第40讲 直线的方程及位置关系-2026高考数学一轮复习（提高版）解析版

第八章解析几何

第40讲直线的方程及位置关系

链教材夯基固本

激活思维

1.（人A选必一P54例1改）如图，直线/”12,/3的斜率分别为后，左2,ki,贝！1（D）

（第1题）

A.左1<左2V左3

B.k<k\<ki

C.左3V左2〈左1

D.k\<k<ki

【解析】由题图知，直线/1的倾斜角ai是钝角，故质<0,直线/2与/3的倾斜角。2与

a3均为锐角，且（X2>a3,所以0<左3<左2,因此左1<左3<左2.

2.（人A选必一P57练习T1改）已知直线/过点（一1,2）,且与直线2x-3y+4=o垂直，

则/的方程是（A）

A.3x+2y-l=0B.3x+2》+7=0

C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0

【解析】由题意可得直线/的斜率左=一去所以/：了一2=一1），即3x+2y—1=

0.

3.（人A选必一P77练习T3改）已知点/（a,2）（a>0）到直线/：x—y+3=0的距离为1,

贝"（C）

A./B.2-^2

C.仍一1D.也+1

【解析】由题意知乜二#=1,40,解得。=他—1.

4.（人A选必一P72练习T3改）已知直线/经过原点，且经过直线2x—2y-l=0与直线

6x—4y+l=0的交点，则直线/的方程是（A）

A.4x—3y=0B.4x+3y=0

C.3x~4y=0D.3x+4y=0

【解析】经过直线2x—2y—1=0与直线6x—4y+l=0的交点的直线I的方程可设为

2x—2y-l+/(6x—4y+1)=0,将原点。(0,0)代入，得-1+4=0,解得2=1,所以直线/

的方程为4x-3j=0.

5.(人A选必一P61例2改)(多选)若直线办+2歹一6=0与x+(a—1%+/-1=0平行，

则。的值可能是(AB)

A.2B.-1

C.-2D.1

【解析】因为两直线平行，所以。(a—1)—2=0,且2(层-1)+6(°—l)W0,即小一。

—2=0,且a2+3a—4W0,解得a=2或a=-1.

聚焦知识

1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向一之间

所成的角叫做直线/的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。.

(2)范围：直线/的倾斜角的取值范围是皿ZL.

2.斜率公式

(1)若直线/的倾斜角aW90。，则斜率tana_.

(2)若P(xi,ji),2(X2,/)在直线/上且xi/X2,贝I"的斜率后=3》_.

%2一X1

3,直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式_"0=左(％—xo)_不含直线x=xo

斜截式不含垂直于X轴的直线

两点式匚”=匚旦8力必力力闻不含直线X=X1和直线y=yi

y2~yiX2~xi

截距式-+^=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

一般式/4+历，+。=0(42+52巳0)平面直角坐标系内的直线都适用

4.两条直线平行与垂直的判定

(1)平行：对于两条不重合的直线/l,h,其斜率分别为后1,后，则有小〃/2。瓦=于..特

别地，当直线/1，/2的斜率都不存在时，/1与/2平行.

(2)垂直：如果两条直线/1,/2的斜率都存在，设为肌，后，则/山2=.kl"2=—L.特

别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

5.三个距离公式

⑴点点距：两点Pl(xi，JV1),尸2(M,V2)之间的距离为|尸1。21=_、限2—Xl)2+(V2—Vl)2_.

(2)点线距：平面上任意一点尸0(祝，次)到直线/：4%+为+。=0的距离d=

|4xo+2vo+C|

-Y)A2+B2-，

(3)线线距：两条平行直线/i：4v+5y+G=0,，2：4%+为+。2=0之间的距离d=

Q1一。21

~\IA2+B^'

6.常用结论

(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”

是一个非负数.

(2)对于直线/述+317+。1=0,4〃+32y+。2=0：”两直线平行”的充要条件是“A1B2

且/C2W/2C1”；“两直线垂直”的充要条件是由2=0”.

研题型素养养成

举题说法

目帧U直线的方程

例1(1)已知直线/的斜率为他，在y轴上的截距为另一条直线x—2y—4=0的斜率

的倒数，则直线/的方程为(A)

A.y=\l3x+2B.y=3x—2

C.D.y=-A/3X+2

【解析】因为直线x—2y—4=0的斜率为1，所以直线/在y轴上的截距为2,故直线

1的方程为y=Wx+2.

(2)在中,已知点4(5,-2),5(7,3),且NC边的中点初在y轴上，3c边的

中点N在x轴上，则〃N所在直线的方程为(A)

A.5x—2y—5=0B.2x—5y—5—0

C.5x—2y+5=0D.2x—5y+5=0

x+5八仅+7

------=0,------=n,

22

【解析】设C(x,y),Af(0,m),N(n,0),则有v_2且u+3解

Z—=m,Z—=0,

22

-3),/0'—3,N(l,0),所以"N所在

得x=-5,y=-3,m——n—\,即C(一5,

,5

y~\-一

直线的方程为即5x—2y—5=0.

2

〈总结提炼A

求直线方程的两种方法：(1)直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接

写出直线的方程.(2)待定系数法：设所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方

程(组)，解这个方程(组)求出参数.

变式1(1)过点(3,—4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是,=—1或y=一x

-1.

【解析】设直线在X,y轴上的截距分别为a,b,贝U0=6.若0=6=0,即直线过原点,

解得左=—±故直线方程为若

设直线方程为代入(3,—4),即一4=3后,y=~

33

a=bW0,设直线方程为工+号=1,代入(3,-4),即3—4=1,解得。=—1,故直线方程为

abaa

—即y=-x—1.综上，所求直线方程为y=—^x:或>=—%—1.

(2)(多选)若直线/经过点(4,-2),且/与坐标轴围成的三角形面积为2,则/的方程可

能是(CD)

A.x一厂2=0B.2x~\-y—6=0

C.x-\-y—2=0D.x+4y+4=0

【解析】易知直线/的斜率存在，故设直线/的方程为4)—2,令x=0,得y

—4k—2；令y=0,十=2,化简可

I2

得4『+3左+1=0或4后2+5左+1=0.对于方程4『+3左+1=0,zf=32—4X4X1<0,故方程

4乃+3上+1=0无解.对于方程缺2+5上+1=0,可得左=—1或左=—1.故直线/的方程为y

4

=—(X—4)—2或y=-；(x_4)-2,即x+y~2=0或x+4j+4=0.

目顿间两直线的位置关系

例2(多选)设a为实数，直线/i：ax+2ay+l=0,I2：(a—l)x—(a+l)y—4=0,则

(AB)

A.当a>0时，/i不经过第一象限

B./I〃/2的充要条件是

3

C.若则Q=—3或Q=0

D./2恒过点(2,2)

【解析】对于A,若/1经过第一象限的点P(加，n),则加>0,«>0,且a加+2a几+1

=0,但。>0,故的+2劭+1>0,矛盾，故/i不经过第一象限，故A正确.对于B,若h〃b,

则QX(—q—1尸2a(a—1),解得。=0或。=；.由直线/i：ax+2qy+1=0可得qWO,而当a

=；时，两条直线的方程分别为/i：x+2y+3=0,，2：x+2y+6=0,此时两条直线平行，a

=；符合题意，反之也成立，故B正确.对于C,若/I_L/2,则Q(Q—l)+2a(—q—1)=0,解

得〃=0或q=—3,但q不为零，故C错误.对于D,直线(Q—l)x—(a+l»—4=0可化为

x——v~~0x=—2

a(x—y)—x—y—4=0,由,.可得，即直线/2过定点(一2,—2),故

x+y+4=0,ly=-2,

D错误.

〈总结提炼A

当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一

般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一

隐含条件.

变式2若三条直线/i：4x+y=3,h：x+y=0,I3：l=2不能围成三角形，则实

数m的取值有(B)

A.2个B.3个

C.4个D.5个

4x+y=3,ix=1,

【解析】联立••解得・可知直线/1的斜率为-4,/2的斜率为一

&+y=0,b=一1，

1,且直线/1,/2的交点为(1,—1).若三条直线不能围成三角形，则直线心与直线/i或直线

/2平行，或直线/3过点(1,-1),可知直线/3的斜率存在，且为上，可得工=—4或,=—1

mmm

或1+冽=2,解得加=—,或冽=一1或冽=1,所以实数加的取值有3个.

4

目标目距离问题

例3(1)已知经过点尸(2,2)的直线/与直线办一y+l=0垂直，若点M(l，0)到直线

/的距离等于短，则。的值是(C)

A.—1B.1

2

C.2D,-

2

【解析】依题意，设直线/的方程为x+〃y+c=0.因为点尸(2,2)在/上，且点M(l,0)

户+2Q+C=0,

到直线/的距离等于茄，所以U+d=、后消去C,得。=2.

(2)若动点/,2分别在直线小x+y—7=0和8》+厂5=0上移动，则A8的中点M

到原点的距离的最小值为(A)

A.3也B.2他

C.3^3D.4/

【解析】由题意知45的中点M的集合为与直线/i：x+y—7=0的距离和与，2：x-\-y

—5=0的距离相等的直线，则〃到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所

在直线的方程为x+y+加=0,根据平行线间的距离公式得纬1=也等，解得加=—6,

即M所在直线方程为x+y—6=0.根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为

4=3也

〈总结提炼〉

使用距离公式时应注意：⑴点、P(xo,yo)到直线x=a的距离d=|xo—旬，到直线y=6

的距离d=[yo—加；(2)应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x,y的系数化为

对应相等.

变式3(1)已知直线/过点尸(3,4),且与点/(—2,2),点3(4,—2)的距离相等，则

直线/的方程为_2x—v-2=0或2x+3y—18=0_.

【解析】当直线/的斜率不存在时，/：x=3,显然不合题意，则可设直线/的方程为y

24

-4=k(x-3),即心_^+4_3左=0.由已知得L2/；土-3@」4上十二4r网,解得后=2

V1+*2

或k——所以直线I的方程为2x—y—2=0或2x+3y—18=0.

(2)若两平行直线3x-2y-l=0,6x+ay+c=0之间的距离为④叵,则*的值为±1.

13a

【解析】由题意得J,所以〃=—4,c半一？、则6x+ay+c=0可化为3x—

3—2—1

2升；=。，所以2f=W

解得c=2或c=—6,所以小“+2

1或----=1.

aa

目帧也对称问题

视角1点(或直线)关于点对称

例4-1已知直线/：2x—3»+1=0,点/(—1,-2),直线/关于点4对称的直线/，的

方程为_2x—3y—9=0.

【解析】方法一：在/：2x—3y+l=0上取两点。(1,1),2(4,3),贝UP,。关于点

4(—1,—2)的对称点P,C均在直线「上，易得P(—3,-5),2(—6,-7),由两点式可

得直线的方程为2x—3y—9=0.

方法二：由题知/〃匕所以设「的方程为2x—3快+。=0(°力1).因为点A(—l,—2)到两

|-2+6+c|।2造+“解得,

直线/,i的距离相等，所以由点到直线的距离公式，得

<3

-9,所以直线的方程为2x-3y—9=0.

视角2点关于直线对称

例4-2已知点尸在直线y=x+3上，点/(I,0),3(3,0),则|口|+|尸身的最小值为

A.A/TOB.5

C.^42D.2缶

【解析】由题知，过点4作关于直线＞=%+3的对称点C(x,歹)，取直线y=x+3上一

点尸，连接P4,PB,PC,连接8C交直线y=x+3于点尸i,连接/P,PxC,AC,如图所

『十号

x=—3

示，则有解得•’即c(—3,4).因为点/,C关于直线y=x

0Xl=—1,y=4,

X—1

+3对称，所以直线y=x+3是线段NC的垂直平分线，所以|为|=|PC|,则|以|+|尸3|=|PC|

+\PB\^\BC\,当且仅当点尸运动到点马处时1pq+1产出|=|BC|,所以(|以|+|尸8|)而n=|BC|

视角3直线关于直线对称

例4-3已知直线尔3x—%一4=0关于直线心的对称直线为y轴，则h的方程为y=

【解析】如图，由题知，直线/1交x轴于点°),交y轴于点尸(0,-1),设直线

心的方程为y=h—1,则点/关于直线心的对称点N(a,6)在y轴上，所以。=0,则"N的

2616-01

中点0〔P3，卦2〕在直线，2上，所以&一1=氯).又一；=—2②，联立①②可得4=2或左=一不

27万八49

〈总结提炼A

对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两

个条件列方程组解题.

随堂内化

1.(2024・开封二模)若直线/：-+*2=l(a>0,6>0)经过点(1,2),则直线/在x轴和夕

ab

轴上的截距之和取最小值时，@=(D)

b

A.2B.-

2

C.A/2

【解析】因为直线/：-+^=l(a>0,6>0)经过点(1,2),所以1+2=1,则〃+b=(a

abab

+6)匕+力=3+6+%3+2也当且仅当6=当即6=也。时等号成立，所以直线/在x

abab

轴和y轴上的截距之和取最小值3+2旭时，2=也.

b2

2.(2024•西安期末X多选)已知Q>0，b>0,直线/i：X+(Q—2»+1=0,Z2：bx+y~2

=0,且则下列选项中正确的是(ABD)

A.OVabWlB.

C.tz2+Z>2^2D.立+?三3

ab

【解析】因为所以b+i—2=0,q+6=2.因为。>0,b>0,所以。+622心^,

所以0VMW1,故A正确；(U+W)2=a+b+2遍W2+2=4,所以心+WW2,故B正

确；因为.+6=2,取0=1,6=3,则。2+62=1+9=w>2[或屋+，，二^一2),故©

22444

错误；。+：=3+：=2+>」*北+6)—」1+月+111」2+241_]

ababan

=3,故D正确.

3.在x轴上求一点尸，使以4(1,2),5(3,4)和尸为顶点的三角形的面积为10,则点尸

的坐标为_(9,。或(一11,0)_.

【解析】设如，。)，因为3U=1，则直线班的方程是y-2=xf即XP

+1=0,所以点尸(a,0)到直线48的距离4=叵投.又以8|=7(3—1>+(4—2)2=2/,所以

$人闻=1><|48|><4=/乂叵撰=10,解得。=9或。=—11,所以点P的坐标为(9,0)或(一

272

11,0).

4.已知两点/(—4,8),2(2,4),点。在直线y=x+l上，则|/。|+直。|的最小值为瓦.

【解析】依题意，设3(2,4)关于直线y=x+l对称的点为H(加，»),所以

4_

——],

m~2版=3

"+4m+2解得，'所以夕(3,3).如图，连接/夕交直线y=x+l于点。,

------=-------+1,山=3,

122

连接在直线y=x+l上任取点C,连接/C,BC,B'C,显然，直线y=x+l垂直平分

线段89，则有0。|+出。|=0@+|9。|2|481=M。|+|9。|=恒。|+|8。|,当且仅当点C与

。重合时取等号，所以(MC|+|3C|)mm=M8'|=y(—4—3y+(8—3)2=标,故|/C|+|8C|的最

小值为标.

(第4题答)

「温馨疆示〕

i

、____________________________________________________.__________________)

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一、单项选择题

1.(2024•岳阳三模)直线2x—3y+l=0的一个方向向量是(A)

A.(3,2)B.(2,3)

C.(3,-2)D.(2,-3)

2.若两条平行直线2x—y+3=0和ax—3y+4=0间的距离为d,则a,4分别为

(D)

B.a=­6,4=‘

A.a=6,

3

C.a=-6,d=­D.a=6,d=—

33

【解析】依题意知直线2x~y+3=0与直线ax—3歹+4=0平行，得2X(—3)—(—l)Xa

=0,解得。=6,所以两直线分别为2x—y+3=0和6x—3y+4=0,即6x—3y+9=0和6x

—3y+4=0,所以两直线间的距离d=

W+32-3,

3.(人A选必一P80Tl5)若DABCD的四条边所在直线的方程分别是/i：4y+5=0,

/2：2x+y—8=0,l3：x—4y+14=0,Z4：2x+y+l=0,则D45CQ的面积为(A)

A.9B.12

C.15D.18

【解析】如图，由/i：%—4y+5=0,Z2：2x-\-y—8=0联立得交点C(3,2)；由/i：x

—4y+5=0,Z4：2x+y+1=0联立得交点5(—1,1)；由22x~\~y—8=0,h：x—4y+14

=0联立得交点。(2,4).由点。到/i：x—4y+5=0的距离d：，\BC\=

W+(—4)217

A/(3+1)2+(2-1)2=-717,故SOABCD^BQXd=、/17Xe=9.

4.(2024•湖北八市联考)设直线/：x+yT=0,一束光线从原点。出发沿射线y=fcv(xN0)

向直线/射出，经/反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若[旗=

6

则k的值为(B)

A.-B.-

23

1

C.D.2

2

【解析】如图，设点。关于直线/的对称点为/(xi,yi),则,解

；X(—1)=—1,

X11,

得即/(I,1).由题意知y=kx(x^0)与直线/不平行，故左W—1.联立

VV11,

1

x=~,上

:=k~\~1k]-1

ykx94+J,故直线4P的斜率为自p=妇二1—

得_k即

a+y—1=0,

,―左+1’———1

k+1

直线4P的方程为y—l=1(x—1).令y=0,得x=l一无，故M(1一左，0).令x=0,得y=l

kk

—1,故由对称性可得1—由I丽=近得(1—左)2+W，即。+匕2。+

kJ"1).6365

=",解得4+1=超，或左+L=-1当先+1=超时，左=2或左=3若左=3,则第二次反射后

36k6k6k6322

光线不会与y轴相交，故不符合条件；若左=与经检验符合条件；又《+122或左2,

3kk

故什卜1不符合条件•综上，f.

(第4题答)

二、多项选择题

5.已知直线/过点P(l,2),且点/(2,3),2(4,一5)到直线/的距离相等，则/的方程

可能是(AC)

A.4x+y—6=0B.x+4y—6=0

C.3x+2y—7=0D.2x~\~3y—7=0

【解析】由条件可知直线/平行于直线45或过线段43的中点，当直线/〃班时，因

为直线的斜率为3；(；5)=_4,所以直线I的方程是y—2=—4(x—1),即4x+y—6=0；

当直线/经过线段的中点(3,—1)时，/的斜率为2；:此时/的方程是y—2

——_(x-1),即3x+2y-7=0.

6.已知直线/i：3x+2y—m=0,b：xsina—y+l=0,则(AB)

A.当机变化时，/i的倾斜角不变

B.当Q变化时，/2过定点

C./1与/2可能平行

D./1与/2不可能垂直

【解析】对于A,当机变化时，直线/i：3x+2y—加=0的斜率为仁一；，所以/i的

倾斜角不变，故A正确；对于B,直线8、5出。一》+1=0恒过定点(0,1),故B正确；

a__

对于C,假设/i与A平行，则一3=2sina,即sina=—,这与sin[―1,1]相矛盾，所

以/i与，2不可能平行，故C不正确；对于D,假设/i与/2垂直，则3sin。-2=0,即sin。

=-,所以/1与/2可能垂直，故D不正确.

3

7.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使FM=4,则称该直线为“水直线”.下

列直线是“平直线”的是(BC)

A.y=x+1B.y=2

4

C.yD.y=2x+10

【解析】设点M到直线的距离为d,对于A,d=厂0+“=3/>4,故直线上不

#+(—1)2

存在到点”的距离等于4的点，故A不符合题意；对于B,d=2<4,所以在直线上可以找

到不同的两点到点M的距离等于4,故B符合题意；对于C,d=l4X5-01=4,故直线

W+(—3)2

上存在一点到点”的距离等于4,故C符合题意；对于D,d=l2X5+10l=4^>4,故直

「2+(—

线上不存在到点”的距离等于4的点，故D不符合题意.

三、填空题

8.(2024・天津卷)若圆(x—I/+产=25的圆心与抛物线产=2.勿>0)的焦点尸重合，A

为两曲线的交点，则原点到直线N尸的距离为4.

-5-

【解析】圆(X—1)2+y=25的圆心为81,0),故2=1,即p=2.由［aTf'J25'

2怔=4x,

消去y可得N+2x—24=0,解得x=4或x=—6(舍去)，故/(4,±4),直线4F：

1),即4工一3n一4=0或4x+3y—4=0,则原点到直线/方的距离为"=£=(•

9.已知两直线/i：%—2y+4=0,12：4x+3y+5=0.若直线2ax+2y—6=0与h

不能构成三角形，则实数。=—1或:或一2.

------1------

【解析】由题意可得，①当/3〃/1时，不能构成三角形，此时。义(-2)=1X2,解得。

=-1;②当/3〃/2时，不能构成三角形，此时。><3=4X2,解得。=8；③当&过/1与b的

3

x—2v+4=0,k=-2,

交点时，不能构成三角形，此时联立/1与/2,得'‘解得•所以

4x+3y+5=0,卜=1，

与/2的交点为(-2,1),将(一2,1)代入/3,得aX(—2)+2Xl—6=0,解得。=—2.综上，

当a=-1或0或一2时，不能构成三角形.

3

10.已知点N(l,2),B(a,b),C(c,d),若/是直线/i：tzx+by+1=0和b：cx+办+

1=0的公共点，则直线BC的方程为x+2”+l=0.

【解析】由点/(I,2)在/i："+4+1=0上可知。+26+1=0.同理由点2(1,2)在4

cx+力+1=0上可知c+2d+1=0,故点、B(a,b)与C(c,tT)均满足方程x+2y+l=0.由于两

点确定一条直线，因此直线2C的方程为x+2y+l=0.

四、解答题

11.设直线小2x-y+3=0和直线&x+y+3=0的交点为尸.

(1)若直线/经过点P,且与直线x+2y+5=0垂直，求直线/的方程；

2x—v+3=0,

【解答】由，得交点P(—2,—1).由直线/与直线x+2y+5=0垂直，

%+y+3=0

则可设直线/的方程为2x—y+c=O.又直线/过点P(—2,-1),代入得2X(—2)—(—l)+c

=0,解得c=3,所以直线/的方程为2x—y+3=0.

(2)若直线m与直线x+2j+5=0关于点P对称，求直线m的方程.

【解答】方法一：由题意可得直线机与直线x+2y+5=0平行，则可设直线加的方程

为x+2y+f=0(fW5),由直线加与直线x+2y+5=0关于点尸(-2,—1)对称，可得P(—2,

—1)到两条直线的距离相等，即1,2+力=|-27+5］,解得［=5(舍去)或［=3,所以直

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线m的方程为x+2y+3=0.

方法二：设直线冽上任意一点M(x,汾，则点M关于点尸(一2,—1)对称的点为N(一4

—x,—2—y),且点N(—4—x,—2—y)在直线x+2y+5=0上，得(一4—x)+2X(—2—y)

+5=0,化简得直线机的方程为x+2y+3=0.

12.已知直线/：(2+m)x+(l—2加)y+4—3m—0.

(1)求证：不论加为何实数，直线/过定点；

@x+y+4=0,

【解答】直线/的方程转化为(2x+y+4)+机(x—2》-3)=0,令・解得

^c~2y-3=0,

x=-1

''所以无论〃?为何实数，直线/过定点(一1,-2)