五年级奥数杂题统筹规划（ABC级）学生版

咚皓段国琼

1.掌握合理安排时间、地点问题.

2.掌握合理布线和调运问题.

3.掌握空瓶换水、火柴游戏等问题的常规解法。

知识点说明：

统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好

先后顺序，能够提高我们的工作效率.我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领

小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统

筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义.运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，

使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对

策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知

识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索

的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最

好的思维锻炼题目。

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们FI常生活、工

作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。

“发生对流的调运方案''不可能是最优方案。

“小往大靠，支往干靠”。

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［例1］理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、

15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时闰的总和最少？

最少时间为多少？

【巩固】设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满

第二个人的桶需要2分钟.......如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水,

使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？

［例2］卜.图为某三岔路交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,。的机动车辆

数如图所示，图中％,与，M分别表示该时段单位时间通过路段A&BC,CA的机动车辆数（假

设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），问：/的人

小关系.

【巩固】右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）.小明从A

到8最快要几分钟？

【例3】有七个村庄片,人，，4分布在公路两侧（见右图），由一些小路与公路相连，要在公路上设

一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？

【巩固】某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图.试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数

越小越好.）

【例4］一支勘探队在五个III头A、8、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相

同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）

【巩固】下图是一个交通示意图，A、8、C是产地（用•表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），D、

石、尸是销地（用。表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），线段旁边有括号的数字表示两地每

吨货物的运价，单位：百元（例如“与。两地，由2到。或由由Q到4每吨货物运价100元）.将

产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？

［例5］山区有一个工厂.它的十个车间分散在一条环行的铁道上.四列货车在铁道上转圈运送货物。

货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物.各车间由于工作量不同，所需装卸工人

数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车：也可以坐在

货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分跟车.问怎样安排跟

车人数和各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？

【巩固】一个物流港有6个货站，用4辆同样的载重汽车经过这6个货站组织循环运输.每个货站所需

要的装卸工人数如下图.为了节省人力，可安排流动的装卸工随军到任何•个货站装卸.在最优

的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是人.

1例61牛奶和李子果酱被装在同样的瓶子里出售，同时商店还开展回收此类空瓶的业务.每5个空瓶

可以换1瓶牛奶，每10个空瓶可以换1瓶李子果酱.灰太狼从地窖里找到了60个空瓶，拿到

商店去换物品.他每次只换回一瓶牛奶，或一瓶李子果酱，并且等把换到的牛奶或李子果酱都

吃掉后，再拿空瓶去换物品.在进行了若干次交换之后，他手中只剩下了1个空瓶.问：他一

共进行了多少次交换？

【巩固】师生共52人外出春游，到达后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，给了班长买矿泉水的钱。班长

到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水。班长只要买瓶

矿泉水，就可以保证每人一瓶。

［例7］一次，齐王与大将赛马.每人有四匹马，分为四等.田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序一次

为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自

己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等自己的四等.田

忌有种方法安排自己的马出场顺序，保证自己至少能赢得两场比赛.

［例8］国王准备了1000推酒作庆祝他的牛.日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下

毒，若毒服后则正好第10日发作.有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证

检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？

【巩固】欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个自然数.两人各出一张卡片，计算两张卡片

上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和.那么，两人的卡片上所写的数中最大的数

最小是.

［例9］有1（）0根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1~10根火柴，谁取得最后一根火柴谁就获

胜。如果甲先取，那么谁有必胜的策略？

【巩固】有-10（）根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后

一根火柴谁输，若甲先取，问：谁有必胜的策略？

【例10］有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次轮流取其中的2个、4个或8个，谁最后取完棋子，就

算获胜。那么先取的人为保证获胜，第一次应取几个棋子？

【巩固】桌上有一块德芙巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块。现在让你和另一个小朋

友进行一种游戏，游戏规则如下：（1）每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；（2）拿走其中一

块，把另一块留给对手再切；（3）谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就获胜。如果请你首先

切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？

【例11】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定每次在黑板上写的数要满足条件：他的

任何倍数都不能是黑板上已写的数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，那么谁有

必胜的策略？

【巩固】甲、乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某

个非零数字，并用所得的差替换原数。两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢。如果开始在

黑板上写着数1994,并且甲先走，问谁有必胜策略？

【随练1】A、［两个粮店分别有70吨和60吨大米,甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50

吨大米.从43两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最

少？

【随练2】有甲、乙两个水龙头,6个人各拿一只水桶到水龙头接水,水龙头注满6个人的水桶所需时间分

别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟.怎么安排这6个人打水，才能使他们

等候的总时间最短，最短的时间是多少？

【随练3】有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的

人为胜者。试问：如果甲先取，谁有必胜的策略？

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一京国逊

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【作业1】车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分

钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，⑴怎样安排才

能使得经济损失最少？⑵怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？

【作业2】某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度

比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间（侯车时间可以看成是固定不变的），在任何情况

下，他总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达4、夙C三地采用最佳方案所需要的时间.

为了到达离住地8千米的地方，他需要花多少时间？并简述理由.

【作业3】右图是A,B,C,D,E五个村之间的道路示意图，。中数字是各村要上学的学生人数，道路上

的数表示两村之间的距离（单位：千米）.现在要在五村之中选一个村建立一所小学.为使所有学

生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.

【作业4】北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去.其中甲工厂需

要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨.两个仓库与各工厂之间的距离如图所示（单位:

公里）.已知运输每吨货物1公里的