2024-2025学年云南“美美与共”民族中学联盟高一下学期联考（二）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（二）数学试卷一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知得，所以，故选：B.2.若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因为是方程的一个根，则，即，则，所以，所以方程为，所以方程的根为，所以方程的另外一个根为，故选：A.3.设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，因为，所以，解得，故选：B.4.在中，，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】在中，，即，化简得，解得或（不合题意，舍去），，故选：C.5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，正确的是（）A.若，，，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】对于A，如图，当时，异面，所以A错误，对于B，如图，当时，，所以B错误，对于C，如图，当时，，所以C错误，对于D，如图设，在内作，因为，所以，因为，所以∥，因为，所以，所以，所以D正确.故选：D.6.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为在上递增，且，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，因为，所以，所以，故选：C.7.定义在上的奇函数满足，.当时，，则（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】由，得，即，因为为奇函数，所以，所以，所以所以的周期，所以.因为为上的奇函数，所以，因为当时，，所以，由，当时，所以.故选：D.8.已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】不等式对于一切实数恒成立，且，，.，使成立，，，，当且仅当，即时等号成立.故选：D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则（）A.B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AD【解析】由，得，对于A，，故A正确；对于B，的虚部为，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确，故选：AD.10.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.点，与向量共线的单位向量为B.非零向量和满足，则与的夹角的余弦值为C.已知向量，若向量与的夹角为锐角，则且D.向量，则在上的投影向量的坐标为【答案】BCD【解析】对于A，因为，则，所以与向量共线的单位向量为，故A错误；对于B，因为，所以，则，化简得，所以，即.又，所以，故B正确；对于C，由已知的且与不共线，所以且，故C正确；对于D，因为，所以在上的投影向量的坐标为，故D正确，故选：BCD.11.如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（）A.点到平面的距离为B.C.直线与直线所成的角的正弦值为D.四棱锥的外接球半径为【答案】ACD【解析】A选项，如图1所示，作，交于，延长交于，连接，则，故为二面角的平面角，故，因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面，在平面中作，交于点，由面面垂直的性质可知平面，故的长即为点到平面的距离，在正三角形中，，，故A正确；B选项，为边的中点，故，因为平面，平面，所以，又，，平面，故平面，因为平面，所以，因为，，故为等边三角形，故，在中，，由勾股定理得，则，由勾股定理逆定理得与不垂直，故B错误；C选项，连接，易得，，就是直线与所成的角，，故，所以，故C正确；D选项，易得，故为底面梯形的外接圆的圆心，设四棱锥的外接球的球心为，则平面，且.若在平面的上方，如图1所示：设，外接球的半径为，过作的垂线，垂足为，则，易得，解得，舍去；故在平面的下方，如图2所示：设，外接球的半径为，过作的垂线，垂足为，则，易得，解得，，故D正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设与的夹角为，则__________.【答案】【解析】由题意知，又，所以，展开得，即，解得.故答案为：.13.某圆台的上、下底面面积分别为，，圆台母线长为4，则此圆台的体积为__________.【答案】【解析】如图所示.∵圆台的上、下底面面积分别为，，∴圆台的上底面半径，下底面半径，过点作于点，∴，.∵圆台母线长为4，∴.∴圆台得高，∴圆台的体积.故答案为：.14.对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有4个零点，则取值范围为__________.【答案】【解析】由，作出它们的图象，如图所示，则，作图如图，令，即，由图象可知，当时，与有4个交点，故有4个零点，故的取值范围为.故答案为：四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在中，.（1）用表示；（2）若点满足，证明：三点共线.解：（1）因为，所以，所以.同理，所以.（2）由，可得.又，所以，又因为有公共点，所以三点共线.16.若.（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）若当时，的最小值为2，求的值.解：（1），函数的最小正周期.令，解得，的单调增区间是.（2），.当，即时，函数取得最小值，.17.在中，角所对的边分别为，若.（1）求角；（2）若，且的面积为，求的周长.解：（1），其中，，由正弦定理得，，.，∴；（2），.又，，.的周长为.18.在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.解：（1）如图，取的中点为，连接，则.又平面平面，所以平面.同理可证平面，因为，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.（2）平面与平面垂直.证明如下：因为底面底面，所以.由题意知为直角三角形且，所以.又平面，所以平面.又平面，所以.因为为的中点，所以.又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.19.如图.，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.（1）若向量的“完美坐标”为，求；（2）已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：；（3）若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域.（1）解：因为的“完美坐标”为.则.又因为分别为正方向上的单位向量，且夹角成，所以，则.故.（2）证明：由（1）知，，所以.（3）因为向量的“完美坐标”分别为，，由（2）得.令，则.因为，所以，即.令.因为的图象是对称轴为开口向上的抛物线的一部分，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的值域为.云南“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（二）数学试卷一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知得，所以，故选：B.2.若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因为是方程的一个根，则，即，则，所以，所以方程为，所以方程的根为，所以方程的另外一个根为，故选：A.3.设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，因为，所以，解得，故选：B.4.在中，，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】在中，，即，化简得，解得或（不合题意，舍去），，故选：C.5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，正确的是（）A.若，，，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】对于A，如图，当时，异面，所以A错误，对于B，如图，当时，，所以B错误，对于C，如图，当时，，所以C错误，对于D，如图设，在内作，因为，所以，因为，所以∥，因为，所以，所以，所以D正确.故选：D.6.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为在上递增，且，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，因为，所以，所以，故选：C.7.定义在上的奇函数满足，.当时，，则（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】由，得，即，因为为奇函数，所以，所以，所以所以的周期，所以.因为为上的奇函数，所以，因为当时，，所以，由，当时，所以.故选：D.8.已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】不等式对于一切实数恒成立，且，，.，使成立，，，，当且仅当，即时等号成立.故选：D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则（）A.B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AD【解析】由，得，对于A，，故A正确；对于B，的虚部为，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确，故选：AD.10.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.点，与向量共线的单位向量为B.非零向量和满足，则与的夹角的余弦值为C.已知向量，若向量与的夹角为锐角，则且D.向量，则在上的投影向量的坐标为【答案】BCD【解析】对于A，因为，则，所以与向量共线的单位向量为，故A错误；对于B，因为，所以，则，化简得，所以，即.又，所以，故B正确；对于C，由已知的且与不共线，所以且，故C正确；对于D，因为，所以在上的投影向量的坐标为，故D正确，故选：BCD.11.如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（）A.点到平面的距离为B.C.直线与直线所成的角的正弦值为D.四棱锥的外接球半径为【答案】ACD【解析】A选项，如图1所示，作，交于，延长交于，连接，则，故为二面角的平面角，故，因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面，在平面中作，交于点，由面面垂直的性质可知平面，故的长即为点到平面的距离，在正三角形中，，，故A正确；B选项，为边的中点，故，因为平面，平面，所以，又，，平面，故平面，因为平面，所以，因为，，故为等边三角形，故，在中，，由勾股定理得，则，由勾股定理逆定理得与不垂直，故B错误；C选项，连接，易得，，就是直线与所成的角，，故，所以，故C正确；D选项，易得，故为底面梯形的外接圆的圆心，设四棱锥的外接球的球心为，则平面，且.若在平面的上方，如图1所示：设，外接球的半径为，过作的垂线，垂足为，则，易得，解得，舍去；故在平面的下方，如图2所示：设，外接球的半径为，过作的垂线，垂足为，则，易得，解得，，故D正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设与的夹角为，则__________.【答案】【解析】由题意知，又，所以，展开得，即，解得.故答案为：.13.某圆台的上、下底面面积分别为，，圆台母线长为4，则此圆台的体积为__________.【答案】【解析】如图所示.∵圆台的上、下底面面积分别为，，∴圆台的上底面半径，下底面半径，过点作于点，∴，.∵圆台母线长为4，∴.∴圆台得高，∴圆台的体积.故答案为：.14.对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有4个零点，则取值范围为__________.【答案】【解析】由，作出它们的图象，如图所示，则，作图如图，令，即，由图象可知，当时，与有4个交点，故有4个零点，故的取值范围为.故答案为：四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在中，.（1）用表示；（2）若点满足，证明：三点共线.解：（1）因为，所以，所以.同理，所以.（2）由，可得.又，所以，又因为有公共点，所以三点共线.16.若.（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）若当时，的最小值为2，求的值.解：（1），函数的最小正周期.令，解得，的单调增区间是.（2），.当，即时，函数取得最小值，.17.在中，角所对的边分别为，若.（1）求角；（2）若，且的面积为，求的周长.解：（1），其中，，由正