4.4 一次函数的应用（第3课时）教学设计

2/2第四章一次函数4一次函数的应用（第3课时）一、学习任务分析本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”第四节的第3课时。作为前两个课时的延续，本节课主要是利用两个一次函数的图象信息解决生活中的实际问题。与第2课时相似，教材注重引导学生从函数图象中获取有效信息解决实际问题，深入理解图象交点的实际意义，并比较不同的k与b所代表的实际意义。本课时旨在引导学生利用两个一次函数的图象信息分析和解决较为复杂的实际问题，着重体现数形结合思想，进一步发展学生的几何直观、模型观念和应用意识。同时，为后续学习利用图象法求解二元一次方程组奠定基础。二、学生起点分析学生知识技能基础：在前面的学习中，学生已经掌握了一次函数的基本概念、性质及图象特征，能解决与一次函数相关的简单实际问题。能从一次函数图象中获取有效信息，初步运用一次函数图象分析解决实际问题。学生活动经验基础：在前期探究活动中，学生已学会运用一次函数图象解决实际问题，具备了一定的数学转化能力。在具体情境下解决问题时，学生能体会k，b所代表的实际意义，并初步建立了数与形之间的对应关系。然而，学生获取和利用图象信息解决实际问题的能力仍需进一步提升。本节课将继续引导学生通过探究活动，提高运用一次函数图象解决实际问题的能力。三、教学目标1.进一步培养识图能力，提升通过函数图象获取有效信息，并解决简单实际问题的能力。2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养数形结合意识，发展几何直观。3.在解决问题过程中，建立知识间的联系，进一步发展分析问题、解决问题的能力，深化数学模型观念。4.通过对实际问题的解决，进一步体会数学与人类生活的密切联系，增强应用意识。教学重点：通过函数图象获取信息，建立知识间的联系，解决简单的实际问题。教学难点：通过函数图象获取信息，建立知识间的联系，解决简单的实际问题。四、教学过程设计【第一环节】情境引入1.活动内容如图1，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系。根据图象填空：（1）当销售量为2t时，销售收入为___________元，销售成本为___________元。（2）当销售量为6t时，销售收入为___________元，销售成本为___________元。（3）当销售量___________时，销售收入等于销售成本。（4）当销售量_________时，销售收入大于销售成本，该公司赢利；当销售量__________时，销售收入小于销售成本，该公司亏损。（5）当销售量为___________t时，该公司赢利1000元。（6）l1对应的函数表达式是___________，l2对应的函数表达式是___________。（7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？2.活动目的通过精心设计问题串，引导学生根据实际问题建立适当的一次函数模型，利用函数图象的特征解决实际问题。在此过程中，既培养学生从图象中获取信息、分析问题与解决问题的能力，增强其学习的自主意识，又渗透数形结合的思想方法，进一步发展学生的几何直观和应用意识。3.注意事项教师应着重引导学生通过观察函数图象提取有效信息并解决实际问题，增强对一次函数y＝kx+b中k，b实际意义的理解。问题（5）和（6）有一定难度，需注意引导学生观察函数图象与纵轴交点的纵坐标以确定b，进而确定k；也可根据学生的理解情况，先确定k再确定b。解决问题（7）时，需有意识地引导学生运用函数表达式解决问题，为后面问题的解决做好铺垫。【第二环节】思考交流1.活动内容思考·交流图1中，设l1对应的一次函数为y＝k1x＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数为y＝k2x＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？与同伴进行交流。2.活动目的使学生进一步认识到，k与b在实际问题中有特定的含义，这有助于帮助学生从函数图象上分析图象与k，b之间的关联，也为学生结合k，b的实际意义确定函数表达式奠定基础。3.注意事项图1涉及两个一次函数，要引导学生明确交流的是哪个函数，以防混淆。【第三环节】深入探究1.活动内容例图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：（1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？（2）甲和乙哪个人的速度快？（3）30min内甲能否追上乙？（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？（5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？2.活动目的本题难度较前面题目有所提升，题中两个函数图象画出的部分没有相交。若需从图象角度解决问题，则需引导学生依据函数性质合理延长图象。通过对本题的探究，进一步培养学生良好的识图能力和综合运用知识解决问题的能力，体会数与形的关系，有效建立函数图象、函数表达式与实际问题之间的联系。3.注意事项本题文字阅读量较大，部分学生在理解上可能存在困难，教师应带领学生阅读、分析问题，问题（1）到问题（4）可以直接从函数图象上观察，解决问题的重点落在对函数图象的识别与理解上，进一步熟悉用图象法解决实际问题的过程。问题（5）需引导学生利用函数表达式解决问题。在解决问题的过程中，鼓励学生运用多种方法解决问题，并体会用图象法和表达式法解决问题的优劣。【第四环节】反馈练习1.活动内容A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地。l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离与乙出发后的时间之间的关系。对于以下说法：①乙出发1h后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是13km/h；④当乙出发2h时，两人相距km。其中正确的结论是（）。A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④2.活动目的巩固并应用图象法和表达式法解决问题。3.注意事项在解决问题的过程中，对学生的回答，教师应给予点评。对回答问题暂时有困难的学生，教师应帮助他们树立解决问题的信心。【第五环节】回顾反思1.活动内容回顾·反思回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？本节课我们学习了一次函数的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象中获取有效信息从而解决问题；也可以设法得出各自对应的函数表达式，然后借助表达式通过计算解决问题。通过列函数表达式解决问题时，一般首先判断函数表达式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系。当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果。用图象法解决实际问题更直观，用表达式法解决实际问题更准确。2.活动目的引导学生自己总结运用一次函数解决实际问题的主要方法。3.注意事项让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用学生自己的语言进行归纳总结。【第六环节】作业布置1.活动内容完成教科书习题4.4第10~12题。2.活动目的作业选自教科书习题4.4，第10题旨在学生直接运用所学方法解决问题；第11题则需要学生综合运用所学知识和方法，画出图象后再解决问题；第12题对学生的能力要求上有所提升，通过对图象赋予实际背景，发展学生的几何直观。通过有梯度的作业设计，由浅入深，一步步引导学生利用图象分析问题、解决问题，提高学生解决实际问题的能力。五、教学设计反思1.设计理念函数是刻画现实世界变化规律的一个重要模型，也是初中阶段数学学习的关键内容。在本节课教学设计中，进一步体现了“启发—合作—探究”的模式。引导学生从实际问题中抽象出一次函数，并利用两个一次函数的图象解决实际问题。本节课不仅复习了图象与y轴交点以及k，b的实际意义，更突出强调了图象交点的实际意义，以及不同k，b之间的比较，发展了学生的几何直观、模型观念和应用意识。2.突出重点、突破难点的策略本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对相关知识进行的应用和拓展。在教学过程中，教师首先创设了“产品的销售成本与销售量”的问题情境，设计了由浅入深的问题串，激发学生的学习兴趣，并引导学生进行探究活动。在探