则z+1--1,所以z=—2—i.

1

故选：A

3.B

【分析】根据题意求出首项和公差即可.

【详解】依题意乞=也乌儿=48,即4+%=12,

2

假设等差数列{。〃}的首项为%,公差为d,

%+/=2。］+7d=12

则解得d=2,

a2+a3=2a{+3d=4

故选：B.

4.C

【分析】由奇函数的定义组个判断各个选项即可得到答案.

【详解】A选项，函数定义域为R,/(0)=函数/■(%)不是奇函数，A选项错误；

B选项，函数定义域为R,/(0)=sin^=1^0,函数/(x)不是奇函数，B选项错误；

A选项，函数定义域为(F,O)(O,-H»),/(-x)=-xln\-x\=-%ln|x|=-/(%),函数是奇函

答案第1页，共14页

数，c选项正确；

D选项，函数定义域为(力,1)不关于原点对称，函数/'(x)不是奇函数，D选项

错误.

故选：C.

5.A

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可.

【详解】由(a+6)_La,得+=。，贝!I4为=-1,

由|2。+6|=2,得4a2+62+4入6=4，因此＞=4,

所以忖=2.

故选：A

6.C

【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用平移变换求出g(x),进而求出其

对称轴方程得解.

【详解】依题意，/(x)=sin2x+cos2x=72sin(2x+,

则g⑺"(呜)=缶诃2(呜)+?=0sin(2x+岩)'

Ic11兀兀77r立刀ZF45兀kll.

由2%H------Fkit,左£Z,角牛有1%-----1，左£Z,

122242

因此函数g(x)的图象的对称轴方程为彳=-碧+9，左€2,

17兀

取人=—1,得尤=-b，C正确，不存在整数上使得ABD成立.

24

故选：C

7.D

【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解.

【详解】用事件48分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则无力分别表示“周六游泳”，“周

日游泳”，

于是P(A)=0.6,P(B|A)=0.7,P(B|A)=0.9,P(A)=0.4,P(B|A)=0.1

因此P(B)=P(B|A)尸⑷+P(B|A)P(A)=0.7x0.64-0.1x0.4=0.46,

答案第2页，共14页

P(AB)P(B|A)P(A)0.7x0.621

所以尸(A|B)=

P(B)P(B)0.4623

故选：D

8.D

【分析】取x=2,得到函数的对称中心.令无=y=0,求得/(0),然后令x=0,求得函数

对称轴.由两个等量关系求出函数的周期，由/(7)求出了(-5).然后由函数的对称轴和对称中

心得到其导数的对称中心和对称轴，同理由/'(1)求出/''(-5),然后写出切线方程.

【详解】令尤=2,贝|/(2+y)+/(2-y)=0,则函数/(元)关于点(2,0)中心对称，

令x=y=0,贝厅(0)+〃0)=2〃0)〃0),则"0)=0或/(0)=1,

当〃0)=。时，令y=0,贝iJ〃x)+〃x)=0,即〃x)=0,不合题意，舍去.

故"0)=1,则令x=0,即y)=〃y),即函数关于〉轴对称，

f(2+y)+f(2-y)=0^f(2-y)=-f(2+y),

令y=x+2,则/(T)=_/(X+4),又♦."(T)=〃X),

f(x+4)=-f(x),贝I]/(x+8)=/(x+4+4)=-/(x+4)=-(-/(%))=/(x),

即函数/(x)是周期为8的周期函数，

A/(-5)=/(3)=-〃1)=-⑺=-«,

:函数八》)关于点(2,0)中心对称和y轴对称，

•••导数r(X)关于X=2对称和点(0,0)中心对称，

同理可得/'(x+8)=_f(x),

.•.〃_5)=〃3)=广⑴=6,

上切线方程为：y+a=b(x+5),gpy=bx+5b-a.

故选：D

【点睛】关键点睛，本题有两个解题关键：(1)由对称轴和对称中心得到函数的周期；(2)

由函数的对称中心和对称轴得到其导数的对称轴和对称中心.

答案第3页，共14页

9.AD

【分析】利用等比数列定义，逐项判断即可.

【详解】对于A,由等比数列定义知，｛%｝一定为等比数列，A是；

对于B,当凡=0时，成立，｛%｝不成等比数列，B不是；

对于C由5〃=3"-2,得[=S]=1,出=邑一$1=6,%=S3-S2=18,%,生，%不成等比数列，

C不是；

对于D,由今="，得〃产。，”“=%,｛%｝是公比为1的等比数列，D是.

故选：AD

10.ABC

【分析】对于A,根据点在直线上记直线与圆和抛物线相切可求得R,。；对于B,画图可以

判断；对于C,依题意可知圆心C到直线/的距离为3或1,求出f的值即可判断；对于D,

由|Q司+dN|Q同zg且等号同时成立可以判断D.

【详解】对于A,因为点在圆C上，所以+^-|+2^=7?2,解得R=l,

所以圆C的方程为Y+（y+2）2=l,所以圆心C（0,-2）,

所以直线CN的斜率kCN=

了

所以圆C在点N处的切线的斜率左=6，

所以切线方程为>+]=括x—BP=A/3X-4,

代入抛物线E的方程f=2py（0>O）中，得尤2-2有。尤+8p=。，

Q

由A=12p2-32p=。，解得〃=（。=。舍去），故A项正确；

对于B,如图所示，在y轴右侧，当直线斜率不存在时，有一条直线与E和圆C各恰有一个

公共点，当斜率存在时，有两条这样的直线.根据对称，总共有6条直线与E和圆C各恰有

一个公共点，故B正确；

答案第4页，共14页

对于C,若圆C上仅有一个点到/的距离为2,则圆心C到直线/的距离为3或1,

1-2-d

当圆心C到直线/的距离为3时，［^==3^解得t=4或二=-8；

1-2-r|

当圆心c到直线/的距离为1时，^^=1,解得r=0或/=-4；故c项正确；

V3+1

对于D,因为d>0,所以耳+当点。与原点重合时等号成立，

此时|。尸|取得最小值1,故D错误.

故选：ABC.

11.BCD

【分析】对于A,结合余弦定理判断即可；对于B,由外心得到HE=HF=HG,再结合勾

股定理说明==进而可判断，对于C,分类讨论以4为定点，E为定点的情

况即可判断；对于D,设。=\E,b=4£c=AG,〃=,利用等体积法，结合正余弦定理、

三角形面积公式、锥体体积公式化简即可判断.

【详解】对于A,设AE=a,A/=6，AG=c,其中a,6,ce（0,l）,

所以跖2=/+b\EG2=a2+c\GF2=c2+b2,

由余弦定理得cosNEFG尸?上G吐EG：>°,所以©G为锐角，同理其它两角也是锐

2EF-GF

角，故A错误；

对于B,

答案第5页，共14页

4

E

F

因为目为,EfG的外心，所以HE=HF=HG,再由平面跳6,

结合勾股定理易知AE=A尸=AG,又三个侧面都是直角三角形，易证全等,

所以EF=EG=G产，故三棱锥A-MG为正三棱锥，正确;

对于C,若棱在面内，则棱与面所成的角为0,正弦值为0；

若棱不在面内，考察侧棱与底面所成的角,

以KE为例，（4£A]G一样），设AE=a,则£尸=EG=GE=w，

则EFG的面积为白（伍了><¥=¥4，

由等体积，三棱锥4-理七的体积丫=_143=[义立二xA",

6321

所以4笈=。々，所以==

即以4为顶点，"G为底面的三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为.

以E或尸或G为顶点的三棱锥的侧棱与底面所成角,

答案第6页，共14页

E

以E点为例，（/或G一样），因为AE，平面A/G,所以与平面A/G所成角为90。，

正弦值为1,

由线面角的定义可知：NEFA为所与平面APG所成角，易知NER=45°,正弦值为5，

所以四面体4E/G的棱与面所成角的正弦值的集合是，0,1，，¥，■

故C正确；

对于D,若Q=A2b=Ab,C=AjG,力=4"，又以一封6=^E-\FG,

即4月4尸AG=G石GbsinZEG/，

71[7~2---27772----rrL~~,a2+c2+b2+c2-a2-b2.

所以"c=/?J（"2+。2）（"+。2）1一（——,）22,

丫2，（a+c）（b+c）

则abc=力2c2+，°2，即4282c2=h2（a2b2+a2c2+b2c2），

11111111

所以记=/+7+/'即*+#+桁=而'D正确；

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：D选项，利用匕iFG=%."G，即A.E-A.F-A,G=A.H-GEGFsinZEGF

判断;

12.122

【分析】利用中位数求出第二、第三次分数和，再利用平均数的定义计算得解.

【详解】设甲第二、第三次的分数分别为x，y,由中位数为120,得亨=120,即无+y=240,

所以甲同学这四次数学考试的平均分为U6+x：y+132=I?2.

故答案为：122

答案第7页，共14页

13.&

【分析】过8作/于C,利用相似三角形性质用。，瓦c表示点3的坐标，再将该坐标

代入双曲线方程求解即得.

be

22

【详解】设双曲线£:5-与=13>0,6>0）的半焦距为。［4尸1==b,

ab

|OAI-yj\OF^-\AF\i-a,设8（九〃），由RB=BA，得B是线段AF的中点,

|BF||gC|\CF\

过B作BC_LOF'于C,则V5CFS/\Q477,

\OF\^\OA\~\AF\

因此?=4=三2,解得〃?=£1±《,〃=兹，由点3在双曲线E上,

2cab2c2c

）A

4日1（。2+/2/目口/1、21r-r-r>lI-

得―廿--工=1，即3+-）2---=4f所以e=JL

4ca4cee

【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式裂项变换，再求和比对即可得解.

x

2tan—

X11tan-

【详解】当tanx,tan/均不为0时,由tan%=---------得——=------------

tanx

1-tan2—2tan^2

22

x

tan—

211E”1兀171171

由,因止匕一tan—+—tan—+—tan一

2

2tan—tanx28416832

2

11111111.

+_（--------------------）+—（

_71兀---2c兀714c兀71

2tan—tan—2tan—tan—2tan——tan—

841683216

1

-1=---1即J__l=，-一1,所以q=8.

c兀8m

8tan—am8m

32

故答案为：8

【点睛】关键点点睛：将二倍角的正切公式取倒数变形，利用裂项相消法求和是求解问题的

答案第8页，共14页

关键.

Tt

15.⑴A=§；

⑵历的最大值为8,0=273.

【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；

（2）利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值，进而求出。值.

【详解】（1）在VABC中，由$11124+51118$M。=511128+5山2。及正弦定理得，a2=b2+c2-be,

由余弦定理得cosA=2—“2=[,而0<4<兀，

2bc2

所以4=1.

（2）在△岫）中，由余弦定理得，22=Br）2=c2+L/-2c,6cosA,

42

则16=4c二+6」-26c22A/4c「力」-2Z?c=2bc，即6cW8,当且仅当Z?=2c=4时取等号，

此时a=扬+。2-次cosA="+2?一4>2=2有，所以反的最大值为8,a=2®

16.（1）证明见解析；

⑵手.

【分析】（1）根据给定条件，证出尸再利用线面垂直的判定定理即可得

证；

（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面皿）与平面mB的法向量，再利用面面角

的向量法求解.

【详解】（1）在四棱锥2-ABCD中，连接AE,由四边形ABCD是边长为2的菱形，ZABC=1,

得VABC是正三角形，又E为BC的中点，则AE，BC,AE=g,

而，BPC是正三角形，则=6,于是PE2+AE2=6=PA2,

PELAE,又BCAE=E,3C,AEu平面ABCD,

所以PE_L平面ABCD

答案第9页，共14页

(2)由(1)知，直线EC,反4,EP两两垂直，

以E为原点，直线EC,胡,EP分别为无,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则B(-1,0,0),A(0,A/3,0),D(2,6,0),P(0,0,g),

PA=(0,yf3,-y/3),PD=(2,瓜-5,PB=(-1,0,-73),

PA-n=A/3_Y—A/3Z=0

设平面PAD的法向量〃=a,y,z),取z=l,得w=(0,l,l),

PD-n=2x+也y—s/3z=0

PA-m=y/3b-y/3c=0

设平面E4B的法向量加=(。/,c),则「取。=1,得加=(一百,1,1),

PB-m=-a-J3c=0

m-n2A/10

cos(m,ri)=

所以二面角D-B4-3的正弦值为

5

17.(Dy；

0

(2)分布列见解析，期望为#■.

【分析】(1)利用古典概率的概率公式即可解出；

(2)求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.

【详解】(1)从口袋中任取3个小球有C：。种方法，编号全为奇数的取法有C；种，全为偶数

的取法有C；种,

因此编号既有奇数又有偶数的取法种数为C：o-C；-C；=120-10-10=100,

所以取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率为*=|.

(2)依题意，X的所有可能值为1,2,3,4,5,6,

答案第10页，共14页

从口袋中任取5个小球有C：0=252种取法,

1C4705C4355

P(x=2)=2=a—,P(X=3)=T=——=一，

2I25218C；025236

C445C41

P(X=5)=-l-=—P(X=6)=W=，

C252C10252

(2)证明见解析;

(3)T-

【分析】(l)根据给定条件，列出关于。2,"的方程组即可求出E的方程.

(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证.

(3)在玉％R。时，利用斜率坐标表示求出截距的表达式，结合韦达定理求出最小值，再求

出3尤2=。的情况即可.

【详解】⑴由椭圆E：W+[=1的离心率为得耳"即上=3,

a2bz2a2a24

31Q

由点P(l，7)在E上，得—+治=1,联立解得〃2=4/2=3,

2

2a4b之

22

所以E的方程为土+二=1.

43

(2)设4芯,%),5(%2，为)，则M)，

1

y=—x+m

2

由,22消去》并整理得好+/+/―3=0,

——+—=1

143

A=m2-4(m2-3)>0=>m2<3,再+々=一m,国入2=-3,

答案第11页，共14页

2

SBOC=^\OBIIOC\sinZBOC=||OB||OC|A/1-COSZBOC

=1sl(\OB\\OC\)2-(OBOC)2=|"(<+y：)(上+货)-(再飞-.%)2

=；Ix1%+9M1=；I&g々+租)+尤2g%+I

113

——|无1/+根(X[+%)1=/I'"2—3一7，?"|=$,

所以30c的面积为定值.

(3)由点8在直线AC的右侧，得马>王，设直线BC与>轴的交点为7(0"),

当占马=0时，点氏C中有一个点与椭圆E的上顶点重合，此时T即为E的上顶点，t=6,

当中1。时，由8CT共线，得上=且，即;％+优一〈一;占一比一,

x27X,1-

x2X]

整理得t-—-~二-1->0，而％2—玉=J(%1+%2)2—47入2

=^m-4(m-3)=4l2-2m<273,当且仅当m=0时取等号，

所以直线BC在y轴上的截距的最小值为占.

2

19.(1)证明见解析；

(2)(i)(0,+“)；(ii)证明见解析.

【分析】(1)根据中值点定义得到相关方程，则“+6+3=2加+3,化简即可；

(2)(i)通过二次求导得坂口而二力⑴.，再对区0和f>0讨论即可；

(ii)首先证明与+%>2+3，通过构造函数研x)=ln(l-lnx)+x-l,利