专题02 一元二次函数、方程和不等式（讲义全国适用）（原卷版及全解全析）

2/24专题02一元二次函数、方程和不等式目录学考要求速览必备知识梳理目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：等式与不等式性质考点二：基本不等式考点三：二次函数考点四：一元二次不等式进阶分级训练1.理解并掌握等式的基本性质；2.掌握比较两个实数大小的基本方法；3.理解并掌握不等式的基本性质；4.理解基本不等式及其几何意义；5.会利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题；6.了解几个重要的常用不等式；7.掌握一元二次不等式的解法，并能用区间表示解集；8.会解简单的分式不等式、会解简单的根式不等式、会解简单的指数、对数不等式。知识点1等式的性质性质1如果，那么；性质2如果，，那么；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么；知识点2比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：；；另外，若，则有；；.知识点3不等式的性质性质别名性质内容1对称性a>b⇔ba2传递性a>b,b>c⇒ac3可加性a>b⇔a+cb+c推论1：a+b>c⇔a>c−b；推论2：a>b,c>d⇒a+c>b+d4可乘性a>b,c>0⇒acbca>b,c<0⇒ac<bc；推论3：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd；推论4：a>b>0⇒anbn（n∈N推论5：a>b>0⇒5取倒数a>b,ab>0⇒1a1知识点4基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2≥ab（当且仅当说明：①对于非负数a,b，我们把a+b2称为a,b的，ab称为a,b的②我们把不等式ab≤a+b③“当且仅当a=b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有ab=a+b2；另一方面当④结构特点：和式与积式的关系.知识点5利用基本不等式求最值①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值；②已知x，y是正数，如果和x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值．知识点6几个重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a变形式：（a，b∈R）（当且仅当a=b时取等号）.（2）基本不等式：（a>0，b>0）（当且仅当a=b时取等号）.变形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，则ba+ab≥2知识点7基本不等式链a2+b22≥≥知识点8解一元二次不等式判别式ΔΔΔΔ二次函数y=ax一元二次方程ax有两个相异实根x1，x2（有两个相等实根x没有实根一元二次不等式axx|x≠−一元二次不等式ax写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件．（1）x∈R，ax2+bx+c>0a≠0恒成立的充要条件是且（2）x∈R，ax2+bx+c≥0a≠0恒成立的充要条件是且（3）x∈R，ax2+bx+c<0a≠0恒成立的充要条件是且（4）x∈R，ax2+bx+c≤0a≠0恒成立的充要条件是且知识点9解分式不等式①②③④知识点10解根式、高次不等式根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解.知识点11解指对数不等式指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0.考点精讲讲练考点一：等式与不等式性质例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）若实数x，y满足，，则的取值范围是.例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．例题3．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．1．（2025高二上·云南·学业考试）已知，，都是实数.若，则（

）A． B． C． D．2．（2025高二上·黑龙江·学业考试）若，则（

）A． B．C． D．3．（2025·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．4．（2025高二下·浙江·学业考试）（多选）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（

）A．， B．，，C．， D．，，5．（2025高二下·陕西·学业考试）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考点二：基本不等式例题1．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则的最小值为（

）A．1 B．4 C．8 D．16例题2．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（

）A． B．0 C．4 D．1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设，，且，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．22．（2025高二下·湖南·学业考试）若是正数，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．83．（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知，则的最大值为．5．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数.(1)求证：是奇函数；(2)当时，求的最小值.考点三：二次函数例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的值域为（

）A． B． C． D．例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点.(1)求的解析式；(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.1．如果函数，那么函数的值域为（

）A． B． C． D．2．已知二次函数经过，，.(1)求函数的解析式；(2)求，，.3．已知二次函数经过点.(1)求函数的解析式；(2)若，求函数的最小值和最大值.4．已知是二次函数，且．函数(1)求的解析式；求函数的定义域．(2)若，求函数的最小值和最大值．考点四：一元二次不等式例题1．（2025高二下·北京·学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C． D．或1．（2025高三上·广东·学业考试）解不等式的解集为．2．（2025高二下·湖南·学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或3．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为.4．若，是真命题，则实数的取值范围是．（结果用集合表示）训练1．若，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．2．已知，，均为实数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，则的范围是（

）A． B． C． D．5．若且，则的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．166．已知正数、满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B．9 C． D．139．不等式的解集为．10．不等式的解集为．11．不等式的解集为．12．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为．13．若，且，则的最小值是（

）A．16 B．25 C．4 D．514．已知，且，则的最小值是（

）A．4 B．6 C．7 D．815．若，且，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．16．已知，，，则（

）A． B． C． D．17．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．18．不等式的解集是（

）．A． B． C． D．19．已知二次函数的值域为，则的最小值为.

专题02一元二次函数、方程和不等式目录学考要求速览必备目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：等式与不等式性质考点二：基本不等式考点三：二次函数考点四：一元二次不等式进阶分级训练1.理解并掌握等式的基本性质；2.掌握比较两个实数大小的基本方法；3.理解并掌握不等式的基本性质；4.理解基本不等式及其几何意义；5.会利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题；6.了解几个重要的常用不等式；7.掌握一元二次不等式的解法，并能用区间表示解集；8.会解简单的分式不等式、会解简单的根式不等式、会解简单的指数、对数不等式。知识点1等式的性质性质1如果，那么_____；性质2如果，，那么____；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么____；知识点2比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：；；另外，若，则有；；.知识点3不等式的性质性质别名性质内容1对称性a>b⇔b＜a2传递性a>b,b>c⇒a＞c3可加性a>b⇔a+c＞b+c推论1：a+b>c⇔a>c−b；推论2：a>b,c>d⇒a+c>b+d4可乘性a>b,c>0⇒ac＞bca>b,c<0⇒ac<bc；推论3：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd；推论4：a>b>0⇒an＞bn（n∈N推论5：a>b>0⇒5取倒数a>b,ab>0⇒1a＜1知识点4基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2≥ab（当且仅当说明：①对于非负数a,b，我们把a+b2称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数②我们把不等式ab≤a+b③“当且仅当a=b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当a=b时，有ab=a+b2；另一方面当ab=④结构特点：和式与积式的关系.知识点5利用基本不等式求最值①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2P②已知x，y是正数，如果和x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值．S2知识点6几个重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a变形式：ab≤a2+b22（（2）基本不等式：ab≤a+b2（a>0，b>0变形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，则ba+ab≥2知识点7基本不等式链a2+b22≥a+b2≥知识点8解一元二次不等式判别式ΔΔΔΔ二次函数y=ax一元二次方程ax有两个相异实根x1，x2（有两个相等实根x没有实根一元二次不等式axx|x<x1或x|x≠−R一元二次不等式axx|x∅∅写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件．（1）x∈R，ax2+bx+c>0a≠0恒成立的充要条件是a>0且（2）x∈R，ax2+bx+c≥0a≠0恒成立的充要条件是a>0且（3）x∈R，ax2+bx+c<0a≠0恒成立的充要条件是a<0且（4）x∈R，ax2+bx+c≤0a≠0恒成立的充要条件是a<0且知识点9解分式不等式①②③④知识点10解根式、高次不等式根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解.知识点11解指对数不等式指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0.考点精讲讲练考点一：等式与不等式性质例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）若实数x，y满足，，则的取值范围是.【答案】【分析】根据不等式的性质计算即可求解.【详解】由，得，又，所以.即的取值范围为.故答案为：例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D.【详解】当时，，即，故A错误；当时，，故B错误；当时，，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D例题3．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质进行判断即可.【详解】因为，且，所以，，故CD错误；因为，，所以即恒成立，故A正确；取，，则，但此时，故B未必成立.故选：A1．（2025高二上·云南·学业考试）已知，，都是实数.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD.【详解】对于AB，，，A正确，B错误；对于CD，当时，，都无意义，CD错误.故选：A2．（2025高二上·黑龙江·学业考试）若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.【详解】因为，则当时，，A说法错误；因为，所以，B说法错误；因为，所以，C说法错误，D说法正确；故选：D3．（2025·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B.【详解】对于A，若，则，，故A错误；对于B，因为，故，故B正确；对于C、D，若，，，故C、D错误，故选：B．4．（2025高二下·浙江·学业考试）（多选）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（

）A．， B．，，C．， D．，，【答案】AB【分析】由不等式性质判断AB正确，举反例说明CD错误即可.【详解】由不等式性质可知AB正确；对于C，当，时，不成立，故C错误；对于D，当时，不成立，故D错误.故选：AB.5．（2025高二下·陕西·学业考试）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】取特值可判断A；利用函数单调性判断BC；作差法判断D.【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题；对于B，因为函数在上单调递增，若，则，故B是真命题；对于C，若，因为函数在上单调递增，所以，故C是真命题；对于D，若，则，所以，故D是真命题.故选：BCD.考点二：基本不等式例题1．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则的最小值为（

）A．1 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】由基本不等式可得答案.【详解】，当且仅当，即时取等号.故选：C例题2．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】由基本不等式求最值即可.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，故选：D例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（

）A． B．0 C．4 D．【答案】D【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】因为，则，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：D1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设，，且，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解.【详解】由，得，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为2.故选：D2．（2025高二下·湖南·学业考试）若是正数，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】利用均值不等式即可求解．【详解】由，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，也即，再次根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立，故的最小值是4.故选：C3．（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】因，则，则，等号成立时.故的最小值是.故选：C4．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知，则的最大值为．【答案】【分析】利用重要不等式，注意等号成立条件，可得答案.【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则.故答案为：.5．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数.(1)求证：是奇函数；(2)当时，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据奇函数定义即可得证；（2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）因的定义域为.对于任意，都有，且，故是奇函数.（2）已知，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，函数取得最小值4.考点三：二次函数例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用配方法可求出原函数的值域.【详解】因为，当且仅当时，等号成立，故函数的值域为.故选：D.例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点.(1)求的解析式；(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式；（2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得.【详解】（1）设，由可得：，即得，解得，故得，又的图象经过点，则，故；（2）由可得，依题意，对，不等式恒成立，故，解得，即实数的取值范围为.1．如果函数，那么函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果.【详解】，开口向上，对称轴为直线，在区间上单调递增，，时，的值域是.故选：C2．已知二次函数经过，，.(1)求函数的解析式；(2)求，，.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）设出，将三点代入解出即可；（2）根据函数解析式直接代入求解即可.【详解】（1）设函数，因为经过，，，所以，解得，所以.（2）由（1）可得，所以，，，.3．已知二次函数经过点.(1)求函数的解析式；(2)若，求函数的最小值和最大值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）根据二次函数的性质，结合函数图象，进而求得其最值.【详解】（1）设二次函数为，因为函数经过点，可得，解得，所以函数的解析式.（2）函数，开口向下，对称轴方程为，即函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小，又或时，；时，，函数的最小值，最大值.4．已知是二次函数，且．函数(1)求的解析式；求函数的定义域．(2)若，求函数的最小值和最大值．【答案】(1)；(2)函数的最小值为-4，最大值为5.【分析】（1）设，将已知条件代入求得，进而得到的解析式；根据的解析式即可确定其定义域.（2）根据二次函数的性质和的范围求出最值即可.【详解】（1）设，根据题意得，解得.所以的解析式为.因为，要使得函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为.（2）由（1）可得，则.因为，根据二次函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为.又，，所以的最小值为-4.考点四：一元二次不等式例题1．（2025高二下·北京·学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可.【详解】解不等式，得，所以不等式的解集为.故选：B例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】将二次项系数为负的一元二次不等式转化为二次项系数为正的一元二次不等式，利用十字相乘法因式分解，再根据同号为正，异号为负列出不等式组，解不等式组即可得到解集.【详解】可化为，即，可得或，解得，所以不等式的解集为，故选：A.例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】直接解一元二次不等式即可求解.【详解】不等式可化为，则解集为，故选：A.1．（2025高三上·广东·学业考试）解不等式的解集为．【答案】或【分析】借助一元二次不等式的解法解出即可得.【详解】，则或，即该不等式的解集为或.故答案为：或.2．（2025高二下·湖南·学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集.【详解】令，所以或.解得，.所以不等式的解集是.故选：A.3．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】分和两种情况，列出相应的不等关系，即可求得答案.【详解】当时，原不等式为恒成立，则符合题意；当时，需使，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：4．若，是真命题，则实数的取值范围是．（结果用集合表示）【答案】【分析】讨论k是否等于0，结合判别式列出不等式，即可求得答案.【详解】由题意知，是真命题，当时，即有恒成立，符合题意；当时，则需满足，解得，综合得实数的取值范围是，故答案为：训练1．若，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意及不等式的性质依次判断各项的正误.【详解】当且，则，，A、B错，由题设，则，且，C错，D对.故选：D2．已知，，均为实数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】C【分析】结合不等式的性质逐项分析即可.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，由题设，所以，故B错误；对于C，由，则，故C正确；对于D，因为，，所以，故D错误.故选：C.3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可.【详解】当时，满足，但不满足；当时，，则.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．若，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由可得，故，故选：D5．若且，则的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】B【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】由基本不等式可得：，所以，当且仅当时等号成立；所以的最大值为；故选：B6．已知正数、满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值.【详解】因为正数、满足，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为．故选：C.7．已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.【详解】因为，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.故选：B8．已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B．9 C． D．13【答案】C【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】由，则，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C.9．不等式的解集为．【答案】【分析】根据二次不等式的解法直接求解即可．【详解】，即，所以.故答案为：．10．不等式的解集为