2025年高考数学二模试题分类汇编：数列（四川专用）解析版

数列

□题型概览

题型01数列的概念与表示

题型02等差数列

题型03等比数列

题型04数列新定义

凝型011

1.(2025・四川广安•二模)已知定义域为(0,位)的函数/(X)满足,(*：；琰口)=1,/'⑴-1=0.数列｛4｝的

首项为1,且%"亿.|)一/(4)=—1，则()

A./(In2)-ln2=lB./(〃)>1

C.^2025<生024D.之1

【答案】ABC

【分析】由题意，根据求导法则，求得函数/(x)的解析式，代入x=ln2,可得A的正误；构造函数

^(.v)=ev-x-l,利用导数求得其最值，可得B的正误：由函数解析式求得数列的递推公式，利用B才不

等式进行放缩，构造函数证明数列单调性，可得CD的正误.

【详解】因为,“)»/'(")=i,所以〃x)+M，a)=e',

e

乂;W(x)]'=/*)+xf\x)=ev,­•.xf(x)=e'+c.

取x=l可得f(l)=e+c,由/⑺+矿⑺=©',

令E,得/⑴+/'0)=e.

V/(1)=!,/.C=-1,/./(.r)=—,

x

J'(ln2)=4=log,e,/(In2)ln2=l,故A正确;

In2

设p(x)=eK-x-1,则(p'(x)=ev-1,

当x<0时，/(x)<0,当x>0时，(p(x)>0,

所以奴x)在(F,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，8(x)1nHi=奴。)=o,

1/29

@(x)=e'-x-1之0,BPe*>x+l»当且仅当x=0时，等号成立.

故f(x)>l,乂〃wN,所以故B正确.

由j/(4+J一/(q)二一1,所以f(%+J=

得了/—

M+in+l

e0°_I

即铲“=/,”)，所以讨“=——，

n

aaf,

=e"-1>(an+1)-1=^,Bla„(c'-1)>0,

因为函数/(》)定义域为(0,E),

所以a.>0,有即为“NO,

下证数列｛4｝单调递减，即证eJ<e"",即证三」<葭，

即证e“"—lvqe%,即证(l-a.)e"，-l<0,

令g(x)=(1-v)e'-l,贝ijg\x)=-xev,

当x>0时，gV)<0,所以g(x)在(0,y。)上单调递减.

因为勺>0，g(/)<g(O)=。，所以。向<%，即数列｛可｝单调递减，

所以0<勺44=1,%025<。2024，故C正确,D错误.

故选:ABC.

2.(2025•四川广安•二模)设s”为数列｛%｝的前〃项和，若(〃+1)“=(〃+2电+心+1)(〃+2),

若$=-50,则下列结论正确的有()

A.4Vo

B.数列｛%｝为递减数列

C.当〃=4时，S”取得最小值

D.当S”>0时，〃的最小值为8

2/29

【答案】ACD

【分析】根据已知条件和累加法求出数列｛%｝的前〃项和S”，再利用4与S”的关系式求出数列｛为｝的通项

公式，再结合已知条件逐项计算判断即可.

C

(详解】由条件可知电=(〃+1)5^+(〃-1)小(〃+1)(/7>2,/zeN')得-^-=/?-1(/7>2,/7GN

〃+1n'

S,S.,S3s2css.,

.•一一一L=l,」一一L=2,J-n-----^a=n-l,

3243w+1n

累加得，二-2=1+2+…+(〃-l)二华”，

〃+122

故2s51〃-50(〃之2,〃wN'),当〃=1时，*=一50满足上式,

.0n3-5l»-50

・・J=----------------・

02

当〃N2时，牝=17_”-：〃-50

对FA,q=-7<0,故A正确;

对千B,由于函数^二3/一2'-50,其图象对称轴为x=；,当了之!时函数递增,

故行〃22时，3/3〃50单调递增,又=-50,«2=5,-5,=-22,

2

・•・｛/｝单调递增，且。]<。2</<。4<0<。5<。6<.......，故B错误；

对于C由B可知4<%<小<。4<0</<4<........，

当〃工4时，｛S.｝单调递减，当〃25时，⑸｝单调递增，且S/Ss，

二.当〃=4时，S”取得最小值，故C正确;

对于D,当〃25时，｛'｝单调递增，又邑=7,5；7二50=-32<0,斗=占詈二"=27>0,

「•当S”>0时，〃的最小值为8,故D正确；

故选：ACD.

3.(2025•四川成都•二模)已知数列｛%｝的通项公式q=卢二，前〃项和为则()

2〃一15

A.数列｛丁二｝为等差数列

2q,T

aa

B.3HeN*»使得n+]>n

C.当〃=8时，S.取得最小值

3/29

a"/\

5.(2025・四川•二模)若等比数列应｝的前〃项和S”=1+Z,则数列｛logaSM^)｝的前〃项和

Tn=.

【答案】r+2n

【分析】根据S,,求出(，进而可得｛10g3(%4+j｝的通项，再利用等差数列前〃项和公式求解即可.

927

【详解】因为S'+Z,所以q=E=—+Grz,+67,=S2=y-i-/,

QI

所以生=9,a,+a2+a3=S3=—^t,所以/=27,

a27

所以等比数列｛〃“｝的公比为。=?=§=3,所以生=3%=9,解得q=3,

所以E=«刈1=3",记"=1*34%+1），则4=1弟3（3"3川）=2/?+1,

所以7；=々+4+...+"=3+5+...+2/?+1=（3+2;+1）〃=〃42n,

故答案为：//+2〃

6.(2025・四川德阳•二模)数列｛%｝中，满足4=1,1小悬(〃eN)则q+%+…+%)25

2025,1012

【答案】-------1---------

10131013

【分析】先利用“累乘法”求数列应｝的通项公式，再利用“裂项求和法”求和.

【详解】因为…磊，所以黄若

所归a4且建…2=与（心2

生445%〃+1

an2(\1A

各式相乘，可得：；=而二=%=2----------7，

显然q=i满足上式，则见=2(，-一二],

V?n+\J

所以数列｛谓的前〃项和为邑=2(1一＞沼+宗卜..4篇=2(1一马=磊

2x2025二2025

所rr以il/+%+…+，025=50J1

4U4J-i1-1013

2025

故答案为:

1013

7.（2025•四川•二模）已知数列｛q｝中，q=l,a“=a”_]+3〃-2（„€N\旦〃22）,则通项公式（=（）

A.3〃〜+2口3，/一3〃+2

D•----------------

22

5/29

(〃-1)(3〃+2)

1-7♦

22

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前〃项和公式求出通项公式.

【详解】当〃22时，%=%+3”2,即4-%_]=3〃-2,而4=1,

所以4=叫+(。2…=+++…+n-)

_«(1+3/?-2)_3/z2-n

6=1满足匕式,

一22

所以所求通项公式为勺=叫士

"2

故选:C

8.(2025•四川•二模)数列｛《,｝中,4=2,记｝+…+纥=7丁,

则()

A.42024+82024>1B.4(>24+82024V1C.-^2024—^2024>三D.^2024—^2024<万

【答案】C

1111a-I

【分析】根据一=-7------即可累加求解加,由一即可累乘求解424,即可判定AB,利

aal

nn~4"+|T%a^\~1

用%+「%=a；-24+1=&-1)220可得，必>7,即可求解CD.

【详解】由4“+1=片-%+1可得q+|-1=4（氏T），

由于《=2,所以4―100.

I11111I

-----------=------------------------------=--------------------------------=>---------=--------------------------------------------,

.-1a(a,-\]a„-\a„a„a-1a,-1'

Inn\n/nnftnn+1l

又%+「l=a"(%-1)可得—=

人111a1一la,一1—1—11

因此g024=------——=-X—-X-X」-----------

qa2-24a2Ta3T.25一1.25一।为心一

故.2024+与024=1，故AB错误，

又。川-％=。；-2(+1=(%-1)%()，又因为6=2,则等号无法取到,

6/29

故02O25>a2O24）“2023>…%，

21

由于。2=3,%=7,故1025>7,因比-----<-

02025~1$

221

^2024-^2024=1------T>故C正确，D错误，

峻-132

故选：C

【点睛】关键点点暗：将。川=。：-%+1变形为'=-7-----T和,二'1二），即可累加以及累乘求解

4%T勺+「1%。川-1

4OM>^2024•

鼠理02

9.（2025・四川・二模）已知等差数列｛%｝的公差4工0,其前〃项和为S"，若S1S、2,则下列结论中正确的

是（）

A.:t/=-17:2B.S18=0

C.当dvO时，EV。/D.当d>0时，4+原>0

【答案】ABD

【分析】利用等差数列前〃项和公式得4=4+24，结合等差数列通项公式有冽+17d=0,进而得

%十%=0,再依据等差数列的性质依次判断各项的正误.

【详解】由题设6侬；"6）=12（q;%）,则4=%+2%,进而有2%+17d=0,

所以％+4=0,故?=一］,品=18（%：%）=o,AB对；

d22

由。1+%8=4+4”=。，即&=一“13，故1%1=1卬31恒成立，C错；

当d>0,等差数列｛4｝为递增数列，则44>。心>0>4且14Hq31，故4+阳>（），D对.

故选：ABD

10.（2025•四川•二模）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”,若为+%=4+2,则Sy

【答案】30

【分析】根据题意可求出/=求进而可求&

【详解】由题意1+%=以=4+2,则%=2,

7/29

所以S”15(。；%)=“30.

故答案为:30

11.(2025•四川达州•二模)已知S”为等差数列｛为｝的前〃项和，生=2方5=5〃4-10,则氏=()

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】根据给定条件，列式求出数列的公差，进而求出名.

【详解】在等差数列｛勺｝中，%=2,工=枣等=迎产=5+；%,

乙乙乙

又邑=5%-1(),则5+：4=5%-10,解得4=6,则公差"=用"=2,

所以%=%+d=8.

故选:B

q

12.(2025•四川雅安•二模)记S.为等差数列｛叫的前〃项和，若%+%=10，的9=65,则」=()

A.14-〃B.n-2C.12-〃D.n-4

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质求出。5与生的值，进而求出首项6和公差d，再根据等差数列的前〃项和公式

求出邑，最后得出Z的表达式.

n

【详解】已知｛可｝是等差数列，根据等差数列的性质可得%+%=%+%=2%=10,则为=5.

又因为%，=65,所以5ag=65,解得旬=13.

设等差数列应｝的公差为(根据等差数列通项公式一+(…，可得仁;修需解得公2,

4=-3.

根据等差数列的前〃项和公式可得S“二〃x(-3)+若1x2=-3#+〃(〃-1)=/-4〃.

将S,二〃2-而代入工可得：屋=±1加=〃_4.

nnn

故选：D.

13.(2025・四川广安•二模)广安白塔始建于1174年至1224年间，塔的一至五层为石结构，六至九层为砖

结构，每层均为四方结构(即每层底面为正方形)，P为第一层下底面四边形的外接圆。内一点，经测算，

8/29

每一层的高度恰为过P的弦的长度的二分之一，并构成等差数列，顶层的高度为过点P的圆的最短弦长度的

一半，第一层的高度为过点尸的圆的最长弦长度的一半.已知该塔第一层底面四边形的边长为5及米，

|OP|=3米，则塔高为（）

A.41米B.40.5米C.39.5米D.38.7米

【答案】B

【分析】先根据已知得出力,知,再结合等差数列求和公式计算求解即可.

【详解】由题意，底面为正方形且第一层底面四边形的边长为5及米，最长弦长为直径，即

a=-x5五x=5米，

2

最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得知=X/52-32="=4，

,%=4,所以壮也包=到34。.5米.

22

故选:B.

14.（2025・四川•二模）已知各项都是正数的数列｛4｝的前〃项和为S“，且S“=3+'-,则下列说法中正

确的是（）

A.—B.⑶｝是等比数列

C.，*S.2Vs3D.S.+SQ2S”,、

【答案】c

【分析】由题目条件推出S；-S3=1,再得到S：=〃，即S”=«,利用/与S0的关系计算出生，即可判

断A；由S；=〃即可判断B,利用基本不等式疝4等（凡力CR+）即可判断C、D.

【详解】由题意知%>0,且S,吟+?-,

9/29

当"=1时，4=5=3■+，",解得S=q=l,

当"22时‘2="2*'+2(S,,_S.j

整理可得s；-S3=1,

所以数列｛S；｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

所以S；=〃，则Sn=y/n.

对卜选项A>囚为/=S2—S[=>/?.—1<%，故A错误;

对干选项B,因为S；=〃是等差数列，故B错误;

对于选项c,因为，a+2=〃・J[花＜丝产=〃+l=S2,故C正确;

对于选项D,因为2SN=2V^TT=j4〃+4,

Sn4-Sn+2=\Tn+J〃+2=J(G?W〃+2)

=\2/?+2+2\ln2+2n<j2〃+2+(〃+〃+2)=j4〃+4,故D错误.

故选：C.

15.(2025•陕西汉中•二模)设数列｛g｝的前〃项和为S“，若2S“-a”=〃2,〃eN.

(1)证明：数列｛/十勺列是等差数列;

(2)求$20.

【答案】(1)证明见解析

(2)210

【分析】⑴降次作差得勺+。1=方-1,再升次作差即可;

(2)直接累加并利用等差数列求和公式即可.

2

【详解】(1)v2Sn-an=n,

.•.当〃之2时，2S,i_ai=(〃_1)2,

两式相减得2Sn—Gn—[2Sn_,—。“_])=，厂一(〃-1)=2〃—1,

乂2s“-a”-(2S〃T-1)=2sti-25„_1-an+an_｝

10/29

=初一%+%

4+%

=21，

故(凡7+〃.)-(/+/-I)=[2(〃+1)-1]一(2〃-1)=2,且%+q=3,

所以数列｛。向+6｝是以3为首项，公差为2的等差数列.

(2)由(1)知%+%=2〃-1(〃22),

所以S20=,]+%)+(%+&)+(%+%)+…+(〃19+。2。)

10x(3+39)

=3+7+11+…+39=——----^=210.

2

16.(2025四川二模)已知数列｛q｝是公差大于0的等差数列，数列1的前〃项和为

1%%J

(1)求数列｛%｝的通项公式；

k.n=a..

｛J，keN.

(i)试写出4，人,4的值；

(ii)求数列｛2｝的前20项和S“.

【答案】⑴勺=3〃-2

(2)(i)4=1也=2力=2：(ii)408

【分析】(1)根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可根据通项公式求解，

(2)根据题意可得则力"_2=〃，&=2",%T=2"，即可利用分组求和，结合等差和等比数列的求和公式求

解.

【详解】(1)设｛%｝的公差为"，

令〃=1,得y^-二Z，故4%=4,即4(%+")=4,

112

令〃=2,得---+----=-,故%%=28,即(q+d)(q+2d)=28,

。2a3

山于d>0,则解得q一Id=3,

11/29

故%=3n-2,

(2)(i)当〃=故々=1,

A=1时，1=4<2<3<&+|=4,

所以62=2=2,63=2=2,

(ii)由题意可知：ak<ak+\<ak+2<ak+lf

当〃二生时，b4=k,则%=〃,.•.廉_2二〃，

当〃=4+1,\+,=2*,则％川=2",.•也”一尸2”,

当"=%+2,/+2=2、则%+2=2",.•.&=2",

所以$30二4+力2+4+…+4”

=("+"+…+&_2)+(“+4+%)+(4+4+,••+&)

=(1+2+...+〃)+(2*+?+.-+2,)*2|+f+­••+?)

一心辿亚3

一I八乙

21-2

=^10+2-_4,

2

7X2

因此S2o=S21-&|=三一+29-4-2?=408

17.(2025•四川•二模)已知等差数列｛仆｝的前〃项和为邑,〃9+q=55,则品,=()

A.880B.440C.11()D.220

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质偈+/=4+4。根据等差数列｛见｝前八项和公式即可求解.

【详解】因为49+%=55,所以4+46=55,故S|6=?(a]+66)=8x55=440,

故选:B.

18.(2025•四川•二模)设S”是等差数列｛6｝的前〃项和，且品-1=21,贝37=()

A.17B.34C.51D.68

【答案】C

12/29

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前〃项和公式求解即可.

【详解】等差数列｛〃“｝中，&+。，+48+%+〃+卬+62=£2-55=21,则7%=21,解得％=3,

所以5=17伍；67）=]749=51.

故选：C

19.（2025・四川・二模）已知等差数列｛叫的前〃项和为工，且4s广5$4=20,4=1,则（）

A.^=-11

B.S9=-9

C.当〃=5时，S.取得最小值

D.记”=生“，则数列｛4｝的前〃项和为2〃2-9〃

【答案】BCD

【分析】运用等差数列的通项公式。”=%+（〃-1）”和求和公式£=/咐+若”1,结合二次函数性质可解.

[详解】由题意可设公差为d,则有S$=5a,+"[I=5q+lOda=4q+当山/=6+相仆=%+5d

,c”“，f4（5q+10d）—5（44+6d）=10d=20[d=2

由4ss-5s4=20,6=1有：VVjn｛c，故A错误；

综=q+5d=1⑼=-9

Sq=9al+，）d=9x（-9）+36x2=-9,故B正确；

5=叫+^211八~9〃1〃（1）x2=/（«-10）.由二次函数的性质可知：

22

当力=5时，S”取得最小值，故C正确：

因为%=-9+-I）x2=2〃-11,

所以”-«2,1=2x2/z-11=4/z-11=＞一"=4（〃+1）—11一（4〃-11）=4,

所以他｝为等差数列，公差为4,首项为々=4xl-ll=-7,

所以也｝的前〃项和为：—7〃+"；』X4=2〃2-9〃,故D正确.

故选：BCD.

20.（2025・四川•二模）已知S,是等差数列应｝的前〃项和，若生+4+4=-3,S8=-I2,则数列｛黑｝的首项

4=()

13/29

【答案】B

【分析】由已知条件，利用等差数列通项与前〃项和基本量的计算，列方程组求出首项和公差.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为4,因为%+卬+。6=-3,可得3%=-3,即见=7,所以q+3d=-l,

又因为$8=-12,可得为|+28d=-12,即2%+7d=-3,联立解得叫=2,d=-\.

故选:B.

21.（2025•四川•二模）等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若3%+邑=12,4«4+54=28,则“5+85=（）

A.30B.50C.20D.40

【答案】B

【分析】根据条件求等差数列的首项和公差，再根据通项公式，即可求解.

【详解】设等差数列的首项为4,公差为d,

所以〃％+S1t=叫+n(n-1"+〃％+—-4/=2?%+1(z-1

，得q=T,d=2,

3

8q+—x4x3d=28

'2

2

所以nan+Sn=-2/7+3n（n-1）=3^z-5n,

所以505+85=3x52-5x5=50.

故选：B

22.（2025・四川・二模）等差数歹1」｛可｝的前〃项和为5,,,%=7,吴=7。2,贝lj%=.

【答案】13

【分析】由等差数列的前〃项和和等差中项的性质求出公差，再由等差数列的通项求出最后结果即可.

【详解】因为｛%｝为等差数列，

所以&=5（。；%）=93=7%,

所以。2=5,

所以^二%-%=2,

所以。6=%+%=7+6=13,

14/29

故答案为：13.

＜型等比数列

23.(2025・四川雅安•二模)在公比不为1的等比数列｛%｝中，若%o”=l,且有

…％=卅2…a,„_5卜?eN*/w>5)成立，则〃?=

【答案】10或4049

【分析】设等比数列｛%｝的公比为夕，由％0”=1，可得力二夕一2。24,利用通项公式化简条件等式

2

…生=《生…。吁5W>5),可得m-4059/w+40490=0即可求解.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为q，且4/1,

由425=1，则4•严JI，故。尸产

又@同2…%=4的…4-5(用>5),

7»47，”工

二.4-L-a[q=a{-ayqI.•aq

jn-51+24.♦m-6Hri.("‘""一"…)

...，严d\q，即n=2

...1=%N°V「--%又可二4岫

1-51-6

(m-5Xm-6)W4f10v^^)io

(-5)(^-6),

,-2024(*10)+Wio=o

2

化简整理得一4059〃?+40490=0,即(加—4049)(〃?-10)=0,

解得m=10或用=4049,均满足川＞5.

故答案为：10或4049.

24.(2025•四川自贡•二模)已知数列｛为｝的前〃项和S'=W』(〃cN・)，数列｛"｝是正项等比数列，满足

4=/，4=4.

(1)求｛4｝,也｝的通项公式;

[a,(n=2k-i),、

(2)设c“=1jnJ、？4)pwN),记数列｛(qj的前〃项和为7；,求小.

15/29

n

【答案】⑴凡=〃（〃€N・），bn=2

4§°+7496

⑵G=亍

【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出％,以及等比数列的通项公式求出"，可得答案;

（2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案.

【详解】（1）因为S“=WL（”GN*）,

所以〃=1时％=1.

当〃22时，s|=（〃7）、

I2

所以…f,=立士一位二匹也二且〃Rz2），

nnn-l2、7

6=1，满足%=〃，所以a“二〃（"eN）,

数列出｝是正项等比数列々=%=2,4=4=8.

所以公比9=2,〃=2".

=2Ar-1)

(2)由(1)知%=wN),

'2n,(n=2k)

%=(1+3+5+…+99)+(〉+，+…+缪),

50(1+99)4x(l-4")_4x(449—114'°+7496

a=

21-433

25.（2025•四川•二模）已知正项等比数列｛〃“｝满足。2。=。3且4+。2=3,则公比为.

【答案】1/0.5

【分析】设数列公比为小然后由等比数列通项公式结合题意可得答案.

【详解】设数列公比为4,因生”=。3则。/1=./）2=q=夕

3->3（1V3A1

又％+%=:，则=q+不卜0=4=晨.

4412人2J2

故答案为：7

26.（2025•四川•二模）设｛。,f｝是各项均为正数的无穷数列，其前〃项和为工.

16/29

⑴若用q+2=4+i对任意,都成立，且2s““=S〃+2.

①求数列｛%｝的通项公式；

②已知首项为々，公比夕满足同<1的无穷等比数列k”｝,当〃无限增大时，其前〃项和无限趋近于常数广」，

1一9

则称该常数为无穷等比数列上｝的各项和.现从数列｛%｝中抽取部分项构成无穷等比数列低｝,且｛a｝的各

项和不大于《，求4的最大值.

（2）若•%.2-对任意〃€N’都成立.‘试证明：（qq“+2）5之（«2«31•・明+］尸•

【答案】（呜,；（/=+

（2）证明见解析

【分析】（I）①应用等比数列及工Si=%计算求解得出通项公式；②应用求和公式结合指数运算计算求

解得出最大值即可；

（2）先应用分析法将问题转化为4.小端久一2…夕押.f,再分〃为奇数和〃为偶数两种情况分别证明即可.

【详解】（1）①因为扬花'=〃川对任意〃wN♦都成立，所以%七.二。；，且%>0,所以皿=也，

。”+1an

则数列｛4｝是等比数列，乂257=5“+2,〃€^,〃之2,2，=57+2,

作差得2。/1=4，〃eN］?N2,,所以"^J=5，

又数列｛勺｝为等比数列，故数列｛/｝的公比为:，

又因为2s2=$+2,所以2（q+g“J=q+2,所以6

=1,

所以｛%｝是以1为首项以；为公匕的等比数列，

所以数列口｝的通项公式为/=1x1/=出］

②因为凡=1,设数列A=L,公比为-,其中叫AwN',

\2）\2）

■■

则数列｛a｝的各项和等于号、r，所以不

1VJ

17/29

又因为0<1-J<1,所以可=（；了、七,

1

当4=图”时,由与5r4，得J

1-1出呼,

(2

IX*

即L«白时满足题意,所以。nW

\2)1O1o

（2）记号*=%,〃wN”,因为•/+2之对任意〃eN•都成立,且%>0,

得%1之&2…之生，即仇3>---></2>^>0,

%.lana1

要证:（q*2尸之（。2。3…%）九

只需证：（。得“.2）”之（。2。3…％+J）

只需证：。：（。必%%3/&）”?[（4小）何夕必卜・包％%…夕"I,

只需证:…西北海沙夕泮…9："，

只需证:夕3训；夕尸…渭广，

n-44型

%

若"为奇数，只需证<1,

闱像n夕,1夕”.3

q空

2

因为%+i切”之…2%2%>0,所以生,-----£（0』,

夕,川q“%Tq脸

”（、。

因为%+i2"之…2外之名>。，所以旦，"，&，----€（0^]<又q„=1，

q*l9"Qn-iqn、T+,

18/29

/\n/、"-2/、

所以出”生41成立;

\夕"+i))14"-i>

综上可知，对任意〃wN.，不等式（q*+、）32（%%…。”+1）’都成立.

【点睛】方法点睛：解题的方法是对分析法的应用将要证明不等式转化为唱+小媚夕—…夕押.-，即可分类证

明.

27.（2025・四川南充•二模）在递增的等比数列血｝中，a2a.=8,q+a=9,则数列｛仆｝的公比为（）

A.yB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由等比数列的性质有生6=。4=8,易知"牝是方程.d-9x+8=0的两个根，再由已知及等比数

列的通项公式求公比.

【详解】由题设=8,易知。”包是方程，-9x+8=0的两个根,

又｛叫为递增的等比数列，所以q=l,%=8,故公比q=（2"=2.

a\

故选:B

28.（2025•四川•二模）记数列｛%｝的前〃项和为S”.

（1）设4=1,若邑=24-1,求｛q｝的通项公式；

（2）记/（＞）=1+》+/+/++x”，设（:川⑵，求S”.

【答案】⑴%=2"T

（2）S”=（〃-2）X2"“+〃+4

【分析】（1）由%,S”的关系即可求解，

（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；

【详解】（1）当〃22时，%=S「S吁\=,整理得工=2,当〃=1时，有q=l=S-

Qn-\

数列｛4｝是以4=2为公比，以％=1为首项的等比数列，所以%=2"，

(2)当xwO时,

19/29

/(x)=l+x+/+jr'+…+x”=--------，

x-I

所以小戈(…),

(z)

所以e=/⑵=(〃+1)2"-(2"J1)=〃♦2"-2”+1,

令…・2\其前”项和为刀,，

A7；=lx2,+2x224-3x23+4x244-...+(/7-l)-2rt-,+/r2H@

・•.27；,=lx22+2x234-3x244-4x25+0?-l)-2rt+»-2n4,(2)

①一②得：-7；=2+1x2?+1x23+…+1x2"-〃♦2""

=(l-n)-2B+,-2.

A7；=(/j-l)-2n+l+2.

令c'=2",其前〃项和易知为：2用-2，

所以S。二(〃-1)-2向+2—(2向一2)+〃=(〃-2)、2""+〃+4

29.(2025•四川•二模)等比数列｛q｝的前〃项和为S“，且。L2,甸+%=8,则S§=()

A.63B.48C.31D.15

【答案】C

【分析】根据等比数列基本量的计算可得公比和首项，即可由求和公式求解.

【详解】令等比数列｛%｝的公比为夕，则%=%夕=2,4q+%=6(4+d)=8,

解得4=1,q=2,所以工=二-=31.

1—2

故选:C

30.(2025•四川•二模)已知等比数列｛为｝的前〃项和为S”，若8s6=753,则公比。=()

A.q=2B.=-C.q=-2D.夕=一;

【答案】D

【分析】根据等比的求和公式即可求解.

【详解】由8s6=7$3可知公比4工1,则称=N=l+/=2

311—qX

20/29

解得夕='

故选：D.

31.（2025•四川•二模）已知数列｛凡｝满足％="（4。“+1”向=3%，S”为数歹I」」■的前〃项和.

（1）求证：数列，-2是等比数歹IJ；

（2）求数列｛4｝的通项公式；

I

（3）求数列J■的前〃项和Sn.

【答案】（1）证明见解析

3”

⑵%=

23,一1

(3»“=2〃一；+1

【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得一L-2=：L-2,故可得|J_-2是等比数列;

%+i3”）[an

（2）由（1）结合等比数列的通项公式“J■求｛4｝；

（3）利用分组求和法可求S”.

【详解】（1）对（也+1）.=3。“整理有：4aMi7+—=3/，

I3

等式两边同时除以可得4+—=—,

%am

等式两边再同时减6得，-2二3（」一一21，即」--2=^-（--2

又由可得2=-9工0,故~!~-200,

5434

则数列,-2是首项为-：，公比为1的等比数列.

对33

（2）由（1）得的通项公式为，-2=-《,

凡an3

得卜24,所以丁=3”

2・3”-1

21/29

（3）由（2）知，=2-"，

n

所以舄=（2.我2城+...+（2城=2„.（3身•“+，

1

r3Alic1।

=2/7-----1------------二2〃-T--------.

y）22-r

3

32.（2025・四川•二模）下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，

每行的第〃个数从上到下形成以2川为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第〃行（〃eN1所有数据的

和邑=•

第一行1

第二行321

第三行9622

第四行27181223

第五行8154362424

【答案】3"-2"

【分析】先写出第〃行的项再根据等比数列求和即可.

【详解】因为每行的第〃个数从上到下形成以2M为首项，以3为公比的等比数列，

所以Sa=3°x2fl_,+3*x2"-2+32X+…+3,,_,x2°,

z\«-2/八。-3/八°

r+田卜（川

一，2、/

=3"x1--=3"-2".

故答案为：y-2n.

33.（2025•四川•二模）已知数列｛%｝满足。3=%。”+2,若q=:M4=4,则S4=.

&

【答案】y/7.5

【分析】由题意可得数列4等比数列，得到首项与公式后借助等比数列前〃项和公式计算即可得.

【详解】