2025年新高考数学一轮复习（基础版）指对同构问题

§3.5指对同构问题

【重点解读】把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用

函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、

对数混合的等式或不等式问题.

题型一同构法的理解

例1若e"+a>/?+ln8(“，。为变量)成立，则下列选项正确的是()

A.6?>lnbB.«<lnb

C.\na>bD.In£?</?

答案A

解析方法一由e"+a»+lnb,

可得ea+fz>clnft+lnh,

令yU)=e'+x,则/(〃)>/加与，

因为人幻在R上是增函数，所以4>ln尻

方法二由e"+a>A+ln

可得e"+lnea>/?4-lnb,

令g。)=x+Inx,则g(e")>gS),

因为虱工)在(0,+8)上是增函数,

所以即a>ln〃.

思维升华利用恒等式x=lne'和通过幕转指或寐转对进行等价变形，构造的数，

然后由构造的函数的单调性进行研究.

跟踪训练1已知不等式u+*>lnSx)+/u•进行指对同构时，可以构造的函数是()

A.y(x)=lnx+xB.y(x)=Alnx

C.fix)=xeD.段)=今

答案A

解析由恒等式x=lnev可得ax=\neav,

所以or+e"*>In(/;x)+Zu-可变形为

lnear+eav>ln(/?x)+Z?x,

构造函数<x)=Inx+x,

可得力〉/Sx).

题型二同构法的应用

命题点1"Ina与xe”同构

例2设实数Q0,对于任意的Q1,不等式恒成立，则4的最小值为

答案；

解析由女卢》InX得心eh》Mnx,

即He畛eFnx,

令府）=xe\贝以履）为（Inx）.

因为/'（x）=（x+l）e\

所以7U）在（-1,+8）上单调递增，

因为Ax>0,Inx>0,所以AxNlnx,

即心乎，

令/?（%）=乎（%>1）,贝I/?‘（“）」

当x£（l,e）时，》（幻>0,。（幻单调递增，

当x£（e,+8）时,h'（X）<O,力（由单调递减,

所以万a）max=/Ke）=J,即k灵,

所以上的最小值为《

V

命题点2be，与Aink同构

例3（2023•南京模拟）设a,“都为正数，e为自然对数的底数，若ae“v〃ln4则（）

A.ab>cB.b>eaC.ah<eD.b<ea

答案B

解析由aca<b\nb,

得ealneu<Z?lnb.

设yU）=.rlnx（x>0）,

因为a>0,则e">l,

因为b>0,且b\nb>ae，>0,则b>\.

当A>1时，f（x）=lnx+l>0,

则y（x）在（1,+8）上单调递增，

e"lnea<b\nb,即/（ea）</（Z>）.

所以e<b.

命题点3《与乎同构

W人

例4(多选)(2024•福州模拟)设实数2>0,对任意的心>1,不等式恒成立，则7的取

值可能是()

A.eB.r-C~D.~

2eee

答案ACD

解析由题意得e汉九•N.Hn.r=e,nv-lnx,

令人Z)=/,；e(o,+8),

则/'a)=a+i)e'>o,

所以在(o,+8)上单调递增，

又yUx)2y(lnx),

即当x£(l,+8)时，

即2N乎恒成立，

令g(x)=乎，x£(l，+°°)»

,1—Inx

则Mg—,

所以当K£(1,e)时，g'(QX),g(x)单调递增;

f

当x£(e,+8)时，g(X)<o,g(x)单调递减,

所以g(%)Wg(e)=；,故人昊.

VV

命题点4d+Ind与x+er同构

例5对于任意的x>0,e》3—l)x+ln(ax)恒成立，则。的最大值是.

答案e

解析由ev>(«—l)x+In(av),

可得e'+x2at+ln(aX),

即ex+x^c,n(at)+ln(<zx).

令7U)=e，+x,则人i)2/加(ax)),

因为_/u)在R上是增函数，

所以x21n(〃x),即

QX(x-1)e"

令力。)=7人(X>0)，则力‘人(》)=1，，

当x£(0,l)时，/?'(x)vo,缺)单调递减;

即Inx2-elnx2^-e7,

x

令7U)=xe\则与恒成立，

利用函数儿0=m’的单调性可知Inx22里恒成立，即/〃W2Hnx(x2c)，所以〃1W2e.

X

课时精练

1.设x>0,>>0,若er+lnyx+y,则下列选项正确的是()

A.x>yB.x>lnyC.x<yD.x<lny

答案B

解析不等式？'+In)>x+y等价于er—x>v—Iny,

令7U)=e'—x,x>0,

则7(ln,)=3"—In>»=j-Iny,

；・不等式e*——Iny等价于J(x)>J{\ny),

•・•/U)=er-1,

・••当x£(0,+8)时，f(x)>0,

;(x)在区间(0,+8)上单调递增，

・•・若)，£(1,+8),则11Vs(0,4-oo),

由7U)》(Iny)有A>lny；

若ye(0,1],则Iny近0,

由x>0,有Qlny

综上所述，x>ln_y.

2.若e'—ar2—x+ln(or),则正实数。的取值范围为()

A.(0,£B.(0,e]

C.Q,+8)D.(e,+8)

答案B

解析不等式e'—at2-x+ln(ai),

可化为c'+x>elnruH-lnax,

设则屋(x)=e'+l>0,

即g(x)在R上是增函数，

而g(x)2g(1nar),因为a>0,x>0,

所以x>lnar=ln〃+lnx,

由已知InaWx—Inx恒成立，

令/U)=x—lnx,则/(x)=l—

当00yl时，f(x)<0,作)单调递减；当Q1时，f(x)>0,府)单调递增，

所以7U)电1)=1，故只需InaWI,即〃We.

又a>0,所以。的取值范围为(0,e].

3.已知函数人工)=/&'-a(x+21nx)有两个零点，则a的取值范围是()

A.B.aW2C.aWeD.a>e

答案D

解析7U)=/e'—a(x+21nx)=

er+2,nx—fl(x4-21nx),

令f=x+21nx,显然该函数单调递增，/£R,

则S—G=0有两个根,

当f=0时，等式为1=0,不符合题意；

故后0时，等式转化为有两个根，

即y=a和尸,两个交点，

设g(x)=。，

人

求导得g'(好二吟」1,

故当蚱(一8,0)和xE(Ql)时，g'⑴<0,g(x)单调递减；当xW(l,+8)时，短㈤>0,g(x)

单调递增；且当(—8,0)时，g(x)vo,g(l)=e,

故g(x)=，的大致图象如图所示.

人

由图可得，。的取值范围是a>e.

4.(多选)若不相等的正数小匕满足〃=沙，则()

A.a>1

B.b<\

c.〃+/»2

/l+l方+2

f/z+lW^f2W.

D.---->-/?-+--(〃£N)

VnJ\n+\J

答案BCD

解析由cf=bb,得Hna=b\nb,

令yU)=Wnx,f(x)=lnA4-1=0,

解得x=；,

当+8)时，/(x>0；

当0时，/'(x)<0,

所以yu)在(o,§上单调递减，在Q,+8)上单调递增.

所以0<avl,0〈Xl,故A不正确，B正确；

要证明。+枕V

即证明—1),

只需证々?)>/6一a),

只需证_/(〃)：岁仁一〃)，

/(x)=lnx+l+ln仔-x)+l

=lnIXU+2<0,

所以g(x)在(()，§上单调递减,

所以g(.r)>g(§=0,

2

所以。+历1故C正确；

〃+1〃+2

由于人幻在(1,+8)上单调递增，而

所以/(空射(陪)

dL,、j?+l〃+1〃+24+2

所以丁E丁>汴在干，

〃+l”+2

/〃+1、”+2)”+1

所以——>——(〃6N),故D正确.

In)\n+\)

5.若Vx£(O,+°°),In2x-vWln〃恒成立，则o的取值范围为

答案［?+8)

解析依题意，In2x—a

Oln2,v—InqW詈

*/x>0,a>0,

・•・若喏Wl,显然成立，此时满足占Wlve\

若令/(.i)=xlnx,/(x)=1nx+1>0在(1,+8)上恒成立，

・7/⑴在(1,+8)上单调递增，

而弓In刍Wevlne'••号We》.

综上，子Wd在(0,+8)上恒成立，工心誓.

9r2—2r

令ga)=卷，/a)=丁，

・••当0〃vl时，/(x)>0,g(x)单调递增；当Q1时，屋(x)v0,g(x)单调递减.

72

••・g(x)Wg(l)=g,即a^~

6.(2024•漳州质检)已知函数fi.x)=«e'+x+1.

(1)讨论人制的单调性；

(2)当x>l时，、Ax)>hi*廿+x,求实数。的取值范围.

解(1)依题意，得/(.r)=«e'+1.

当［20时，f(x)>0,

所以7U)在R上是增函数.

当。<0时，令/(x)>0,可得.r<—ln(-a)；

令，（x）v。，可得x>—ln（—a）,

所以凡r）在（一8,一侬一编）上单调递增，

在（一ln（一〃），+8）上单调递减.

综上所述，当。20时，«r）在R上是增函数；当加0