2025-2026学年河南省九师联盟高二上学期10月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省九师联盟2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.已知点是点在坐标平面内的射影，则（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】因为是点在坐标平面内的射影，所以，，所以，故选：B.3.下列命题错误的是（）A.零向量不能作为直线的一个方向向量B.若向量是平面的一个法向量，则也是平面的一个法向量C.在长方体中，是底面的一个法向量D.单位向量都是相等向量【答案】D【解析】由直线的方向向量规定为一个非零向量，所以不能作为直线的一个方向向量，故A正确；向量是平面的一个法向量,则共线向量也是平面的一个法向量，故B正确；在长方体中，因为侧棱与底面垂直，所以是底面的一个法向量，故C正确；单位向量模相等，但方向不一定相同，故不一定是相等向量，故D错误.故选：D.4.若平面，的法向量分别为，，则平面与的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定【答案】C【解析】平面，的法向量分别为，，则不平行，则平面，不平行，又，则平面，不垂直，故平面与相交但不垂直.故选：C.5.已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为是平面的一个法向量，所以，故，即，故选：B.6.如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接，如图，由题意可知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，又平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，由，，知为的中点，则，,,，设平面的一个法向量，则，令，则，即，设直线与平面所成角为，则，故选：C.7.已知空间向量，，共面，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】由共面可知，存在实数使得，即，所以，解得.故选：A.8.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是四边形内部的一点，且平面与平面的夹角为，则点的轨迹的长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则.由平面与平面的夹角为，知点在以为端点的一条线段上，设直线与轴的交点为，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，则取，故平面的一个法向量为.又由平面与平面的夹角为，得，解得，所以点的轨迹的长度为.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.向量，夹角为B.C.若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为D.向量在向量上的投影向量为【答案】AC【解析】选项A：计算数量积：，模长：，，夹角余弦：，因此

，故选项A正确；选项B：计算：，，模长：，故选项B错误；选项C：以，为邻边的平行四边形的面积，故选项C正确；选项D：向量在向量上的投影向量为：，，，代入得：，故选项D错误.故选：AC.10.如图，在平行六面体中，与相交于点，记，，，为的重心，则（）A. B.C D.【答案】BC【解析】由，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：BC.11.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（）A.的长度的最大值为B.若平面，则点为的一个三等分点C.平面截正方体所得截面的周长为D.直线与平面所成角的正弦值最大为【答案】ABD【解析】A：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，当时，长度的最大值为，此时点与点重合，故本选项正确；B：，设平面的法向量为，，，所以有，可取，当平面时，则有，则有，即，，，显然，所以点为的一个三等分点，因此本选项正确；C：如上图所示：截面是五边形，显然，由平面几何知识可知，因为，所以，得，同理，可得，于是，，，，所以平面截正方体所得截面的周长为，因此本选项说法不正确；D：由上可知平面的法向量为，，直线与平面所成角的正弦值为，因为，所以有，当且仅当时取等号，于是有，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值最大为，因此本选项说法正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.点关于轴对称的点的坐标为______.【答案】【解析】根据空间直角坐标系的定义，可得点关于轴对称的点的坐标为.故答案为：.13.在空间直角坐标系中，轴上一点到点和的距离相等，则点的坐标为______.【答案】【解析】设，因为，所以，解得，故点的坐标为.故答案为：.14.如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______.【答案】【解析】由题知，设，则，又，且，因为，，，四点共面，所以，即，又因为，则，即，所以，所以，所以，所以，解得，故，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量（其中，为实数）是直线的方向向量，向量是平面的法向量.（1）若，求的最小值；（2）若，求，的值.解：（1）由向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，若，则，可得，所以，则，当时，取得最小值，最小值为.（2）若，可得，所以，可得，由，代入可得.16.已知是空间的一个基底，向量.（1）证明：是空间的另一个基底；（2）用基底表示向量．（1）证明：由是空间的一个基底，得不共面，假设向量共面，则必存在唯一的实数对，使得，即，则共面，与不共面矛盾，因此不共面，所以是空间的另一个基底.（2）解：用基底表示向量，则，又，因此，解得，所以.17.如图，在平行六面体中，，且，.（1）分别求，的长；（2）证明：.（1）解：因为，且，，故，又，故，由于，所以，（2）证明：，所以．18.如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，⊥底面，，为的中点，.（1）证明：平面；（2）当时，求的中点到平面的距离；（3）当直线与平面所成的角为时，求的值.（1）证明：是边长为的正方形，，又平面，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，为的中点，，取的中点，则，所以，，，平面，平面.//平面.（2）解：，设平面的一个法向量为，则令，则，得.当时，为的中点，.设的中点为，则，.点到平面的距离．故的中点到平面的距离.（3）解：，，，由（2）知平面一个法向量.设直线与平面所成的角为，则.即，解得或（舍去），故当时，直线与平面所成的角为.19.如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，.（1）证明：平面；（2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且.（i）若平面和平面的夹角为，求的最大值；（ii）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由.（1）证明：因为，所以，所以，故．又平面，所以平面．又平面，所以．因为，所以，所以，即．又平面，所以平面．（2）解：如图，取的中点，连接，则．以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．设，由，得．又在长方形外，和均为锐角，所以．可化为，两边平方后，整理得，故，整理可得．（i）解：设平面的法向量为，由，得取，得，故平面的一个法向量为．设平面的法向量为．得取，得，故平面的一个法向量为．则．令，则，所以．由函数单调递增，得当时，取最大值，最大值为．（ii）解：设和交于点，则．若五棱锥存在外接球，则球心在过点且垂直于平面的直线上，设球心，必有．，解得，，则．又，所以，解得或，由题知，且，即，但都不在这个范围内，故不存在点，使得五棱锥存在外接球．

河南省九师联盟2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.已知点是点在坐标平面内的射影，则（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】因为是点在坐标平面内的射影，所以，，所以，故选：B.3.下列命题错误的是（）A.零向量不能作为直线的一个方向向量B.若向量是平面的一个法向量，则也是平面的一个法向量C.在长方体中，是底面的一个法向量D.单位向量都是相等向量【答案】D【解析】由直线的方向向量规定为一个非零向量，所以不能作为直线的一个方向向量，故A正确；向量是平面的一个法向量,则共线向量也是平面的一个法向量，故B正确；在长方体中，因为侧棱与底面垂直，所以是底面的一个法向量，故C正确；单位向量模相等，但方向不一定相同，故不一定是相等向量，故D错误.故选：D.4.若平面，的法向量分别为，，则平面与的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定【答案】C【解析】平面，的法向量分别为，，则不平行，则平面，不平行，又，则平面，不垂直，故平面与相交但不垂直.故选：C.5.已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为是平面的一个法向量，所以，故，即，故选：B.6.如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接，如图，由题意可知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，又平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，由，，知为的中点，则，,,，设平面的一个法向量，则，令，则，即，设直线与平面所成角为，则，故选：C.7.已知空间向量，，共面，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】由共面可知，存在实数使得，即，所以，解得.故选：A.8.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是四边形内部的一点，且平面与平面的夹角为，则点的轨迹的长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则.由平面与平面的夹角为，知点在以为端点的一条线段上，设直线与轴的交点为，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，则取，故平面的一个法向量为.又由平面与平面的夹角为，得，解得，所以点的轨迹的长度为.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.向量，夹角为B.C.若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为D.向量在向量上的投影向量为【答案】AC【解析】选项A：计算数量积：，模长：，，夹角余弦：，因此

，故选项A正确；选项B：计算：，，模长：，故选项B错误；选项C：以，为邻边的平行四边形的面积，故选项C正确；选项D：向量在向量上的投影向量为：，，，代入得：，故选项D错误.故选：AC.10.如图，在平行六面体中，与相交于点，记，，，为的重心，则（）A. B.C D.【答案】BC【解析】由，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：BC.11.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（）A.的长度的最大值为B.若平面，则点为的一个三等分点C.平面截正方体所得截面的周长为D.直线与平面所成角的正弦值最大为【答案】ABD【解析】A：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，当时，长度的最大值为，此时点与点重合，故本选项正确；B：，设平面的法向量为，，，所以有，可取，当平面时，则有，则有，即，，，显然，所以点为的一个三等分点，因此本选项正确；C：如上图所示：截面是五边形，显然，由平面几何知识可知，因为，所以，得，同理，可得，于是，，，，所以平面截正方体所得截面的周长为，因此本选项说法不正确；D：由上可知平面的法向量为，，直线与平面所成角的正弦值为，因为，所以有，当且仅当时取等号，于是有，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值最大为，因此本选项说法正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.点关于轴对称的点的坐标为______.【答案】【解析】根据空间直角坐标系的定义，可得点关于轴对称的点的坐标为.故答案为：.13.在空间直角坐标系中，轴上一点到点和的距离相等，则点的坐标为______.【答案】【解析】设，因为，所以，解得，故点的坐标为.故答案为：.14.如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______.【答案】【解析】由题知，设，则，又，且，因为，，，四点共面，所以，即，又因为，则，即，所以，所以，所以，所以，解得，故，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量（其中，为实数）是直线的方向向量，向量是平面的法向量.（1）若，求的最小值；（2）若，求，的值.解：（1）由向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，若，则，可得，所以，则，当时，取得最小值，最小值为.（2）若，可得，所以，可得，由，代入可得.16.已知是空间的一个基底，向量.（1）证明：是空间的另一个基底；（2）用基底表示向量．（1）证明：由是空间的一个基底，得不共面，假设向量共面，则必存在唯一的实数对，使得，即，则共面，与不共面矛盾，因此不共面，所以是空间的另一个基底.（2）解：用基底表示向量，则，又，因此，解得，所以.17.如图，在平行六面体中，，且，.（1）分别求，的长；（2）证明：.（1）解：因为，且，，故，又，故，由于，所以，（2）证明：，所以．18.如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，⊥底面，，为的中点，.（1）证明：平面；（2）当时，求的中点到平面的距离；（3）当直线与平面所成的角为时，求的值.（1）证明：是边长为的正方