二次函数的应用（九大题型）（分层练习）

第1章二次函数

1.4二次函数的应用（九大题型）

分层练习

基础练

题型目录

考查题型一图形问题

考查题型二图形运动问题

考查题型三拱桥问题

考查题型四销售问题

考查题型五投球问题

考查题型六喷水问题

考查题型七增长率问题

考查题型八其他问题

考查题型九二次函数的综合

考查题型一图形问题

1.（2022秋•安徽阜阳•九年级校考期中）如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用60米长的铁栅栏围成了三个

相连的养殖小院子，总面积为y平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了1米宽

的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设=x米，则V关于X的函数关系式

为（）

//〃/〃〃/////〃/〃〃〃//〃/

A

B

A.y=x(60-4x)B.y=x(63-2x)

C.y=x(60-2x)D.y=x(63-4x)

【答案】D

【分析】如图所示（见详解），设米，则可求出8。的长，根据矩形的面枳公式即川-求解.

【详解】解：如图所示，

〃〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃〃/〃

IID

B―।――।—c

设48=x米，贝ij8C=60—2x—2(工一1)+1=63—4x,

又小院子的总面积为y,

/.y=x(63-4x),

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数的运用，理解图形面积的计算方法，掌握数量关系，准确列出函数关系式

是解题的关键.

2.(2023•天津•统考中考真题)如图，要围一个矩形菜园ABCD,共中一边力。是墙，且AD的长不能超过26m,

其余的三边力民8。,。。用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：

①的长可以为6m；

②44的长有两个不同的值满足菜园4BCO面积为192m2；

③菜园面积的最大值为20Dn?.

其中，正确结论的个数是()

/〃////////////////〃/

AD

菜园

鸟!-------------------------1c

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】设44的长为加，矩形48。的面积为Ji/,则4C的长为(40-2x)m,根据矩形的面积公式列二

次函数解析式，再分别根据的长不能超过26m,二次函数的最值，解一元二次方程求解即可.

【详解】设48的长为xm,矩形44CO的面积为vn?,则8c的长为(40-2x)m,由题意得

y=x(40-2x)=-2x2+40,r=-2(x-10)2+200,

其中0<40-2X426,KP7<X<20,

①力〃的长不可以为6m,原说法错误：

③菜园/8C。面积的最大值为200m2,原说法正确；

②当卜二一2。-10y+200=192时，解得x=8或x=12,

・••48的长有两个不同的值满足菜园4次第面枳为192m2,说法正确;

综上，正确结论的个数是2个，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关

键.

3.(2023・上海•九年级假期作业)如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪

去宽为x厘米(x<6)的纸条，则剩余部分(图中阴影部分)的面积，关于x的函数关系式为

【答案】〉=/-14工+48(0<%<6)

【分析】阴影部分的长方形的的长为(8-x)cm,宽为(6-x)cm,然后根据长方形的面积公式即可求解.

【详解】阴影部分的长方形的的长为(8-x)cm,宽为(6-x)cm,

所以面积V=(8-x)(6-x)=V-14x+48(0<x〈6).

【点睛】本题考查了利用长方形的面枳公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解

决问题的关键.

4.(2023・四川成都•统考二模)如图是某小区大门上方拱形示意图，其形状为抛物线，测得拱形水平横梁宽

度为8m,拱高为2m,在五一节到来之际，拟在该拱形上悬挂灯笼(高度为1m),要求相邻两盏灯笼的水

平间距均为1m,挂满后不擦横梁且成轴对称分布，则最多可以悬挂个灯笼.

【答案】6

【分析】以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：y=结合图象求

出抛物线解析式为：y=-1x2,当y=-l时，可得x=±2啦，如图，CD=2V2-(-2V2)=4V25.7m,问

题随之得解.

【详解】如图，以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：

根据题意可知：力（4,-2）,

将4（4,一2）代入^=奴2中，有-2=4x4、

解得：

O

则抛物线解析式为：y=-1x2,

O

当y=T时，y=-^-x:=-1,解得：x=±272>

8

如图，CD=2V2-（-2V2）=4>/2«5.7m,

•・•相邻两盏灯笼的水平间距均为1m,且按轴对称的方式摆放，

・•・共计最多可以挂6盏灯笼，

故答案为：6.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，构造合适的直角坐标系，求出二次函数的解析式，是解答本题的关

键.

5.（2023春•广东广州•九年级统考开学考试）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚,

⑴如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边8c长为。m,求鸡棚与墙垂直的一边4B的长（用含。的式子表示）

⑵设鸡棚与墙垂直的一边48的长为xm,求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值

范围

⑶试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2,若可以，求出此时4?的长，若不行，请说明理由.

【答案】（1）力〃

(2)$=-2X2+40X»7.5<X<20

⑶这个矩形鸡棚的面积S不能等二250m2

【分析】(1)根据题意可直接进行求解；

(2)由题意可知40=(40-2x)m,然后根据矩形面积可进行求解；

(3)由(2)及根据一元二次方程根的判别式可进行求解.

40-67(1、

【详解】(1)解：由题意得：^=^-=l20--67jm：

(2)解：由题意得：S=X(40-2X)=-2X2+40X,

V0<40-2x^25,

・•・7.5^x<20；

(3)解：由(2)可欠口：一2/十403=250，

化简得一一20.丫+125=0，

VA=/?2-4ac=400-4x125=-100<0，

,该方程无实数解，

即这个矩形鸡棚的面积S不能等于250mL

【点睛】本题主要考杳一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用及二次函数

的应用是解题的关键.

考查题型二图形运动问题

1.(2023•黑龙江齐齐哈尔•统考一模)如图，在中，/彳=60。，4c=48=2,点P,。分别从点8和

点C同时出发，以相同的速度沿射线C8向左匀速运动，过点P作夕HJ.4C,垂足为〃，连接设点P

运动的距离为x(0<xK2),AC"。的面枳为S,则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为()

P

BQ

ss

【答案】A

【分析】过点〃作。“JL5C于点。，根据题意可得ABC是等边三角形，从而得到C尸=8C+8P=2+x,

NCHD=30。,然后根据直角三角形的性质可得C〃=gw=等，DH=；PH=*（2+x）.再根据三角

形的面积公式可得S与x之间的函数关系式，即可求解.

【详解】解：如图，过点”作。HJ.BC于点。,

A

VZJ=60°,AC=AB=2,

・•・是等边三角形，

AZC=60°,BC=AB=2,

：.CP=BC+BP=2+x,NC〃Q=300,

*：PH1AC,即//WC=90。，

:.ZP=30°,

.•Ogp二等

，PH=\ICP2-CH2=

，=、

DHPH=x),

2

S=gDHxCQ=gx?(2+x)x=个x?+—^x(0<x

・・・s与》之间的函数关系的图象为抛物线的一部分，且开口向匕

故选：A

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的图象，根据题意准确

得到S与工之间的函数关系式是解题的关键.

2.（2023秋•河南郑州•九年级校考期木）如图①，在Rt△川中，=90°,Z/1=30°,点P是月8边

上一动点，过点?作。。/48,交边4。（或8C）于点Q.设/P=x,△力尸。的面积为V,如图②是V与

》的函数关系的大致图像，则8c的长为（）

图①图②

C.4734石

"T"

【答案】D

【分析】先确定y与x的函数关系式，判断△/尸。的面积与力。的关系，分类讨论：点。在/c上时，点。在

8c上时，点。在点C上时，由此即可求解.

【详解】解：在中，ZACB=90°.ZA=30°,AP=x.

2x=袅X，

・•・△力夕。的面积为夕=54尸・夕0=5；^

当y=2有时，近一=2百，则再=-26（舍去），xS

，当x=2G时，。0=^x26=2,

当点。从点A到点C时，△力尸。的面积随的增大而增大;

当点Q从点、C到点8时，如图所示,

^BPQ=90°,

.•・N3QP=30。，BP=AB-x,

，P0=^（”7），

&PQ的面积J，=；ABPQ-1PBPQ=^PQ（AB-PB）=^PQx,此时V随x的增大而减小,

・•・当点。到点C处，△♦尸。的面积最大，且「。;PC=2,如图所示，

・••在RtaBCP中，ZB=60°,/BPC=90。,Z5CP=30°,

•__2734x/3

33

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角形与动点问题，理解动点运动图像的变换，结合面积图像的最大值是解题的关

键.

3.（2022春•九年级课时练习）在线段4G上取点C,分别以8C、CG为边在8G的同一侧构造正方形/4C。

和正方形ECG尸，点P、。分别是8C、E广的中点,连接?。，若8G=8,则线段尸。的最小值为

【答案】4

【分析】过点。作。垂足为〃，求出物,设CG=2九利用勾股定理表示出「。，根据x的值即

可求出外?的最小值.

【详解】解：如图，过点。作0H~L8G,垂足为从则，为CG中点,

AG=8,

/.PII=4,

设CG=2x,则C〃=HG=EQ=X,Q〃=2x,

PQ=yjPH2+QH2=^42+(2X)：=V16+4x2，

则当x=0时，尸。最小，最小值为4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出尸。的长.

4.(2022秋•贵州黔东南•九年级校考阶段练习)如图，抛物线二夕工-2『+1的顶点为点P,点0是该抛物

线上一点，若将抛物线y=g(x-2)2+i向左平移得到一条新抛物线，其中点尸，。(加，4),平移后的对应点分

【分析】先根据二次函数的解析式求出顶点坐标P，再根据题意求出产产'=5,最后结合二次函数的平移即

可求解.

【详解】解：•・•抛物线y=g(x-2)2+l的顶点为点?，

AP(2,1),

曲线段尸。扫过的面积=(“-4卜尸产=3Pp=15,

则尸P=5,

故抛物线向左平移5个单位，则J=*-2+5)2+1=；(X+3)2+1,

故答案为：》=g(x+3)z+1.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质和二次函数的平移，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

5.(2023秋呐蒙占通辽•九年级校考期中)已知：如图所示，在。中，DS=90a,AB=5cm,BC=7

cm,点P从点A开始沿4B边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点、C以2cm/s的速

度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动.

Q

//F

AfSB

⑴如果P、。分别从48同时出发，那么几秒后，△PB。的面积等于4cm2?

（2），秒时，△尸。8的面积最大？清说明理由.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）设经过x秒钟，A。"。的面积等于4cm，，根据点F从4点开始沿*6边向点，以lcm/s的速

度移动，点0从8点开始沿8c边向点C以2cm/s的速度移动，表示出8P和80的长可列方程求解.

（2）设经过/秒以后△尸08面积最大，用含，的式子表示△尸QB的面积，即可得出结论.

【详解】（1）解：设经过x秒以后△尸5。面积为4cm2,则

ix（5-x）x2x=4,

整理得：V-5x+4=0，

解得：玉=1,马=4,

:当x=4时，2x=8cm>7cm,

x=4不合题意，

答：1秒后△尸8。的面积等于4cm:

（2）解：当秒时，△PQ5面积最大.理由如卜.：

设经过/秒以后△尸06面积最人，则

I15Y25

S.PQB=yx（5-r）x2z=-/2+5r=-|/--+—,

.•.当f=T秒时，APOB面积最大.

【点睛】此题主要考查r•元二次方程的应用，找到关键描述语“APB。的面积最大，得出等量关系是解决问

题的关键.

考查题型三拱桥问题

1.（2023•山西大同・大同一中校考模拟预测）如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞.门洞内的地面

宽度为8m,两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m,则这个门洞内部顶端离地面的距离

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.

【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为。点，画出y轴，建立直角坐标系,

由题意可知各点坐标为4（T0）,5（4,0）,£＞（-3,4）,

设抛物线解析式为N=加+c（0工0）把仄D两点带入解析式,

_4

16a+c=0~7

解得:

9a+c=464

T

4八4(64、

・•・解析式为7=-#+9则C0,三

所以这个门洞内部顶端离地面的距岗为亍m,

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.

2.（2023•浙江•九年级假期作业）某市新建一座景观桥.如图，桥的拱肋/D5可视为抛物线的一部分，桥面

可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高

度C〃为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为〔）

【答案】C

【分析】以/出所在直线为x轴、。。所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为歹=。/+16,

将点8坐标代入求得抛物线解析式，再求当x=5时歹的值即可.

【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，

设抛物线表达式为y=or2+16,

由题意可知,5的坐标为（20,0）,

A40067+16=0,

1

25

・•・当x=5时，»=15.

答：与CO距离为5米的景观灯杆朋N的高度为15米，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐

标系是解题的关键.

3.（2023•江西吉安•统考一模）如图1,某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米,

以桥底部（正好为水面）所在直线为x轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点。建立如图2所示的

平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为.

图1

【答案】---X2+20

y=180

【分析】设抛物线解析式为y=d+c（"0）,根据题意可得c=20,抛物线与X轴两交点坐标分别为（60,0）、

（-60,0）,代入即可求出.

【详解】解：设抛物线解析式为产d+c（"0）,

由题意可知：c=20,抛物线与x轴两交点坐标分别为（60,0）、（-60,0）,

e=0

把c=20、（60,0）,代入尸分+c（。/0）得：，

3600a+c=0

解得…-高

・•・抛物线解析式为y=-高，+20,

故答案为：=—袁云/+20.

180

【点睛】本题考查了求抛物线解析式，止确设出解析式和确定点的坐标是解题关键.

4.（2023秋•山东滨州•九年级统考期末）如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O,8.以点。为

原点，水平直线。〃为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20『+4,

桥拱与桥墩的交点。恰好位于水面，且4C1X轴，若。1=5米，则桥面离水面的高度4c为

【答案】2.25米

【分析】根据。4=5知点C的横坐标为-5,据此求出点C的纵坐标即可得出答案.

【详解】解：..FC_Lx轴，。1=5米，

••・点C的横坐标为-5,

当二二-5时，y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25,

:.。（-5,-2.25）,

・•・桥面离水面的高度AC为2.25米.

故答案为：2.25米.

【点睛】本题考查了二次函数的应用.解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件.

5.（2023•河南郑州•校考三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点。距

离水面的高度为4米.如图，以点。为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

⑴求抛物线的解析式；

⑵汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米,

宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）.

【答案】⑴该抛物线的解析式尸-《以

⑵水面宽度为5小米.

【分析】（1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为歹=52,把*A的坐标代入求出a,c的值即可;

（2）把x=2.5代入抛物线解析式，求出对应函数值y,再把y=-3.25代入计算即可求解.

【详解】（1）解：设抛物线解析式为

・•・桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，

••・点4-10,-4）,

-4=100a,解得：a=一~—,

25

，该抛物线的解析式），=-《一；

（2）解：•・,船宽5米，

，当x=2.5时，^=--X2.52=0.25,

25

若该渔船能安全通过，此时水面高为0+也25）米，

.•.当丁=一3.25时，-3.25=—

25

解得x=：g,

2

工水面宽度为5J万米.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求

出函数的解析式是关键.

考查题型四销售问题

1.（2023春・安徽安庆•九年级统考期末）2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做

好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口.罩，每天所获的利润），（元）与

售价x（元/个）之间关系式满足），=--+云+°,第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将

售价定为20元/个，当天获利18c元.则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价-成本价）（）

A.10B.12C.14D.15

【答案】A

【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论.

【详解】解：由题意知：当x=16时，y=132：当x=20时，»=180代入夕=一一+6+。中，

-162+16Z）+C=132

得〈7，

-202+20/）+C=180

b=48

解得：

c=-380

:.y=-x~+48x-380,

当每天利润为0元时，售价即为成本价.令歹=-¥+48工-380=0,

解得：玉=10,X2=38,

由题意可知38不符合条件，

.\x=10,

・••这种口罩的成本价是10元/个；

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键.

2.（2023•浙江•九年级假期作业）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元

（20<x<30,且N为整数）出售，可卖出（30-力件，要使利润最大，每件的售价应为（）

A.24元B.25元C.28元D.30元

【答案】B

【分析】设利润为卬根据利润等干利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案；

【详解】解：设利润为w,由题意可得，

w=（x-20）（30-.r）=-X2+50r-600=-（x-25）2+25.

V-l<0,20<^<30,

・••当x=25时卬最大，

故选B；

【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解.

3.（2023・上海•九年级假期作业）中国的新冠疫苗受到世界各国的高度认可，中国人民完全免费接种，但对

国外要收取费用•已知出口某国的疫苗原价是400元/剂，每冏可出口400000剂，在该国恳请刈其优惠销售

的条件下，每剂的售价每降低10元,每周可多出口100000剂，设出I」疫苗的销售收入为K元,销售价格为x

元/剂，则V与x之间的函数表达式为.

【答案】y=-10000x2+4400000.v

【分析】根据利润=每件利涧x销量求解.

【详解】解：由题意得N=x400000+100000x40^-X=-10000^+4400000）,

故答案为：JV=-10000.V2+44000CO.V.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数解析式.

4.（2022秋・北京•九年级北京工业大学附属中学校考期中）某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件,

每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调杳发现，如果一

件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价元时，服装店每天盈利最多.

【答案】15

【分析】根据总利润=单价利润x销售数最，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可.

【详解】解：设每件衣服降价工元，获得的总利润为N元，

由题意得:y=（40r）（20+2x）,

22

整理得：y=-2x+60x+800=-2（X-15）+1250,

・••当K-15时，V取得最大值；

故答案为：15.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用：销售问题.根据总利泡=单价利润x销售数量准确的列出函数解析

式是解题的关键.

5.（2023•安徽合肥•校考一模）某市公安局交警支队在全市范围内开展"一盔一带"安全守护行动，某商场的

头盔销量不断增加，该头盔销售第x天与该天销售量V（件）之间满足函数关系式为：y=20x+200（l<x<30

且）为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天成一次函数关系，

当％=1时，z=98,当x=2时，z=96.已知该头盔进价为40元/件.

⑴求z与x之同的函数关系式；

（2）求这30天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；

（3）在实际销售的前15天，为配合，,骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原

来价格变化的基上再降价〃元（«>2）销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间工（天）

的增大而增大，试求。的取值范围.

【答案】⑴z与x之间的函数关系式为z=-2x+100（l<x<30）

⑵第10天利润最大，最大值为16000元

⑶。的取值范围为2<aW8

【分析】（1）根据待定系数法即可求解;

（2）根据题意，设总利润为w元，可得出总利润与第x天的函数关系，根据二次函数顶点式即可求解;

（3）根据数量关系，二次函数图像的性质即可求解..

【详解】（1）解：根据题意，设z=〃w+〃，当x=l时，z=98,当x=2时，2=96,

〃?+〃=98,m=-2

**•必，解得：»

2m+n=96[〃=100

・,.2与x之间的函数关系式为z=-2x+100（14x430）.

（2）解：设总利润为卬元，则

vv=y（z-40）=（20x+200）（-2x+60）=-40（x-10）2+16000,

当工=10时，w取得最大值，

工第10天利润最大,最大值为:=16000（元）.

（3）解：由题意可设第％天的销售利润为吗元，则

叫=（20x+200）（-20x4-60-a）

=-40x2+（800-20a）x+200（60-<7）,

800—20。⑺1

・•・对称轴为、=一百画二*丁

又知前8天中，每天的利润随时间x（天）的增大而增大，

••・10/aZ8即“W8,

4

又a>2,

A2<a<8.

【点睛】本题主要考查销售问题，理解题目中数量关系，二次函数图像的性质是解题的关键.

考查题型五投球问题

1.（2023•上海•九年级假期作业）如图，若被击打的小球《行高度力（单位：m）与飞行时间/（单位：s）

具有函数关系为〃=24-4尸，则小球从飞出到落地的所用时间为（）

A.3sB.4sC.5sD.6s

【答案】D

【分析】根据二次函数的图象与性质解题.

【详解】解；依题意，令]?=0得，）-24一”,

得424-力)=0,

解得f=0(舍去)或f=6,

即小球从飞出到落地所用的时间为6s,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.

2.(2023•山东枣庄•统考一模)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条

抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度/?(单位：m)与足球被踢出后经过的时间单位：S)

之间的关系如下表：

01234567......

h08141820201814......

G

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20.25m；②足球飞行路线的对称轴是直线/=：；③足球被踢出

8s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是其中正确的结论有()个

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由题意,抛物线经过(0,0),(9,0),所以可以假设抛物线的解析式为〃把(1,8)代入可得

a=-l,可得〃=T2+9/=-(，-4.5『+20.25,由此即可一一判断.

【详解】解：•・•当，=4和1=5时，h的值相同，

•••抛物线的对称轴为直线》=等二|,故②正确；

•・•当1=0时，h=0,

.••当，=9时，h=0,即足球被踢出9s时落地，故③错误；

・••可设抛物线的解析式为。=〃(—9),

把。，8)代入得8=。。-9)

解得。二一1,

A=-/2+9/=-(/-4.5)2+20.25,

・•・足球距离地面的最大高度为20.25m,故①正确,

・•・足球被踢出9s时落地，故③错误，

•・1=1.5时，〃=11.25,故④正确.

・•・正确的有①②④，共3个，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键.

3.(2023・湖北宜昌•统考中考真题)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单

位：m)之间的关系是y=—\(x-10)(x+4),则铅球推出的距离m.

-------\

oAx/m

【答案】10

【分析】令尸0,则0=-如-10)*+4),再解方程，结合函数图象可得答案.

【详解】解：令八0,则0=-卷*一10)5+4),

解得：Xj=10,x,=-4,

OA=\0,

故答案为：10.

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令丁=0求解方程的解是解本题的关键.

4.(2023秋•浙江湖州•九年级统考期末)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系(如

图)，发现铅球与地面的高度y(m)和运动员出手点的水平距离x(m)之间的函数关系为》=-

由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是m.

【分析】根据铅球落地时，高度)=0,实际问题可理解为当歹=。时，求x的值即可;

i4

【详解】y=一行/+2

1UJ

当丁=0时，得：

1、4

-----x2+—x+2=0,

105

解得：玉=10,x,=-2（舍去）

即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是10m

故答案为：10

【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用y=o时求出x的值是解题关键.

5.（2023・河南周口•统考三模）科技进步促进了运动水平的提高.某运动员练习定点站立投篮，他利用激光

跟踪测高仪测量篮球运动中的高度.图1所示抛物线的•部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建

立加图2所示的平面直角坐标系.已知篮球每一次投出时的出手点。到地面的距离。。都为2.25m.当球运

行至点尸处时，与出手点。的水平距离为2.5m,达到最大高度为3.5m.

图1图2

⑴求该抛物线的表达式.

（2）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截卜.来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，

防守队员再出手拦截，属于犯规.在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度为

3.05m,则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？

【答案】（l）y=_!（x_2.5『+3.5

⑵应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽

【分析】（1）根据题意得出0（0,225）,尸（2.5,3.5）,设y=“尤-2.5）2+3.5,待定系数法求解析式即可求解.

（2）根据题意，令y=3.05,解方程即可求解.

【详解】（1）解：•・•。到地面的距离。。都为225m.当球运行至点/处时,与出手点。的水平距离为2.5m,

达到最大高度为3.5m

"(0,2.25),/(2.5,3.5),

设抛物线解析式为y=“x-2.5)2+3.5,

将点0(0,2.25)代入得，2.25=6.25。+3.5,

解得:0=4，

・•・抛物线解析式为》=-1(X一2.5)”+3.5,

(2)将卜=3.05代入解析式，3.05=-1(X-2.5)2+3.5,

解得：X=1或x=4(舍去)，

答：应在运动员前面XW1范围内跳起拦截才能盖帽.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

考查题型六喷水问题

1.(2023春・湖南长沙•八年级校联考期末)为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从

地面上的点。喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点

A到点O的距离为4,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式歹=奴？+_则水

流喷出的最大高度为()

D.6m

【答案】A

【分析】根据点A到点O的距离为4,得到力(4,0),代入)，=ar2+yx求得a,再将解析式化为顶点式即可

得解；

【详解】点力到点。的距离为4,

.•.44,0),

把题4,0)代入丁=/+?7工4得

16i?+—x4=0,

a=—6,

5

「•水流喷"1；的最大局度为—，

故选择：A

【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键.

2.（2023•浙江•九年级假期作业）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装

置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是

抛物线歹=-/+5工（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）

伊米）

//、

1_______________\

0式米）

A.4.5米B.5米C.6.25米D.7米

【答案】C

【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标解题即可.

【详解】解：丁=一一+5^=一（/一5工+多多=一（又一}+M，

4424

<525、

所以抛物线的顶点坐标为，

4

即水喷出的最大高度是今25，

4

故选C.

【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的配方是解题的关键.

3.12023•吉林长春•统考二模）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置,

水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛

物线y=-f+5x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米.

y（米）

9x（米）

25

【答案】y

【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标解题即可.

【详解】解：y=-x2+5x=-fx2-5x+-l=-fx--T+—,

I44JI2j4

,525、

・••抛物线的顶点坐标为，

即水喷出的最大高度是r25米，

4

25

故答案为：V-

4

【点睛】本题考查二次函数的最值，将二次函数由一般式变形为顶点式，是解题的关键.

4.（2023・上海•九年级假期作业）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装

一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示.现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线

为I轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是歹=-：*-1）2+3,

4

则水管长为m.

【分析】由题意令x=o,得到的y值即为水管的长.

【详解】解：在kT—中,

?9

令x=0,得y=-：(0-i)2+3=；,

44

...水管的长为99九

4

9

故答案为：7-

【点睛】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是x=0时歹的值.

5.(2023•甘肃兰州•统考一模)如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个

柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高高度为3m.水柱落地处

离池中心的水平距离为3m.小刚以柱形喷水装置04与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x

轴，柱形喷水装置所在的直线为J轴，建立平面直角坐标系.水柱喷出的高度Mm)与水平距离x(m)之间的

函数关系如图2.

⑴求表示该抛物线的函数表达式：

⑵若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度.

【答案】⑴抛物线函数表达式为了=一1aX-1)2+3(0工工43)或歹=一a［一+?；工+9；(0«143)

4424

(2)1m

4

【分析】(1)根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为y=〃(x-l)2+3(0KxW3),由题意得，该抛物线经

过点(3,0),待定系数法求解析式即可求解.

(2)当x=0时，代入解析式，解得y=29.

4

【详解】(1)解：由于点(1,3)为抛物线的顶点，

因此可设该抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2+3(0<X<3),

由题意得，该抛物线经过点(3,0),可得0=。(3-1)2+3,

解得°=一3,

4

・••该抛物线函数表达式为y=_：(x_l)2+3(0WxW3)或,=_:/+：1+4(0工工工3).

39

(2)当x=0时，；；=—(0-1)2+3,解得歹=一.

44

9

答:柱形喷水装置的高度为

4

【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键.

考查题型七增长率问题

1.(2023・福建•统考中考真题)根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022

年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为心根据题意可列方程

()

A.43903.89(1+x)=53109.85B.43903.89(1+xj2=53109.85

C.43903.89/=53109.85D.43903.89(1)=53109.85

【答案】B

【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据题意列出一元二次方程即可求解.

【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据题意可列方程

43903.89(1+4=53109.85,

故选:B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

2.(2022秋•浙江绍兴•九年级校考阶段练习)据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月G力。总值约为

7.9亿元人民币，若该省第四个月GAP总值为歹亿元人民币，平均每个月GQ夕增长的百分率为x,则y关于

x的函数表达式是()

A.^=7.9(1+2.Y)B.y-7.9(1-x)2

C.y=7.9(l+x『D.j=7.9+7.9(l+x)+7.9(l+x)2

【答案】C

【分析】根据平均每个月GO尸增长的百分率为x,可得第三月的GO尸总值为7.9(l+x),第叫月的GQ尸总

值为7.9(1+X)2,即可解答.

【详解】解：设平均每个月GOP增长的百分率为x,

•・•第二个月GOP总值约为7.9亿元人民币，

••・第三月的GDP总值为7.9(1+%),

・••第四月的GDP总值为7.9(1+x)：,

・•・)关于x的函数表达式是:y=Z9(l+x)2,

故选:C.

【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题的数量关系是解题的关键.

3.(2023春•浙江杭州•八年级校考期中)为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展

种子实验.该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子.若培育的种子

平均每年的增长率为X,则x的值为.

【答案】20%

【分析】利用该实验基地现在拥