江苏省某中学2024-2025学年高一年级下册6月检测数学试题

江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期6月检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知平面向量a=(3,-2),Z?=(1,2+1),若a_L6，贝()

D.二

A.1B.--C.

2332

2.若复数z满足(l+2i)z=5i,则口=()

「V5

A.5B.加D.1

5

3.若一组数据为,马，…,x”的平均值元=5,方差S?=32,若删去一个数之后，平均值没有改

变，方差变为40,则这组数据的个数鼠=()

A.5B.6C.7D.8

4.如图，下列正方体中，M,N,P,。分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线

MN和尸。为异面直线的是()

5.已知点4-1，-1),8(2,_2)9(0,1),则向量45在向量4(7方向上的投影的坐标为()

D.(1,2)

6.某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1

名女生的概率为（)

1345

A.-B.-C.D.-

5576

71cosf—+6/>1=-£2)=走.则&-〃的值为（

7.已知0<a<一,—,cos]

2(4)3、42；3

71713兀713.3兀

A.-B.-C.D.一或一

42T44

8.在VABC中，分别为内角A,B,C所对的边，已知acosC+/asinC-6-c=0.设。为

边BC上一点,若AD=币，且竺=与，则VASC面积的最小值为（）

CDb

A.26B.3^/3C.46D.673

二、多选题

9.已知Z，Z2都是复数，则下列命题正确的是（）

A.若Zi+Zz^R,则Z]=NB.若z；+z；=O,则团=闾

C.若Z2=7，则z/Z2=lD.若则z/Z2=1，

10.已知等边三角形ABC的边长为2,BD=ABC，CE=2CA（0<2<1）,AD交BE于点、M,

则下列说法正确的是（）

1I2

A.若4二一，贝！JAD=—AC+—A3

333

B.若M4+M5+MC=0，贝（）2=心

27

c.若则=—§

2

D.若2=则M■为AD的中点

11.在底面是菱形的四棱锥尸—ABCD中，ZABC=60,PA=AC=a,PB=PDfa，

点E在尸。上，且PE:£D=2:1,点尸是棱PC的动点，则下列说法正确的是（）

试卷第2页，共4页

p

A.AFLBD

B.三棱锥尸-AEC的体积为走〃

36

C.当尸是棱PC的中点时，BF/mAEC

D.直线所与平面PAC所成的角的正切值最大为"

三、填空题

12.已知向量A3=（l,2）,BC=（3,m）,AD=（—1,2相），若A,C,。三点共线，贝打力=.

13.己知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6.现甲、乙各随机出示一

张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为.

14.已知锐角三角形中，内角AB,C的对边分别为。，b,c,若si/B+sin2c=4sii?A,

feinA=sinB+sinC,则实数上的取值范围是.

四、解答题

15.已知向量。=（一3,1）,Z?=（1,-2）,m=a+kb,其中kER.

⑴求〃•。及向量a，力夹角的余弦值；

⑵若向量。=（1,-1）,且向量机与向量姑+e平行，求实数%的值.

16.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别是〃，b,c,若b=3,c=4,C=2民且a手b.

⑴求cosB；

⑵求。的值；

⑶求sin[2B-?]的值.

17.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在

[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一〜五组

区间分别为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[40,45]).

(1)求选取的市民年龄在［40,45］内的人数；

(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；

(3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作

重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在［35,40)内的概率.

18.如图，三棱锥A-BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，CD=243,平面ABD,

平面BCD,AD±CD,P,M分别为AD,CD的中点.

⑴证明：平面AC。；

⑵求MP与平面BPC所成角的余弦值；

(3)求二面角P-。的正弦值.

19.定义函数/(%)=侬也*+力85彳的“源向量，为0"=(根,”),非零向量=的"伴

随函数“为/(x)=msinx+〃cosx,其中O为坐标原点.

⑴若向量=的“伴随函数”为“X),且求了,-5的值；

(2)在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,6,c,若函数人(力的“源向量”为OM=(0,l),

且已知a=6,力(4)=；，求A3+AC—AaAC的取值范围.

试卷第4页，共4页

《江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期6月检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABADCCAABCAB

题号11

答案ACD

1.A

【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出九

【详解】向量a=(3,-2),。=(1,2+1),由a'b，得°/=3-2(4+1)=0,

所以/=

故选：A

2.B

【分析】根据复数的运算法则，求得z=2+i,得到1=2-i，结合复数模的计算公式，即可

求解.

/、5i5i(l-2i)

【详解】由(l+21)z=5i,可得z=-]]+2：川二)=2+】，

所以』=2-i，所以同=6+(一1)2=卮

故选：B.

3.A

【分析】由题意得到删除的数为5,再利用方差公式求解.

【详解】由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5,

由题意/=!£(尤,-5)2=32,得£&-5)2=32〃,

〃Z=11=1

删除一个数后的方差为：£(^,.-5)2-(5-5)2=40,

得到=40,即“=5.

n-1

故选：A.

4.D

【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断.

【详解】对于A,如图，PQIICDIIABIIMN,M,N,P,Q四点共面，A不是；

答案第1页，共14页

对于B,如图，MP//GH//EF//NQ,MN,P,0四点共面，B不是;

对于C,如图，MP//KL//NQ,四点共面，C不是;

对于D,如图，尸Qe平面色尸。，N任平面反尸。，A/e平面MPQ,Mg直线尸2,

则MN与尸。是异面直线，D是.

M

N

故选：D

5.C

【分析】根据向量坐标运算法则求得AB,AC,利用投影向量的定义求解即可.

【详解】因为A(T-l),B(2,-2),C(0,l),可得AB=(3,—1),AC=(1,2),

AC3xl-lx2Io/[2]

则向量"在向量AC方向上的投影为国二南于『

答案第2页，共14页

故选：c.

6.C

【分析】根据古典概型利用组合进行求解公式.

C314

【详解】^=1-^=1--=-.

故选：C.

7.A

【分析】由同角的三角函数的关系及两角差的正弦、余弦公式、二倍角公式计算求解即可.

.、在c兀rr,l兀兀3兀（71\1

【详解】0<a<~,则一<。+7cos-+a=-,

.(71171(71A.71

则sina—sin=sin—+crcos—cos—+asin—

U)4U)4

20y/21VI4-0

----------X----------------X--------=----------------

32326

71「兀、兀.「兀、.兀

C3COS互+C—=cos—+acos—+sin—+asin—

U4j(4^4UJ4

1V22yf2垃4+72

——x---1----x--------,

32326

又q＜夕＜o,c°sg一£|=g,

sin/?=cosj^-|-^=2cos2^-^-l=-1,

贝Ucos尸=Jl-sin2==2f,

4+V22V24-V2

/.cos(a一切=cosacosjS+sinasin/=------1

6---3---------6

7TjrTT

又0<a<］且一5</<0,则Ova—/<兀，:.a-f3=^.

故选：A.

8.A

【分析】根据已知条件恒等式，求得A=1,然后设ABAD=6（0<6<弓），则ACAD=：-。,

答案第3页，共14页

SBD2cl

利用面积关系1mARn=7范可以得到2sinO=V§cos。，从而求得tan。；再利用面积关系

SABC=SAM+SACD可以得到历=2c+b,再利用基本不等式求出be的取值范围，再根据面

积公式计算可得.

【详解】由正弦定理可得sinAcosC+百sinAsinC-sin5-sinC=0,

又sin5=sin(兀一A—C)=sin(A+C)

由两角和正弦公式可得，A/3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0,

又C£(0,兀)，所以sinC>0,所以百sinA-cosA-1=0,

即sin.3=；,

又Ae(O,7i),所以所以人一^二?即A=g

6166J663

设n3Ao=e(o<e<》则NCAO.—e,

*.*AD=V7,BD:DC=2c:b,

-ADBDsinZADB

°ABD2________________BD2c

q=~CD~~b

°ACD-ADCDsinZADC

2

一xJ7csin。

2c

即L2-------彳一：

~b化简得2sin6=A/§COS。，即tan。=，

-xV7-Z7•sinIj-2

又,面1"cos。2,解得sin6=立^或sin6=-g^(舍去),

sin2^+cos2^=l

所以5111怎一。="叵,

214

又SABC=SABD+SACD，

LL,.1J.7114c.八l/CT•，兀z-1|

所以一Asm—=—A£)・csm8+—A。•加in——0,

2322\,3)

gp^-bc=A/7xc+y/lx^^-b9be=2c+b>2s]2cb»

2714

答案第4页，共14页

所以6c28,当且仅当2c=6=4时取等号,

所以SMe=；bcsin]=22石，即ABC面积的最小值为2g.

故选：A

9.BC

【分析】对于选项A,举反例即可求得结果；对于选项B：设出复数4=，+历，z2=c+di,

根据z；+z；=O,列出等式即可求得结果；对于选项C：根据题干列出等式再计算即可判断;

对于选项D：举反例即可；

【详解】对于选项A：设4=l+i,z2=2-i,显然满足4+Z2£R，但马Hz2,A错误；

对于选项B：设+厉，z2=c+ch(a,b,c,deR),由z；+z；=O,

得(Q+Z?i)2+(c+di)?=09所以/—d?+2(tz/?+cd)i=0,

a2+c2-b2-d2=0,

当bwO,dwO时，设q=-'=%,

ab+cd=0.db

则左2/12=o,所以依2Td+/)=o,解得左=±1，

22

所以㈤=，？+o2,\z2\=yjc+d,则卜卜㈤；当4=0时，贝!j〃=0或6=0,

若a=0,则卜|二网，则㈤=阂,若b=0,则々=。=0,则㈤=区|,因此㈤二㈤,B正确；

对于选项C：设4=。+历，z2=c+ch(a,b,c,deR),

—1

由z?-—得(a+0i)(c-di)=ac+Z?d+(Z?c-ad)i=1,^ac+bd=l,bc-ad=0,

Z]

而马乌=(a-帅(c+di)=ac+bd-(be-ad)i=1,故C正确；

对于选项D:取4=i,z2=z2=1,满足团=同，所以z/Z2=-i/=-i,=1,则％.z2Tzj,

D错误.

故选：BC

10.AB

【分析】结合图形，由向量的加法法则可得A正确；由三角形重心的向量表示可得B正确；

结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律以及数量积的定义可得C错误；由向量的

加法法则结合三点共线的性质可得D错误.

答案第5页，共14页

1112

【详解】对于A,当2=1时，AD=AB+BD=AB+-(AC-AB)^-AC+-AB,故A项正

确；

对于B,由++=知此时Af为VABC的重心，所以。，E分别是BC和AC的

中点,

所以％=g，故B项正确；

2211

对于C,当2=§时，AD=AB+BD=-AC+-AB,BE=AE-AB=-AC-AB

7-251-214

则=--ABAC--AB故C项错误；

对于D,当=g时，^AM=kAD=k^AC+^AB^=k^2AE+^AB^=2kAE+^AB,

k31

由8,M,E三点共线，得2%+：=l,解得左故D项错误.

故选：AB.

11.ACD

【分析】证明出2平面PAC,利用线面垂直的性质可判断A选项；利用锥体的体积可

判断B选项；证明出平面3R0〃平面ACE,结合面面平行的性质可判断C选项；利用线面

角的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为四边形ABCD为菱形，则3OLAC,

因为R4=AC=a,PB=PD=42a>ZABC=60,故VABC为等边三角形，

所以，AB=AD=a,贝!J+74g2=依2,故同理可得R4J_AD,

因为ABcA£)=A,AB,ADu平面ABC。，所以PA_L平面ABCD,

因为班>u平面ABC。，所以

因为PAAC=A,PA,ACu平面PAC,所以BD2平面PAC,

因为AFu平面尸AC,故SC,A对；

2

对于B选项，易知ACD为等边三角形，S^ACD=^-a,

答案第6页，共14页

因为点E在上，且尸石:血=2:1,则

x

故/r—/A±FClC^=—3%r—A4lc^Lo)=—3X—3&ZMAAACZDy'PA=—9~4~Xd=—]8—，B错；

对于C选项，连接8。交AC于点0,连接OE,取线段PE的中点M,连接9、BM,

因为四边形ABC。为菱形，ACBD=O,则。为BO的中点，

因为点E在尸。上，且尸E:£D=2:1,M为PE的中点，贝!|尸加=皿£=£0,

所以E为DM的中点，所以OE//BM,

因为9/0平面ACE,OEu平面ACE,所以〃平面ACE,

因为歹为尸C的中点，M为尸E的中点，所以MF//CE,

因为W平面ACE,CEu平面ACE,所以小小〃平面ACE,

因为BMMF=M,BM、平面BFW,所以平面3EM7/平面ACE,

因为族u平面班加，故3尸〃平面ACE,C对；

对于D选项，如下图所示：

由A选项可知，301平面尸4S,所以直线8尸与平面PAC所成角为ZBFO,

因为OFu平面尸AC,所以BOJ_O尸，则tan/BR9=空，

OF

因为VA3C是边长为a的等边三角形，故OB=A2sin60=^-a,

2

因为上4_L平面ABCD,ACu平面ABCD,所以上4_LAC,

又因为R4=AC=a,故R4c为等腰直角三角形，则ZACP=45,

当MLPC时，0/取最小值，且最小值为OCsin45=-x—=^a,

224

此时，tan/B/。取最大值，且最大值为（tan/MO）,=—x-^=V6,D对.

212a

故选：ACD.

2

12.-

【分析】首先表示出AC，依题意AD//AC，根据向量共线的坐标表示计算可得.

答案第7页，共14页

【详解】因为AB=(1,2),BC=(3,m),AD(-1,2m),

所以AC=AB+=（1,2）+（3,〃z）=（4,2+m）,

又A,C,。三点共线，BPADIIAC，

2

所以4x2帆=-lx（2+m）,解得加=—§.

2

故答案为：

13.-

6

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】甲、乙各随机出示一张卡片有（U）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,

（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,

（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,

（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共6x6=36个基本事

件，

甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的有。,4）,（2,5）,（3,6）,（4,1）,（5,2）,（6,3）

共6个基本事件，

故甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率尸=三=！.

故答案为：—.

0

14_

I2」

【分析】利用正弦定理得廿+C?=4",即A不是最大角，不妨设62c,得〃</+,6<a+c,

设0=2cos。，£=2sin。，解得sin。的范围，又％=2（sin6+cos。），利用三角函数即可求解.

aa

【详解】因为sir?B+sin2c=4sin2A,由正弦定理得加十廿=而2,

所以A不是最大角，不妨设Z?之c,则。2<〃2+C2,b<a+c,

答案第8页，共14页

b〉c

aa

hc

所以设—=2cos。,—=2sin6,

cos^>sin^>0

2cos8>1,解得中〈sin”,,

所以

2cos6<l+2sin6

4cos2。<l+4sin2^

假设sin%=手，所以,

7sinBsinCbc_.„八、、大.（八兀、

-又因k=-------1-------=—I—=2（zsin。+cos。）=25/2sin|0H—,

sinAsinAaaI4J

又因为Oe，弓，所以"+：£,。+：仁，

所以左=20sin[e+：]在上单调递增，所以"峡20

故答案为:息巫,2亚

15.⑴分6=-5，cos(^a,b^=~~~

【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案；

（2）利用向量平行的坐标表示可求答案.

【详解】（1）由已知，得〃2=_3_2=_5,|H=Ji^，W=J^.

所以向量“，。夹角的余弦值为cos«⑷=丽=比不二后=一飞

（2）由已知，得防+△=左（1,—2）+（1,—1）=（左+1,—2左一1）,

又向量机与向量的+。平行，机=（4-3,-2左+1）,

所以（女—3）（—2女—1）—（—2k+1）（左+1）=0,

答案第9页，共14页

整理可得弘+1=0,解得％=-；.

16.(l)cosB=j

7

(2)a=-

4A/10+V2

3J

18

【分析】(1)由题意可得出sinC=sin2B,再由正弦定理和二倍角的正弦公式求解即可;

(2)由余弦定理可得3a2_16〃+21=0,解方程即可得出答案;

(3)利用同角的正余弦公式可求得sinB,再求得sin25,cos25,进而利用两角差的正弦公

式可求得sin(25

【详解】(1)因为C=25,所以sinC=sin2B=2sin3cos民

c42

由正弦定理可得：c=2bcosB所以COS3=9=——=-.

2b2x33

a2+c2-b2+16-9〃？+7

(2)由余弦定理可得:cosB=—=

3lac2a,48a

7

所以3片-16Q+21=0,解得：〃或i=3,

7

因为〃w4所以〃=§.

(3)因为cos2==,所以所以sin8=Jl-cos?8=好,

3<2；3

,ORo-pR。非24A/5

sin2B=2sinBcosB=2x——x—=-----，

339

cos2B=2cos?i5=2x|—j-1=—，

⑺9

所以sin(2B_3=sin23cos三一==

(4)4492(9)218

17.(1)20

⑵平均数32.25;第80百分位数37.5

⑶工

10

【分析】(1)根据频率分布直方图，先求出年龄在［40,45］内的频率，再求出频数；

(2)根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左

侧面积为0.8的线所对应的值；

答案第10页，共14页

（3）先确定从第3,4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可.

【详解】（1）（1）由题意可知，年龄在［40,45］内的频率为尸=0.02x5=0.1,

故年龄在［40,45］内的市民人数为200x0.1=20.

（2）（2）平均数为

22.5x0.01x5+27.5x0.07x5+32.5x0.06x5+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=32.25

32.25;

前三组的频率和为0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7,

第四组的频率为0.04x5=0.2,所以第80百分位数在第四组，

第80百分位数为35+耳*5=37.5.

0.2

（3）（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20,且频率之比为3:2,

所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，

所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.

记第3组的3名分别为A，4,4,第4组的2名分别为瓦，B2,则从5名中选取2名作

重点发言的所有情况为（4,4），（4,A），（A，耳），（4心），（4,4）,（4,4）,（4也），

（4,4）,（45），（4，月），共有1。种.

其中第4组的2名九当至少有一名被选中的有：（A，耳），（4也），（4,耳），（4,不），

（4，4）,（4也），（4也），共有7种，

所以至少有一人的年龄在［35,40）内的概率为由.

【点睛】（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数

和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的.（2）用列举法求古典概型，是一个形

象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏.（3）注意一次性抽取

与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.

18.（1）证明见解析

⑵也

26

⑶手

4

【分析】（1）如图，易知AELBD,根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得AE_LCD,

答案第11页，共14页

利用线面垂直的判定定理与性质可得结合CD,3尸和线面垂直的判定定理即可

证明；

(2)如图，确定/MPC为与平面BPC所成的角.在△CPM中，利用勾股定理和余弦定

理计算即可求解；

(3)由(1),根据线面垂直的性质与判定定理确定/PGO为二面角的平面角，

利用等面积法和正弦定理计算即可求解.

【详解】(1)取8。中点E,连接AE.

因为△板)是等边三角形，所以

因为平面AB£>_L平面38,平面ABDc平面3CD=3D,AEu平面ASD,

所以AEJL平面BCD,又CDu平面BCD,所以AE_LCD.

又因为CZ)_LAr),ADr>AE=A,AD,AEu平面ABD,

所以CD_L平面AB。，而3Pu平面ABD,所以CD_L8P.

因为尸为A£>的中点，所以3P_LAD,

又CDAD=D,CD,ADu平面AC。，

所以3P_L平面ACZX

(2)过点Af作Aff/LPC,垂足为H.

因为3P_L平面ACD,Afffu平面ACD,所以BP上MH,

又BPPC=P,BP,PCu平面3PC,所以Aff/L平面3PC,

所以/MFC为MP与平面BPC所成的角.

因为AD_LC£>,MD=CM=-CD=43,PD=-AD=\,

22

所以PM=JftD?+MD?=JT+=2,PC=SJPD。+CD。=「+仅@2=713,

在ACPM中，由余弦定理得cos/MPC=PC?+PM?-CM?=(呵+2?(@=7^3,

2PCPM2xV13x226

所以MP与平面BPC所成角的余弦值为迤.

26

(3)取£»的中点0,连接尸O,易知尸O〃AE,PO=-AE=—,

22

过点尸作PG_L3M,垂足为G,连接OG.

由(1)知，AE_L平面88,所以尸O_L平面BCD

又OG,BMu平面BCD,所以尸O_L3M,POLOG.