第四章代数式（举一反三讲义）数学浙教版2024七年级上册（原卷版）

第四章代数式（举一反三讲义）全章题型归纳 【浙教版2024】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 4【题型1代数式的定义、书写规范】 4【题型2代数式的意义】 5【题型3列代数式】 5【题型4代数式求值】 6【题型5整式及整式有关的概念】 6【题型6（合并）同类项】 7【题型7去（添）括号】 7【题型8整式加减运算与化简求值】 8【拔尖篇】 8【题型9程序框图中求代数式的值】 8【题型10几何图形中求代数式的值】 9【题型11数式规律探究】 10【题型12整式加减中的无关项问题】 11【题型13整式加减中的多结论问题】 12【题型14整式加减的实际应用】 13【题型15与绝对值有关的化简】 15【题型16探索与表达规律（数字变化类）】 15【题型17探索与表达规律（图形变化类）】 16知识点1用含字母的式子表示数用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便．用含字母的式子表示数的书写规则：（1）字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“⋅”；（2）字母与数相乘时，数通常写在字母的前面；（3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数；（4）字母与字母相除时，要写成分数的形式．（5）当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号．知识点2代数式的概念用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如：0，a都是代数式．知识点3代数式的意义根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义．知识点4列代数式把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式．例如：用代数式表示：a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子为ab；运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即aa−b知识点5代数式的值的概念用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．这个过程叫作求代数式的值．例如：当x=−5时，代数式(x+2)2=(−5+2)2=(−3)2知识点6求代数式的值的步骤求代数式的值有代入和计算两步．第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”．代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变．第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”．代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同．知识点7单项式1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0．知识点8多项式1.定义：几个单项式的和叫作多项式．2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式．3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．知识点9整式1.定义：单项式与多项式统称整式．2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．3.判断整式、单项式及多项式的方法（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．知识点10同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．知识点11合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变．合并同类项的一般步骤：知识点12去括号1.去括号方法一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．2.依据：分配律a(b+c)=ab+ac.3.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．知识点13整式的加减整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，−2(x−3x+5x−7x+6)=−2(−4x+6)=8x−12．【培优篇】【题型1代数式的定义、书写规范】【例1】在式子n﹣3、a2b、m+s≤2、x、﹣ah、s＝ab中代数式的个数有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【变式11】（2425七年级上·吉林·期中）下列书写∶①−1a；②223a2b；③5a2b3【变式12】下列各式中，不是代数式的是（）A．3a B．0 C．2x＝1 D．a【变式13】下列各式：3a，123a，b5，a×3，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2代数式的意义】【例2】（2425七年级上·福建漳州·期中）商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为x元的商品提价50%后标价，再以0.9x−30元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是【变式21】（2425七年级上·湖南常德·期末）小明根据方程5x+10x−5=400编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整．甲、乙两名工人生产零件，已知甲工人每天比乙工人多生产5个零件，，请问甲工人每天生产多少个零件？（设甲工人每天生产【变式22】（2425七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式2x+y”的意义叙述，判断正确的是（

甲：x的2倍与y的和；乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费A．只有甲的正确 B．只有乙的正确C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确【变式23】（2425七年级上·山东菏泽·期中）关于代数式8x−3y表示的意义，下列说法正确的是（

）A．若x表示一支铅笔的价格，y表示一块橡皮的价格，则代数式8x−3y表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱B．若长方形的长为x，宽为8，正方形的边长为y，则代数式8x−3y表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差C．汽车每小时行驶x千米，火车每小时行驶y千米，则代数式8x−3y表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数D．小米每千克x元，大米每千克y元，则代数式8x−3y表示买8千克大米比买3千克小米少花的钱数【题型3列代数式】【例3】（2425七年级上·福建龙岩·阶段练习）世界杯排球赛的积分规则为：比赛中以3−0（胜3局负0局）或者3−1取胜的球队积3分，负队积0分；比赛中以3−2取胜的球队积2分，负队积1分．若某球队以3−1胜了a场，以3−2胜了b场，以2−3负了c场，则这支球队的积分用多项式可以表示为．【变式31】（2425七年级上·上海·期中）用代数式表示“x的213减去y的差”是【变式32】（2025·陕西咸阳·模拟预测）九连环作为一种中国传统民间玩具，是由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成，其俯视图可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环，如图所示，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，一个圆环的直径为b，则整个九连环的宽度可以表示为．（用含a，b的代数式表示）【变式33】（2425七年级下·全国·假期作业）学校报告厅第一排有a个座位，第二排有a+2个座位，第三排有a+4个座位，后面每一排比前面一排多2个座位．第n排有（）个座位．A．a+2n B．a+2n−1 C．2n D．a+2n+2【题型4代数式求值】【例4】如果代数式−2a2+3b+8的值为1，那么代数式4A．14 B．16 C．18 D．20【变式41】（2526七年级上·全国·周测）小明在计算41−N时，误将“−”看成“+”，结果得13，则41−N的值为（

）A．−28 B．32 C．69 D．−54【变式42】（2425七年级上·广东东莞·期末）若3−m2+n+2=0，则A．17 B．−17 C．1 D．−1【变式43】（2425七年级上·河北邯郸·期末）数学家欧拉最先用fx来表示关于x的多项式．如对于fx=x+1：当x=−2时，则f−2=−2+1，当x=a时，则fa=a+1．若规定fx=x+3，下列结论中：①f−1=2；②A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型5整式及整式有关的概念】【例5】（2425七年级上·河南商丘·期中）多项式m−4xm−2+x−5是关于x的二次三项式，则mA．0 B．4 C．4或0 D．4或1【变式51】（2425七年级上·河南驻马店·期中）下列式子：−13，a3，−π，−5x2y3，2xy2，【变式52】下列说法中正确的是（

）A．多项式−3x2−5B．单项式−5πxy2zC．π2D．把x3+xy2【变式53】已知多项式−7ambn+5ab2−1（m，n为正整数且A．−1 B．3或−4 C．−1或4 D．−3或4【题型6（合并）同类项】【例6】（2425九年级下·河南周口·阶段练习）若关于b的单项式bm与nb2024相加等于0，则【变式61】（2425七年级上·全国·期末）下列各组式子中是同类项的是（）A．ac与ab B．3a与5a2 C．3ab2与5a【变式62】（2425七年级上·北京·期中）请写出一个与−ab2为同类项的整式：【变式63】已知−5a2mb和8A．−xmy2与12C．x3y4与−4xm+1【题型7去（添）括号】【例7】（2425七年级上·河北衡水·阶段练习）下列去括号正确的是（

）A．a+b+c=ab+c C．a+2b−c=a+2b−c 【变式71】已知x=113，y=−12，【变式72】已知x−( A．y−z B．z−y C．y+z D．−y−z【变式73】已知x2+2xy=4，y2+xy=5【题型8整式加减运算与化简求值】【例8】（2425七年级上·上海·期中）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即5+6=11，若a,b满足|a−3|+(b+1)2=0，则图2中y【变式81】（2425七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算．(1)2x(2)−x=5【变式82】（2425七年级上·贵州遵义·期中）设M=x2+4mx−3，N=2x2+4mx−2，那么A．M>N B．M=N C．M<N D．无法确定【变式83】（2425九年级上·江苏南通·期中）已知3x2−4xy+7y2−2m=−17，A．−41 B．−412 C．−7【拔尖篇】【题型9程序框图中求代数式的值】【例9】（2425七年级上·福建福州·期中）远古时期，人们通过绳子打结的方式来记录数量，如图1为一队互相合作打猎的猎人在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，记录了他们一天之内所打的猎物数量．若把这个量的十进制数输入如图2的程序计算，则最后输出的结果是．【变式91】（2425六年级下·山东泰安·期末）如图，关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为2，则最后输出因变量y的值为A．3 B．8 C．63 D．64【变式92】（2425七年级上·四川达州·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2025次输出的结果是（

）A．8 B．4 C．2 D．5【变式93】（2025·四川达州·二模）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为5，则输出y值为．【题型10几何图形中求代数式的值】【例10】（2425七年级上·贵州遵义·期中）下列四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（

）A．ab−(a−2)(b−3) B．2b+3(a−2)C．2(b−3)+3(a−2)+6 D．3a+2(b−2)【变式101】（2425七年级上·河北邯郸·期末）如图所示是一个长方形．（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S=；（2）若x=4，求S的值．【变式102】（2425七年级上·全国·期末）如图，7个完全相同的小长方形刚好拼成一个大长方形，若小长方形的宽为a，则大长方形的周长是．【变式103】（2425七年级下·河南郑州·期中）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（

）①ac−b−cc；②a−cc+bc；③a−cc+A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤【题型11数式规律探究】【例11】（2425七年级上·贵州·期末）下列图案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（

）．A．2n+1 B．2n+2 C．3n+1 D．3n+2【变式111】（2425七年级下·湖南岳阳·开学考试）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”．图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则A．17 B．27 C．39 D．45【变式112】（2425七年级上·河南郑州·期末）莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（

）A．302 B．301 C．303 D．300【变式113】（2425八年级下·重庆巴南·期末）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要16根，第③个图形需要23根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（

）A．85 B．81 C．76 D．72【题型12整式加减中的无关项问题】【例12】（2425七年级上·江苏南通·期中）关于x，y的多项式x2+ax−y+b与多项式bx2−3x+6y−3的差的值与字母x【变式121】（2425七年级上·吉林·期中）若关于x、y的多项式8x2−3xy−y【变式122】（2425七年级上·山东日照·期末）已知含字母m，n的代数式是：3m(1)化简这个代数式．(2)小明取m，n互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于0．那么小明所取的字母n的值等于多少？(3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母n取一个固定的数，无论字母m取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母n的值是多少呢？【变式123】（2425七年级上·广东韶关·阶段练习）阅读与思考:阅读下列材料，完成后面任务．一天，我在某杂志上看到这样一道题：小红和小英在完成题目“化简T(x−1)+3(x−4)+5”时，发现系数“T”被墨迹污染了，下面是她俩的对话：小红：小英，我想，被墨迹污染的系数T是−4啦!我查了一下，这道题的答案是一个常数呀！任务：(1)根据材料中小红的话，化简式子T(x−1)+3(x−4)+5．(2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“T”及该式子的结果．【题型13整式加减中的多结论问题】【例13】（2425七年级上·浙江宁波·期末）如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙．若想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：甲说：只需要知道①与③的周长和；乙说：只需要知道①与⑤的周长和；丙说：只需要知道③与④的周长和；丁说：只需要知道⑤与①的周长差；下列说法正确的是（

）A．只有甲正确 B．甲和乙均正确 C．乙和丙均正确 D．只有丁正确【变式131】（2425六年级上·山东烟台·期末）关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论：①−5xA．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④【变式132】有依次排列的两个整式：x,x+3，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减左边的整式，将所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：x,3,x+3，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，①第二次操作后的整式串为：x,3−x,3,x,x+3；②第二次操作后，当x＜−3或③第四次操作后的整式串共有19个整式；④第2022次操作后，所有整式之和为2x+6069；上述结论中，正确的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【变式133】（2425七年级下·山东青岛·期末）有依次排列的2个整式：x+y，x−y．将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式3x+y，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式5x−y，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式11x+y，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法：①第六次操作得到的整式为85x−y；②第20个整式中含x项的系数的2倍与第21个整式中含x项的系数之差为1；③第2025个整式和第2026个整式中含x项的系数之和等于22025其中正确的有．【题型14整式加减的实际应用】【例14】（2425七年级上·江苏南通·阶段练习）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）：用户月用水量单价不超过12立方米的部分a元/立方米超过12立方米但不超过20立方米的部分1.5a元/立方米超过20立方米的部分2a元/立方米(1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示）(2)设某户月用水量为n立方米，当a=2.5时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？(3)当a=2时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含x的式子表示）【变式141】（2526七年级上·全国·随堂练习）某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过15m3，每立方米a元；超过部分每立方米(a+2)元．若该地区某家庭上月用水量为【变式142】（2425七年级上·广东韶关·阶段练习）项目式学习．【主题】剪纸．【素材】一张边长为a的正方形纸片、剪刀等．【操作】从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）．【探究】(1)求新长方形的周长（用含有a，b的代数式表示）；(2)求美术字“5”的图案的周长（用含有a，b的代数式表示）；(3)若a=8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的周长．【变式143】（2425七年级上·福建莆田·期末）在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性．以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a,b，则通常记这个两位数为ab，于是ab=10a+b=9a+a+b，显然，9a能被3整除，因此，若a+b能被3整除，那么9a+根据上述材料，解答下列问题：(1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号）①25；②225；③1025．(2)用含a、b、c的代数式表示三位数abc=___________（其中a是百位数，b是十位数，c(3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数abc的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除．【题型15与绝对值有关的化简】【例15】（2425七年级下·重庆·开学考试）x是有理数，|x−5|+|x−7|+|x+6|+|x−9|的最小值是．【变式151】（2425七年级上·全国·期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C．化简：|a+b|−2|c−b|−|c−a|=．【变式152】（2425七年级上·北京·期中）1．已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，（1）化简：3a+b−c−2a（2）若a,c两数的倒数是他们自身，当x的范围是时，x−a+x−c有最小值，最小值为（3）在（2）的条件下，若未知数x、y满足x−a+x−3y−2+y−c【变式153】（2425七年级上·安徽滁州·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①abc>0；②a−b+c<0；③aa+bb+A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型16探索与表达