2025年七年级数学上册同步讲义：一元一次方程及其解法（人教版）学生版

专题3.1-3.3一元一次方程及其解法讲练

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1.一元一次方程的概念:

只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：公+6=0（存0）

注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是I次。如4+3=x,它不是一元一次方程。

x

2.一元一次方程的解

方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的斜。

3.等式的性质：

（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果为是等式；

（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

4.移项：

方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1;（2）系数化为1实际上

就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。

注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

5.解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。

注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。

陨:考点精讲

考点1:一元一次方程定义及应用

典例：若是关于X的一元一次方程，则，〃的值是.

方法或规律点拨

本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型.

巩固练习

1.（2022•吉林・大安市乐胜乡中学校七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（）

,1

A.x+2y=5B.x2+x-l=0C.—D.3x+l=10

x

2.（2022•福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）下列是一元一次方程的是（）

A.2工+3），=1B.x-2=0C.x+3D.-=1

X

3.（2021•山东滨州•七年级阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（）

A.x2-4x=3B.x=0

C.x+2y=lD.2（x-3）-3=2x+5

4.（2022・河南鹤壁•七年级期末）在下列方程：®3x-y=2,②/_2..3=0,③二7二1，④三士印，

x-12

⑤：机-5=机中，一元一次方程的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2022•四川资阳•七年级期末）下列各式中：①2r—1=5；②4+8=12；③5），+8；④2x+3y=0；⑤

2〃+1=1：⑥2*2-5工一1，是方程的是（）

A.①④B.①②⑤C.①④⑤D.①②④⑤

2x

6.12021•全国•七年级期中）①x-2二—；②0.3x=l；（3）x2-4x=3；（4）-=5x-1；⑤x=6；（6）x+2y=0.其

x2

中一元一次方程的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2022・全国•七年级单元测试）若是关于1的一元一次方程，则加的值是.

8.（2022・河南南阳•七年级期末）若（〃7-1）4+1=0是关于x的一元一次方程，则，力的值可以是（写出

一个即可）

9.（2022•甘肃•永昌县第六中学七e级期末）若方程（a-4）x^-7=0是一个一元一次方程,则a等于.

10.（2021•四川广元•七年级期末）若关于x的一元一次方程（a-3）x/a：+m=4的解为x=l,则a+m的值

为.

考点2：一元一次方程的解

典例：（2022・江苏•七年级专题练习）若x=3是关于x的一元一次方程mx・，=3的解.，则代数式10-3m+

n的值是___.

方法或规律点拨

此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含

义.

巩固练习

1.（2022•福建泉州•七年级期末）下列方程中，解是x=4的是（）

A.2x+5=0B.-3x-8=-4

C.—x+3=2x_3D.2（x-l）=3x-5

2.（2022•福建泉州•七年级期末）若x=3是关于x的方程冰-人=5的解，则&/-力-2的值为（）

A.2B.8C.-3D.-8

3.（2022・全国•七年级课时练习）若x=l是方程公+21=1的解，则a的值是（）

A.-1B.1C.2D.-g

4.（2022•湖南湘西•七年级期末）x=3是下列哪个方程的解（）

A.6X-8=8A-6B.5x+7=7—2x

C.4x—2=2-4.rD.3.r-2=4+.r

5.（2022・四川成都•七年级期末）已知关于x的方程ax=5・3x的解是x=2,则a的值为（）

A.1B.----C.—D.-2

22

6.（2022•福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知汇=3是方程2尸。=1的解，则。=.

7.（2022•新疆塔城•七年级期末）若x=3是关于x的方程3戈+仙=7的解，则心.

8.（2021•河南洛阳•七年级期末）若关于x的方程!ax-3=2（o+x）的解为x=-2,则a的值为.

9.（2022•河南南阳•七年级期中）x=3是方程2x+〃?=7的解，那么m的值等于.

10.（2022•河南南阳•七年级期中）己知方程3x+m+4=0的解为x=m,则m=.

23.（2022・辽宁大连・七年级期末）已知'=1是关于〉的方程6-（m以）=5X的解，则代数式必2_6巾+2=.

考点3：等式的性质

典例：（2022•贵州铜仁•七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（）

C.如果〃a=2%那么x=yD.如果x=2y+l,那么"1X=2"D，+1

8（2022•福建泉州•七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（）

A.若色=2,则a=bB.若土+土=1,则3x+4x=l

cc43

C.若ab=bc,则a=cD.若4x=a,贝ijx=4。

9（2022•河南南阳•七年级期中）下列变形正确的是（）

A.由3+工=5,得x=5+3B.由7x=T,得工=—

4

C.由3=工一2,得x=3+2D.由;y=0,得）=2

10.（2022•河南新乡•七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（）

A.由x+7=5-3x,得4x=2B.由4x+8=0,得x+2=。

319

C.由-x=4,得工=-D.由4（X—1）=—2,得4A1=—6

55

11.（2021•河北承德•七年级期末）在下列式子中变形一定正确的是（）

A.如果2。=1,那么。=2

B.如果a=b,那么@=2

cc

C.如果a=b,那么a+c=/?+c

D.如果a~b+c=0f那么a=b+c

12.（2022•河南南阳•七年级期中）下列变形中：①由方程土££-=2去分母，12-10；②由方程6x

-4=x+4移项、合并得5x=0；③由方程2-与=?两边同乘以6,得12-x+5=3x+3；④由方程=g

6292

两边同除以5，得X=l;其中错误变形的有（）个.

A.0B.1C.2D.3

13.（2022・全国•七年级课时练习）下列变形正确的是（）

A.如果ax=bx,那么a=b

B.如果（a+1）x=a+l,那么x=l

C.如果x=y,那么x-5=5-y

D.如果（Q2+I）X=1,那么X=」一

+1

14.（2022•湖南岳阳•七年级期末）下列变形不一定正确的是（）

A.若〃［工0,贝!］巴=-B.若a=b，贝1

mm

C.若a=b,则a+2c=/?+2cD.若ac=be,则a=〃

15.（2022•河北张家口•七年级期末）下列变形中，正确的是（I

3

A.若5x-6=7,则5x=7-6B.若-3x=5,则x=--

X—Ix—1

C.若5x-3=4x+2,则5x-4x=2+3D.若——十——=1,则2（x-1）+3（x+1）=1

32

16.（2022•吉林长春•七年级期末）方程4x=3x—4的解是（）

A.x=-4B.x=4C.x=-\D.x=\

考点4：解一元一次方程一移项合并同类项

典例：（2022•全国•七年级课时练习）解下列方程：

(l)x+3x=-16；

(2)16y-2.5y-7.5y=5；

(3)3x+5=4x+i；

⑷9-3y=5y+5.

方法或规律点拨

本题主要考杳了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键.

巩固练习

1.（2022•吉林长春•七年级期末）方程2-2x=x-l的解为（）

A.—1B.1C.3D.—3

2.（2022•吉林长春•七年级期末）方程-3x=9的解是（)

A.x=-3B.x=3C.x=—D.x=-

33

3.（2022•福建泉州•七年级期末）方程X+2=3的解是（)

A.x=-\B.x=\C.x=2D.x=3

4.（2022•陕西汉中•七年级期末）方程3x+l=4的解是（)

55

A.x=—B.x=—C.x=\D.x=-

33

5.（2022•吉林长春七年级期末）若x=3是关于x的方程3..2小-5=0的解，则m的值为.

6.（2022•甘肃•华亭市皇甫学校七年级期末）关于x的方程3x-A+5=2的解是x=l,贝必=.

7.（2022•河南南阳•七年级期末）已知方程5%+3=3%-1与=A的解相同，则k的值为.

8.（2021•江苏•南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m=22和方程3x+5=ll的解相同,

求m的值.

9.（2022•吉林长春•七年级期末）解方程：6=8+2x.

10.（2022・全国•七年级课时练习）解方程：

（1）2A-3=X+1：

（2）6+4x=8+3x；

（3）3x-l-8x+3=12；

（4）12x=19.2-8x.

考点5：解一元一次方程一去括号

典例：解方程

（l）3x-7（x-i）=3-2（x+3）

方法或规律点拨

本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、

合并同类项、系数化为1.

巩固练习

1.（2022・河南南阳•七年级期中）已知工=一3是方程（A+2）x-Z-x=5的解，则k的值是.

2.（2022・全国•七年级课时练习）已知代数式5a+1与3（。-5）的值相等，那么〃=.

3.（2022•吉林•大安市乐胜乡中学校七年级期末）解方程:3-2（x+1）=2（x-3）

4.（2022•吉林长春•七年级期末）解方程：3（x-2）=x-（8-3.r）.

5.（2022•湖南衡阳•七年级期末）解方程3（x—2）+l=x—（2x—l）

6.（2022•福建泉州•七年级期末）解方程:x+2（x-l）=8+x.

7.（2022・福建泉州•七年级期末）解方程：5（x-2）-l=2x

8.12022•黑龙江齐齐哈尔•七年级期末）对两个任意有理数规定一种新的运算：冰b=a-2b,例如:

3^2=3-2x2=-l.根据新的运算法则，解答下列问题：

⑴求（-2）数的值；

⑵若2X（x+l）=10,求x的值.

9.（2022•河南南阳•七年级阶段练习）对于两个非零常数Q,匕，规定一种新的运算：a^b=a-219,例如,

3汹=3-2x2=-1.根据新运算法则,解答下列问题:

⑴求3※（-2）的值;

(2)若5派(“-2)=11,求x的值.

考点6：解一元一次方程一去分母

典例：(2022•福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末)解方程

(l)4x-2=3-x

(2)3(X-1)-3=O

2x-\_5x+l

6~~S~

(4)|-1(X-7)=1(A+I5)

WwZJ

方法或规律点拨

本题考查正负数的意义，解题的美键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字.

巩固练习

1.(2022•江苏•七年级单元测试)解一元一次方程!(％-2)=1-《X时，去分母正确的是()

3/

A.3(x-2)=1-2xB.2(x-2)=6-3x

C.2(x-2)=1-3xD.3(x+2)=6-2x

2.(2022•福建泉州•七年级期末)解方程号=1-平时，去分母结果正确的是()

A.3(3x-l)=l-2(x+3)B.3(3x-l)=1-(A+3)

C.2(3A-1)=6-3(X+3)D.3(3X-1)=6-2(X+3)

3.(2022・山东威海•期末)在解关于x的方程上广二一上-2时，小颖在去分母的过程中，右边的“-2〃漏乘

35

了公分母15,因而求得方程的解为x=4,则方程正确的解是()

20

A.x=-10B.x=16C.x=——D.A=4

3

4.(2022•河南新乡•七年级期末)下列解方程变形：

①由3x+4=4x—5,得3x+4x=4—5：

②由9—平=1，去分母得2x-3x+3=6；

③由2（2x-l）-3（x-3）=l,去括号得4x-2-3x+9=l：

④由宁=4,得x=3.其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（2022•河南南阳•七年级期末）如图的框图表示解方程士=亍的流程，其中第①步和第⑤步变形的

依据相同，这两步变形的依据是（）

A,乘法分配律B.分数的基本性质

C.等式的基本性质1D.等式的基本性质2

6.（2。22・山西吕梁•七年级期中）将方程子+爷=1去分母得到3），+2+4k12,错在（）

A.分母的最小公倍数找错

B.去分母时，漏乘了分母为1的项

C.去分母时，分子部分没有加括号

D.去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12

7.（2022・安徽•合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：1—1二手

8.（2021・江苏•南通市东方中学七年级阶段练习）解方程：

⑴5x+2=7x・8；

9.（2022•甘肃•永昌县第六中学七年级期末）解方程:

（1）2（3x-5）-3（4x-3）=0

（2）—--^^=1

23

10.（2021•吉林油田第二中学七年级期中）解方程：与1=1-空匚+x

32

11.（2022•新疆•和硕县第二中学七年级期末）解方程

⑴6x-7=4x-5

,4x-l3x-l

2=1------

36

12.（2022•河南•郑州二七优智实验学校七年级期末）解下列方程：

（l）32x-64=16x+32；

,J-xx+2

（2）------x=3------.

34

13.（2022•甘肃•华亭市皇甫学校七年级期末）解方程

(1)2(^-2)-8(x-l)=3(1-x)

14.（2022•山东济南•七年级期末）解方程：

⑴9x-7=2（3x+4）

5x-7

（2）——=—

46

15.（2022•贵州铜仁•七年级期末）方程2（l-x）=x+l的解与方程=+的解相同，求m值.

考点7：一元一次方程拓展训练

典例：（2022•广西防城港•七年级期中）用“★〃定义一种新运算：对于任意有理数。和b,规定

2ab-\-a.如：I*3=lx32+2xlx34-l=16

（1）（-3）*2=.

⑵若（£★3）★（-2）=16,求。的值.

方法或规律点拨

本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键.

巩固练习

1.（2022•吉林长春•七年级期末）已知.丫=笔2一笔2一白工+2.当工=1.5时，y>0；当x=1.8时，），<。.则

方程笔2-笔2-m]+2=0的解可能是（）

A.1.45B.1.64C.1.92D.2.05

2.12022•河南南阳•七年级期中）我们把:；称为二阶行列式，且;I2

-ad-be，如3-4=，X（-4）-2X3

b

-47

.若2/6,则〃，的值为（）

A.8B.-2C.2D.-5

3.（2022•河北承德•七年级期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一•次方程转化为4=〃的形式，

下面是解方程甘麦一芳孕=1的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（）

解：原方程可化为丝六-3户=1（①）

JJ

去分母，得3（20x-3）—5（10汇+4）=15（②）

去括号，得60工-9-5（氏—20=15（③）

移顶，得60.r—50x=15+9+20（④）

合并同类项，得10.r=44（合并同类项法则）

系数化为1.得x=4.4（等式的基本性垢2）

A.①分数的基本性质B.②等式的基本性质2

C.③乘法对加法的分配律D.④加法交换律

4.（2022・全国•七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号min{a,b}表示。、b两数中

较小的数，例如min{2,-4}=-4,则方程min{x,-x}=3x+4的解为（）

A.x=-lB.x=-2C.x=-l或x=-2D.x=l或x=2

5.12022•河南南阳•七年级阶段练习）某同学解方程4工-3=口工+1时，把"W"处的系数看错了,解得x=4,

他把"W"处的系数看成了（）

A.3B.-3C.4D.-4

6.（2022•湖北孝感•七年级期末）用…定义一种运算：对任意的有理数x和Hx*y=mx+my+l（m为常数），

如：2*3=2m+3m+l=5m+l,若1*2=10,则（一1）*（-3）的值为（）

A.-7B.-5C.-13D.-11

7.（2022•黑龙江大庆•期末）关于x的方程24x-1）=（5-有无穷多个解，则a-人.

8.（2022・江苏•七年级单元测试）已知a,b为定值，关于x的方程如誓=I-二如，无论k为何值，它

36

的解总是x=2,则a+b=.

9.（2021・河南信阳•七年级期末）若关于大的方程"-3x=4与方程白-3=（）的解相同，则攵的值为

10.（2022•河南郑州•七年级期末）关于x的一元一次方程2x+/〃=6,其中m是氐颦数.若方程有无颦教解，

则m的值为.

11.（2022•福建泉州•七年级期末）在有理数范围内我们定义运算法则F〃：anb=ab+a—b+3,如2n5=2x5

+2-5+3=10.如果一3nx=4,那么x的值为.

12.（2021•河北承德•七年级期末）设a,b,c,d为有理数，则我们把形如“:的式子叫做二阶行列式，

cd

它的运算法则用公式表示为"°=ad-bc,利用此法则解决下列问题：

99

（2）若|=10,则X值为_______________.

I-x4

13.（2022•河南驻马店•七年级期中）已知关于工的一元一次方程工+2-康x=的解是户71,那么关于），

的一元一次方程，十3一壶（）-+1]=，〃的解是.

14.（2022•山东烟台・期末）若关于x的方程3（2x-l）=Z+2x的解与关于x的方程8-Z=2（x+1）的解互为相

反数，则女=.

15.（2022・全国•七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程2019工-〃=康犬+2021的解为x=3,那么

关于y的一元一次方程2019（y+l）-。=圭（），+1）+2021的解），=.

16.（2022•四川省九龙县中学校七年级期末）已知方程“〃+1）”-8=0是关于x的一元一次方程.

⑴求代数式59-2（.即+2凸_即+6）的值；

（2）求关于y的方程m\y-2\=x的解.

17.（2022•安徽•桐城市第二中学七年级期末）已知关于x的整式M=W+6ar-3x+2,整式

N=-2x2+4ax-2x+2,若。是常数，且2M+N的值与x无关.

⑴求。的值；

⑵若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求d的值.

18.（2022•河南南阳•七年级期中）（1）工取何值时，代数式4x-5与标-6的值互为相反数？

（2）k取何值时，关于x的方程2（2..3）=1-2工和8-攵=2（1+1）的解相同？

19.（2022•河南洛阳•七年级期中）当Z为何值时，关于x的方程2（21-3）=1-21和8/=2（x+l）的解相同？

【答案】2=2##3]

20.（2022•全国•七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b=0（其中“0,。、b为常数），若这个

方程的解恰好为x=a-b,则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4=0的解为x=-2,恰好为x=2

-4,则方程2x+4=0为"恰解方程

⑴已知关于x的一元一次方程3x+k=0是“恰解方程〃，则k的值为；

⑵已知关于x的一元一次方程-2x=mn+c是"恰解方程"，且解为x=n（〃工0）.求m,"的值；

⑶已知关于x的一元一次方程3x=mc+c是“恰解方程求代数式3Cmn+lm7-n）-（Gm7+/nn）+5n的值.

21.（2022•河南驻马店•七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a+x=b（"0）的解为x=g,则

4

称该方程为"商解方程例如：2+x=4的解为x=2且2=耳，则方程2+x=4是“商解方程”.请回答下列

问题：

⑴判断3+x=5是不是“商解方程”.

（2）若关于x的一元一次方程6+x=3（m-3）是"商解方程"，求m的值.

22.（2022•全国•七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值.如果一个方程的解都

是整数，那么这个方程叫做"立信方程

⑴若“立信方程〃2x+l=l的解也是关于x的方程l-2（x-〃[）=3的解，则，〃=；

*122

⑵若关于x的方程X+3X-4=0的解也是“立信方程"6x4-2x-3-/2=0的解，则〃=;

⑶若关于x的方程奴="-3〃2_54+4的解也是关于x的方程9x-3="+14的解，且这两个方程都是“立

信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值.

羔能力提升

二7单选题（每题3分）

1.（2022•全国•七年级单元测试）下列方程是一元一次方程的是（）

9

A.5x+l-2=0B.3x-2y=0C.x2-4=6D.—=5

x

2.（2022福建福州七年级期末）下列根据等式的性质正确变形的是（).

A.由楙=2,得汇=1B.由3（x—2）=6,得工一2=2

C.由工一2二6,得工一2+2=6D.由2x+3=x-l,W2x+x=-l-3

3.（2022•江苏苏州•九年级专题练习）根据。与5的和的4倍比上的5少2〃列出的方程是（）

4

xY

A.4x+5=--2B.4.r+5=-+2

44

C.4（%+5）=（-2D.4（x+5）=^+2

4.（2022•甘肃•景泰县第四中学七年级期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三

角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个

图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第〃个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个,

则n=（）.

5.（2022•浙江衢州•七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方

式放入长方形A8CO中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1,则图中8E的长为（）

6.（2022・全国•七年级课时练习）若关于x的一元一次方程&x+3=2x+〃的解为％=-3,则关于），的一

2022

元一次方程募（y+l）+3=2（y+l）+b的解为（）

A.y=1B.）'=-2c.）'=-3D.y=-4

二、填空题（每题3分）

7.（2022・河南鹤壁•七年级期末）已知关于x的一元一次方程2x+〃?=l的解是x=T,则用的值为

8.（2022•湖南株洲•七年级期末）“式的3倍与7的差等于12"可列方程为.

9.（2022•湖南衡阳•七年级期末）若代数式3x+2与代数式尸10的值互为相反数，则x=.

出方程是解题的关键.

10.（2022•江苏南京•七年级期末）整式如一人的值随x的取值不同而不同，下表是当x