高考数学 压轴圆锥讲义：圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（学生版）

专题15圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题

一、考情分析

圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点，探索性问题通常为探索是否存

在符合的点、直线或结果是否为定值，求解时一般是先假设结论存在，再进行推导，有时也会出

现探索曲线位置关系的试题，结构不良问题时,兼顾开放性与公平性，形式不固化，问题条件或

数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征，选择不同的

条件，解题的难度是有所不同的，能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.

二、解题秘籍

（-）解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法

1.解决探索性问题的注意事项

探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.

（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.

2.存在性问题的求解方法

（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为：假设满足条件的

元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组

有实数解,则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.

（2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.

3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；

③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原

理等不确定.

【例1】（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线

22

C:A-当=1经过点（2,-3）,两条渐近线的夹角为60。,直线/交双曲线于A,B两点.

ab

（1）求双曲线C的方程.

⑵若动直线/经过双曲线的右焦点是否存在X轴上的定点,使得以线段A8为直

径的圆恒过M点？若存在，求实数加的值；若不存在,请说明理由.

【解析】（1）•••两条渐近线的夹角为60。,..•渐近线的斜率土2=土石或±@,即/,=后或

a3

b=——a；

3

当Z?=石〃时，由一■-yy=1得：/=1方=3,•二双曲线。的方程为：X2——=1；

cib3

当b=心~a时，方程=1无解；

3a2b1

2

综上所述：..•双曲线c的方程为：/一匕=1.

3

(2)由题意得：鸟(2,0),

假设存在定点”(m,0)满足题意，则凉•砺=0恒成立；

方法一：①当直线I斜率存在时，设l:y=k(x-2),A(xl,y1),B(x2,y2),

产(-2)(3-八o

由上口得：(3-虫+4人-印+3)=。,,360+用＞0，

4k24公+3

占+%=正三，平2=k2_3，

22

:.MAMB=(^xl-Z7?)(x2~^n)+yxy2=^x2一加式+x2)+m+k(占勺-2(x；+x2)+4)

(4左2+3)(1+阴4k2(2k2+m]

22222

=(1+k)占马-(2%2+7")(X]+X2)+/7J+4k=+m+4k=0,

左二3上2—3

;.(4公+3)(1+左2)—4左2(2妤+川)+"+4左2)(严—3)=0,

整理可得：k2(m2-4/n-5)+(3-3/n2)=0,

,\irr-4771-5=0zet

由《a2n特：〃?=T；

[3-3m=0

.,.当〃7=-1吐加.布=0恒成立；

②当直线/斜率不存在时,/:x=2,则4(2,3).3(2,-3),

当M(-1,0)时,MA=(3,3),〃6=(3,-3),；.凉.肮g=0成立；

综上所述：存在加(-1,0),使得以线段A8为直径的圆恒过M点.

方法二:①当直线/斜率为o时,/：y=o,则A(To),B(I,O),

MA-MB=m2-1=0m=±l；

②当直线“斜率不为。时，设/:x=ty+2,A(%,％),3(孙丹)，

E+2,、⑶2一IN0

•,•%+%=一月，%%=口‘

2

MAMB=(xl—m](x2-〃2)+弘%=^%2—mix1+x2}+m+yty2

=(以+2)(仇+2)一勿伽]+2+优+2)+〃/+yry2

2

=(』+1)%%+(2t—+y2^+4-4m+m

9(/+l)12t(2t—mt},(12/M—15)r+9,

—二----L+4-4/77+m2=-----------------+(2—〃。x2=0：

3»-l3Z2-13r2-1''

12m-159

当二^—=1,即加=-1时，麻•诙=0成立；

综上所述：存在河(-1,0),使得以线段A3为直径的圆恒过”点.

【例2】(2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线

22___

:二一2r=l(b>a>0)的右焦点为尸(c,o),从①虚轴长为2耳；②离心率为2；③双曲线

a"b'

C的两条渐近线夹角为60。中选取两个作为条件，求解下面的问题.

(1)求C的方程；

(2)过点F的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于A8两点,0为坐标原点，记AAOBQFOB

面积分别为力S,,若*=6+1，求直线/的方程.

d2

(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.)

c2=a2+Z?\

a=1,

【解析】(1)若选①②，可知£=2,解得卜=6

a

c=2,

2b=273,

c的方程为尤2-21=1.

3

若选①③,因为…a~'

2b=2®

2

...(?的方程为1-±=1.

3

-=2,

-=2,a

若选②③,设递增的渐近线的倾斜角为区可知a二八。

Ijlll<b

U—OU,、一=tan6=tan60°，

2a

a+Z72=2

ca2+b2=c1

此时无法确定a,b,c

(2)F(2,0),由题意知，直线I斜率不为0,•.设直线/：x=ry+2.

x=ty+2,

2

由2y得⑶2-1)丁+12。+9=0,

=1,''

I3

设A&,%),8(无2,%),IM3%I,则可知3产-1w0且A>0恒成立,

-12t9.6T6

9

+3^2=z-2~~77，,必%>°,・・£<——^t>——.

3t-13t-133

...S&AOB-S0F—S^BOF,S_0F]=।%।]=招I]•，_=2+后

SgOFSgOFSgoF।%।'%

由（%+%尸-2%%=10产+2得且+&=10*+2.10产+2_4

y%3产-1”寸%%3»——-3产-1'

「」=±6满足"一巫或"巫.

33

.••直线/的方程为>=正尤一地或y=一也x+也.

33-33

（二）是否存在型探索性问题

求解此类问题一般是先假设存在，再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.

22

【例3】（2022届天津市南开中学2高三上学期检测）已知椭圆C：=+[=15>>>0）的

ab

左、右焦点分别为月、%,且工也是抛物线E：y2=4x的焦点,p为椭圆C与抛物线E在第

一象限的交点，且|尸用=j

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线y=Mx-1）与椭圆C交于R,S两点，问是否在x轴上存在一点T,使得当女变动时,

总有NOTS=NOTR?说明理由.

【解析】（1）•.•修也是抛物线E：）?=4x的焦点，:心（1Q）,

：.c=l，且抛物线的准线方程为x=-l.

设点P（Xo,%）,

552

\・|尸耳|=§，一•％o+1=§，•.•%o=§，

2A/22A/648i

・"二访=亍.以+/=1'

•・•/一/=c?=1,解得〃2=4,从=3,

22

二椭圆方程为L+二=1：

43

（2）假设存在了（。0）满足NO7S=NO77?.设氏（不凡）,5（孙％），

联立IsXtz-n，消丁整理得G+4〃）f一8k2x+442—12=0,

由韦达定理有西+%2=q，%1%2=4：，:①，其中△>（）恒成立,

,'""D十个K

由ZOTS=ZOTR（显然TS,TR的斜率存在），故kTS+砧=0,即一^+萼；=。②，

—I%2—t

由H,S两点在直线y=k（xT）上，故乂=左（玉一1）,%=左（9一1）,

代入②整理有2%%-（%+。（再+W）+2/=。③,

将①代入③即有：暮6/-隽94=。④,要使得④与k的取值无关,当且仅当"t=4”时成立，

3+4H

综上所述存在7（4,0），使得当k变化时，总有ZOTS=NOTR.

（三）探索直线是否过定点

求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y=kx+t，然后根据已知条件确定匕r的关系式，

再判断直线是否过定点.

22

【例4】（2022届北京市房山区高三上学期期末）已知椭圆E:二+与=1（a>6>0）的离心

ab

率为日,A,2分别为椭圆E的上、下顶点，且|AB|=2.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线/与椭圆E交于M,N（不与点A,8重合）两点,若直线A"与直线AN的斜率之

和为2,判断直线/是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.

【解析】（1）由离心率为巫，可得£=且

2a2

因为A,3为椭圆的上、下顶点，且|AB|=2,所以处=2即6=1,

又/=/+

解得：〃=2

所以椭圆E的标准方程为片+>2=1

4

（2）直线，经过定点证明如下：

①当直线/的斜率存在时，设/：y=^+f,（/H±i）,

y=kx+t

由I*,得（1+4左2）冗2+8依+4〃—4=0,

——+y=1

14,

则A=（8Q）2—4（1+4左2）（4〃—4）>0得：t2<4k2+l

设Ma，%）”%,%）

1-Skt4d-4

则匹台’

则L+L=3+J=2…（1）（…）

再x2x1x2

二8g1）：,

-4（r+l）（r-l）-

所以心发-1,经检验，可满足产＜4/+1,

所以直线/的方程为了=丘+左一1,即丁=上（》+1）—1

所以直线/经过定点

②当直线/的斜率不存在时，设=yM）,N（m,-yM）,

贝1=+二2kzi=2

mm

解得7"=-1,此时直线/也经过定点（-1,-1）

综上直线/经过定点（-1,7）.

（四）探索结果是否为定值

此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示，再结合韦达定理或己知条件进行化

简，判断化简的结果是否为定值.

【例5】（2022届云南省三校高三联考）在平面直角坐标系尤帆中，椭圆

E』+a=1（。＞6＞0）过点'

abJ/I，J

（1）求椭圆E的方程；

（2）点%）是单位圆x2+y2=1上的任意一点，设P,M,N是椭圆E上异于顶点的三点

uuuuuaULW1iniir。iiimTo

且满足OP=x0OM+%ON.探讨瑞2+揭2是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定

值,请说明理由.

f_2_+J_=i

【解析】⑴因为点椭圆上，所以＜£*，解得〃=1,〃=8,

所以椭圆方程为工+9=1.

8

（2）令M（%,%）,N（A：2，%）,则尸（玉石+%孙/%+%%），

所以£^+5%+%%)2=1'

O

即［1+才卜+旨£卜+(^^+2%%%%)=1.

又工+"1，4+£=1芯+¥=1，所以马萼上+2W1%=0,

ooo

即也及=Y

1

xrx28'

所以（％%）2==泊,那=（1-yi）（i-yf）=1-（yi+秃）+必・修

即资+%=1，又工+才=1，"+及=1，所以靖+吟=8,

88

一uuuruum

所以OM2+ON2=%；+%；+y；+y；=9,

加UULT2皿2斗一怙0

故31+ON为正值9.

【例6】（2022届天津市耀华中学高三上学期月考）已知。为坐标原点，双曲线

0：口一1=1（1>0,4>0）和椭圆口:二+1=13>62>。）均过点71，挛且以6的

01bl%&I3J

两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.

（1）求C-C?的方程；

（2）是否存在直线/,使得/与C1交于A,2两点，与C?只有一个公共点，且|西+而|=|市|?

证明你的结论；

（3）椭圆C2的右顶点为。，过椭圆C?右焦点的直线乙与C?交于〃、N两点,M关于％轴的

s

对称点为S,直线SN与X轴交于点尸,△MQ2,△加尸Q的面积分别为S],S2,问寸是否为定值?

32

若是,求出该定值；若不是，请说明理由.

41141

【解析】⑴根据题意：膏一至t=仁+砺=1,

以G的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形，边长为应

故％=1,q=1,故必=&2+1，代入计算得到瓦=69=6,瓦=近,

/产2

2

故G：y---=l,c2：—+—=1-

（2）假设存在直线方程满足条件，

当直线斜率不存在时,x=占或尤=-月,代入计算得到y=土应，验证不成立；

（y=kx+b

当直线斜率存在时，设直线方程为〉二丘+%则/2

I--1--=1

I32

即（2+3/）/+6&+362-6=0,八=36左262一4（362—6）（2+3公）=0,

化简得至!|/=3左2+2.

y=kx+b

设A（4%）,3（孙3），y2/_],故（3〃—1）/+6物:+3必一3=o,

_6kb

“2一3^猾T，|况+网=网+万+/，故砺,加

故，

即xlx2-\-yiy2=玉%2+(g+5)(仇+人)=。,即俨+1)再入2+幼(再+%2)+〃=°,

即(尸—化简得至1」2〃=3/+3,

'73F-13左2-1

f2=方程组无解，假设不成立.

（2b/=3kz+3

故不存在直线满足条件.

（3）焦点坐标为（1,0），易知直线方程斜率不为零，设直线方程为x=my+l,

M（%，X）,N（如女），则S（孙一方），

x=my+1为+丫2=一^^

式+日=1，化简得到（2毋+3）/+4my-4=0,

4

{y/2=一2心

直线WS方程为：丁=生之工-再）+九

玉-x2

取y=o得到

再％+ZX_（加必+1）%+（根%+1）%_4_~2m2^+3

%+%%+%Ji+%4m

2m2+3

今=鬻=杏=亭，故、是定值为正1.

€23—A/32%2

（六）探索直线与圆锥曲线的位置关系

探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断，探索直线与

椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.

【例7】已知定理：如果二次曲线加+。2+m+@+尸=0与直线mr+"y+4=0（#0）有两个

公共点P、Q,0是坐标原点，则OP±OQ的充要条件是（A+C）q2-（mD+nE）q+（m2+n2）F=0.

（1）试根据上述定理写出直线/：尤+2y-3=0与圆C:x2+y2+x_6y+c=0相交于P,Q,坐标

原点为。，且OP，OQ的充要条件，并求c的值；

22

（2）若椭圆=+[=1与直线”+冲+4=0相交两点P、Q,而且OP^QQ,试判断直线尸。与

ab

无2+2____

圆>一,，i的位置关系,并说明理由.

a2b2

【解析】(1)由定理可知OP，OQ的充要条件为:2X(-3)2-(1-12)X(-3)+(1+4)C=0,

BP18-33+5c=O,.-.c=3.

22

(2)•.•椭圆A+4=l与直线mx+〃y+q=o相交两点p、2,

ab

・"5+5）"T疗+/）=。，即，+/=二^・

•••圆/+'2=「的半径为曰:二层5=溪7,

a2b2\a2b2

又圆心（0,0）到直线PQ的距离为"=-1==,

7m+n

d=r,

无2,2=_I_

，直线PQ与圆＞一工+工相切.

a2b2

（七）探索类比问题

此类问题多是椭圆与双曲线的类比

22

【例8】设耳、8分别为椭圆C:二+与=1（。＞0）＞0）的左、右两个焦点.

ab

⑴若椭圆C上的点A11，3到耳、与两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；

（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段4K的中点的轨迹方程；

（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点尸是椭圆上任意一点,

当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kpM、kPN时，那么kpM与kPN之积是与点P位置无关的

22

定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

ab

【解析】（1）点A.在椭圆C上,且到小层两点的距离之和等于4,则V［|］2a=4,

I~+~^~=x

ab

22

解得“=2,〃=3,椭圆C的方程为上+匕=1；

43

（2）。=乒齐=1,则有MT。）,设线段KK的中点为（无力则有

_m-1

X~2Jm=2x+l

n\n=2y'

y=­i

I2

又K是椭圆上的动点，则有M+d=i,即-—--F-~~y）=1,即［x+工］+勺-=1.

4343I2）3

故线段大K的中点的轨迹方程为］》+gj+手=1

Y22

（3）类似特性的性质为：若M、N是双曲线2V=1上关于原点对称的两个点，点尸是双

ab

曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kpM、kpN时，那么kpM与kpN之积是与

点P位置无关的定值.

证明：设户（X。,几）,M（SJ）,N（—s,T）,则指-5=1,脑=二，%=篝,

27

=%)-=%T

一,-22

XQ—SXo+5Xo—5

（八）不良结构问题

近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题，选择不同的条件，所用

知识可能不同，难易程度也可能不同.

【例9】在①尸产=5+1,②%=2%=2,③PF，左轴时,尸尸=2这三个条件中任选一个，补充

在下面的横线上，并解答.

问题：已知抛物线。：尸=2m（0>0）的焦点为£点户伍,九）在抛物线C上,且_____.

（1）求抛物线C的标准方程；

⑵若直线/：x-y-2=。与抛物线C交于A.B两点，求AABF的面积.

【解析】（1）解：选择条件①，

由抛物线的定义可得PF=x。栏,

因为尸尸=须+1,所以无o+~|=%+1,解得P=2,

故抛物线C的标准方程为y2=4x.

选择条件②，

因为%=2%=2,所以y0=2,x0=l,

因为点尸（%，％）在抛物线C上，

所以尤=2内。,即2P=4,解得p=2,

所以抛物线C的标准方程为y2=4x.

选择条件③.

当尸尸_Lx轴时,P尸=孑+§=2,所以p=2.

故抛物线C的标准方程为y2=4x.

（2）解：设4（%,%）,5仁,%）,由（1）知/（1,0）.

由。[x—=y—-2©=0，得>.Ty-8=0,

则X+%=4,%%=-8,

所以IM-%|==J16+32=46，

故AB=Jl+Rj]—y21=yjlx4#:=4^/6.

因为点p到直线/的距离〃=4二3=立，

所以A4B厂的面积为工48"=、45后、走=2右.

222

三、跟踪检测

1.(2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C经过点P(LO),且与

直线x=-l相切,记动圆C圆心的轨迹为E.

⑴求E的方程；

(2)已知尸(4,%)(%>0)是曲线E上一点,A3是曲线E上异于点P的两个动点,设直线PA、

3兀

PB的倾斜角分别为圆/，且a+/?=T，请问：直线AB是否经过定点？若是，请求出该定点，

4

若不是，请说明理由.

2.(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆。：/+产=16,点A(6,0)，点、B

为圆。上的动点，线段的中点M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵设7(2,0)，过点T作与无轴不重合的直线/交曲线C于E、F两点.

(i)过点T作与直线/垂直的直线相交曲线C于G、8两点，求四边形EGFH面积的最大值；

(ii)设曲线C与x轴交于P、。两点，直线PE与直线。/相交于点N,试讨论点N是否在定

直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

3.(2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C:/-y2=i,过点

T(t,0)作直线/和曲线C交于A,B两点.

(1)求双曲线C的焦点和它的渐近线；

⑵若f=0,点A在第一象限,，x轴,垂足为连结BH，求直线BH斜率的取值范围；

⑶过点T作另一条直线机"和曲线C交于&F两点.问是否存在实数f,使得荏.瓯=0和

|而|=|瓯]同时成立.如果存在,求出满足条件的实数/的取值集合；如果不存在,请说明理由.

4.(2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考)设点P

为圆C:无2+>2=4上的动点，过点尸作%轴垂线，垂足为点Q,动点/满足2丽=V3P2(点尸、

。不重合)

⑴求动点”的轨迹方程E；

⑵若过点7(4,0)的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为，直线NA的斜率为《，直

线的斜率为心，试判断匕+&是否为定值.若是,求出该定值；若不是，请说明理由.

22

5.(2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测)已知椭圆E：卞+3=1(°>6>0)的离

心率为他，过坐标原点0的直线交椭圆E于尸,A两点，其中P在第一象限，过尸作x轴的垂线，

2

垂足为C,连接AC.当C为椭圆的右焦点时,△PAC的面积为血.

⑴求椭圆E的方程；

(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：NAPB是否为定值，若是，求出这个定值；若不

是，说明理由.

6.(2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考)已知抛物线C：y2=2/7x(p>0)

的焦点为F，点。(如2)在抛物线C上，且修斤|=2.

(1)求抛物线C的标准方程.

⑵直线/：x=阳+t与抛物线C交于A,JB两点,点尸(yO),若ZAPO=NBPO(。为坐标原

点)，直线/是否恒过点M?若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由.

7.(2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考)在平面直角坐标系中,0为坐标原点，动点

G到耳(-73,0),F2(73,0)的两点的距离之和为4.

(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C.

⑵已知直线y=M无-与圆修1-百丫+丁、；交于M、N两点,与曲线C交于P、

Q两点,其中“、尸在第一象限,d为原点。到直线i的距离，是否存在实数k，使得

T=(|NQ]-[加尸|)•2/取得最大值,若存在，求出k和最大值；若不存在，说明理由.

8.(2022届广东省潮州市高三上学期期末)已知椭圆C:J+£=l(a>6>0)的离心率为手，

以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-鱼y+6=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点48为动直线尸网片2)(际0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点瓦

使得由+丽•荏为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

9.(2022届河北省深州市高三上学期期末)已知抛物线。：/=4了,点尸为。的焦点,过厂的

直线/交C于4,8两点.

(1)设A3在C的准线上的射影分别为P,。,线段尸。的中点为R,证明：AR//FQ.

(2)在无轴上是否存在一点T,使得直线AT,的斜率之和为定值？若存在，求出点T的坐标；

若不存在,请说明理由.

10.已知椭圆£:9+%2=1(〃>1)的离心率为白，圆A:x2+(y—〃)2=产土〉0)与椭圆E相交

于&。两点.

(1)求4B-AC的最小值;

(2)若片，外分别是椭圆E的上、下焦点，经过点耳的直线/与椭圆E