2025年广东省广州市番禺区中考数学三模试卷

第54页（共54页）2025年广东省广州市番禺区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2025•番禺区三模）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．（3分）（2025•番禺区三模）如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（）A．3 B．±3 C．6 D．±64．（3分）（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO5．（3分）（2024•天津）估计10的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间6．（3分）（2018•广州）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（）A．12 B．13 C．14 7．（3分）（2025•番禺区三模）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数y=5x的图象上，则x1，x2，A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x38．（3分）（2024•无锡）下列命题中，是真命题的为（）A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形9．（3分）（2024•天津）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（）A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE10．（3分）（2024•天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2025•番禺区三模）0.00000032用科学记数法表示为．12．（3分）（2025•番禺区三模）若代数式xx-4有意义，则实数x的取值范围是13．（3分）（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于cm．14．（3分）（2024•扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为15．（3分）（2024•扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106157264527105615872650盖面朝上频率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为.（精确到0.01）16．（3分）（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．（1）若cos∠ABC=34，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为（2）若PQBQ=1915，则BKAK三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）17．（7分）（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．18．（7分）（2024•南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．19．（7分）（2025•番禺区三模）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：min）数据统计表实验序号12345678910A线路时间15321516341821143520B线路时间25292325272631283024根据以上信息解答下列问题：平均数中位数众数方差极差A线路所用时间22a15d21B线路所用时间b26.5c6.36e（1）请直接写出a，c的值，并求出b，d，e三个数量的值；（2）应用你所学的统计知识帮助小红分析如何选择乘车线路，并利用至少2个统计量说明理由．20．（7分）（2015•广州）已知A=x（1）化简A；（2）当x满足不等式组x-1≥0x-321．（7分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=kx（x＞0）的图象于点①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．22．（7分）（2024•无锡）如图，在△ABC中，AB＜AC．（1）尺规作图：求作点D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，若BC＝8，tan∠ACB=34，则CD＝23．（7分）（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．24．（13分）（2024•天津）将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点B，C在第一象限，且OC＝2，∠AOC＝60°．（Ⅰ）填空：如图①，点C的坐标为，点B的坐标为；（Ⅱ）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C′．设OP＝t．①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO′C′Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O′C′与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S，当23≤t25．（10分）（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且-c＜m＜b2，过点M作（1）若b＝﹣2，c＝3．①求点P和点A的坐标；②当MN=2时，求点（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当AN+3MN=9

2025年广东省广州市番禺区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADBBCCBDDC一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2025•番禺区三模）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【考点】平方差公式；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】根据积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则判断即可．【解答】解：A、a2+a3不是同类项不能计算，故A不正确；B、（ab）2＝a2b2，故B不正确；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不正确；D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正确；故选：D．【点评】本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则的应用，熟练的运用法则是解题关键．3．（3分）（2025•番禺区三模）如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（）A．3 B．±3 C．6 D．±6【考点】完全平方式．【专题】符号意识；运算能力．【答案】B【分析】根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得m的值．【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，∴2m＝±6，∴m＝±3，故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的平方和加减积的2倍，注意符合条件的m值有两个．4．（3分）（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【考点】直角三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．【答案】B【分析】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论．【解答】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故选：B．【点评】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．5．（3分）（2024•天津）估计10的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；数感．【答案】C【分析】根据二次根式的性质得出9＜【解答】解：∵9＜∴3＜10＜即10在3和4之间．故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出10的范围，题目比较典型，难度不大．6．（3分）（2018•广州）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（）A．12 B．13 C．14 【考点】列表法与树状图法．【专题】常规题型．【答案】C【分析】直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案．【解答】解：如图所示：，一共有4种可能，取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况，故取出的两个小球上都写有数字2的概率是：14故选：C．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确得出所有的结果是解题关键．7．（3分）（2025•番禺区三模）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数y=5x的图象上，则x1，x2，A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】B【分析】根据反比例函数性质即可判断．【解答】解：∵k＝5＞0，∴反比例函数y=5x的图象分布在第一、三象限，在每一象限y∵点B（x2，1），C（x3，5），都在反比例函数y=5x的图象上，1∴x2＞x3＞0．∵﹣1＜0，A（x1，﹣1）在反比例函数y=5x∴x1＜0，∴x1＜x3＜x2．故选：B．【点评】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，正确进行计算是解题关键．8．（3分）（2024•无锡）下列命题中，是真命题的为（）A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定判断即可．【解答】解：A、一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、一组对边相等且对角线互相平分的四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形，是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．（3分）（2024•天津）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（）A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE【考点】旋转的性质；平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】先根据旋转性质得∠BCE＝∠ACD＝60°，结合∠B＝30°，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC∥DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．【解答】解：设BF与CE相交于点H，如图所示：∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，∵∠B＝30°，∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°，∴BF⊥CE，故D选项正确；设∠ACH＝x°，∴∠ACB＝60°﹣x°，∵∠B＝30°，∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°，∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°，∵x°不一定等于30°，∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AB＝ED＝EF+FD，∴BA＞EF，故C选项不正确；故选：D．【点评】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．10．（3分）（2024•天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】C【分析】令h＝0，解方程求出t的值，即可判断①；求出h的最大值，即可判断②；分别求出t＝2和t＝5时h的值是，即可判断③．【解答】解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0，解得t1＝0，t2＝6，∴小球从抛出到落地需要6s，故①正确；②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45，∵﹣5＜0，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，∴小球运动中的高度可以是30m，故②正确；③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m），t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m），∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2025•番禺区三模）0.00000032用科学记数法表示为3.2×10﹣7．【考点】科学记数法—表示较小的数．【答案】见试题解答内容【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．（3分）（2025•番禺区三模）若代数式xx-4有意义，则实数x的取值范围是x≥0且x≠4【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】x≥0且x≠4．【分析】根据被开方数大于等于0及分母不为0，列不等式求解即可．【解答】解：由条件可知x≥0解得x≥0∴实数x的取值范围是x≥0且x≠4．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，分母不为0，掌握知识点是解题的关键．13．（3分）（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于10cm．【考点】切线的性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】10．【分析】连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则点E为餐盘与BC边的切点，由矩形的性质得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，则四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，设餐盘的半径为xcm，则OA＝OE＝xcm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则∠OEC＝90°，∵餐盘与BC边相切，∴点E为切点，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF=12AD=12×16设餐盘的半径为xcm，则OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盘的半径为10cm，故答案为：10．【点评】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．14．（3分）（2024•扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为23【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】23．【分析】作DG⊥x轴，垂足为G，利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果．【解答】解：设点B坐标为（m，km），则C（m，0∵A（1，0），∴AC＝m﹣1，由对称可知：AD＝m﹣1，∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°，作DG⊥x轴，垂足为G，∴AG=m-12∴D（m-12∵点D在反比例函数图象上，∴（m-12+1）•(在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴BC=33AC，即km=33（由①②解得k＝23．故答案为：23．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化、折叠问题，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．15．（3分）（2024•扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106157264527105615872650盖面朝上频率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53.（精确到0.01）【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；推理能力．【答案】0.53．【分析】根据表格中的数据可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，据此可得出结论．【解答】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53．故答案为：0.53．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．16．（3分）（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．（1）若cos∠ABC=34，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为9（2）若PQBQ=1915，则BKAK【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明．【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）9；（2）259【分析】（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC=34，可得CT=34BC，CM=34AC，故CT•CM=34BC•34AC=916BC•AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为（2）标识字母如图，设NT＝19t，证明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT•WT＝BT2，即CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．【解答】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT，∵cos∠ABC=3∴cos∠BCT=34，即∴CT=34∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，∴cos∠ACM＝cos∠ABC=34，即∴CM=34∴CT•CM=34BC•34AC=9∵△ABC的面积为16，∴12BC•AC＝16∴BC•AC＝32，∴CT•CM＝18，∴纸片Ⅲ的面积为12CT•BT=12CT•CM故答案为：9；（2）如图：∵PQBQ∴NTBT设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW（ASA），∴BN＝CW＝34t，∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT，∴BTWT∴CT•WT＝BT2，∴CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，解得CT＝9t或CT＝25t，当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；当CT＝25t时，WT＝9t，而BK＝CT，AK＝WT，∴BKAK故答案为：259【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）17．（7分）（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】见试题解答内容【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，x﹣1＝0，x﹣5＝0，x1＝1，x2＝5．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．18．（7分）（2024•南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．【考点】圆心角、弧、弦的关系；矩形的判定．【专题】矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见解析．【分析】由AC是⊙O的直径，可得∠B＝∠D＝90°，证明Rt△ABC≌Rt△CDA，得到AB＝CD，可证明四边形ABCD是平行四边形，即可解答．【解答】证明：∵对角线AC是⊙O的直径，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC和△CDA是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△CDA中，AC=∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），∴AB＝CD，又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．19．（7分）（2025•番禺区三模）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：min）数据统计表实验序号12345678910A线路时间15321516341821143520B线路时间25292325272631283024根据以上信息解答下列问题：平均数中位数众数方差极差A线路所用时间22a15d21B线路所用时间b26.5c6.36e（1）请直接写出a，c的值，并求出b，d，e三个数量的值；（2）应用你所学的统计知识帮助小红分析如何选择乘车线路，并利用至少2个统计量说明理由．【考点】方差；中位数；众数；极差．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】（1）a＝19，b＝26.8，c＝25，d＝63.2，e＝7；（2）见解析．【分析】（1）根据中位数，众数，平均数，方差的定义解答即可求解；（2）根据中位数，众数，平均数的意义解答即可求解．【解答】解：（1）从小到大顺序为：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10个数，中位数在第5和6个数为18和20，所以中位数为18+202=19，即a＝平均数b=因为B线路所用时间25出现的次数最多，所以众数c＝25，d=e＝31﹣24＝7；（2）答案一：因为小红统计的选择A线路平均数为22，选择B线路平均数为26.8，用时差不太多．而方差63.2＞6.36，所以相比较B路线的波动性更小，所以选择B路线更优．答案二：根据A众数为15小于B众数25，说明大多数出行次数耗时A比B更少，而A线路中位数19小于B线路中位数26.5，说明A线路出行超过一半次数耗时要比B线路的时长更少，所以选A路线更优．【点评】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差：熟练掌握以上知识点是关键．20．（7分）（2015•广州）已知A=x（1）化简A；（2）当x满足不等式组x-1≥0x-3【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．【解答】解：（1）A==(=x=1（2）∵x∴x∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x＝1或x＝2，①当x＝1时，∵x﹣1≠0，∴A=1x-1∴当x＝1时，A=1②当x＝2时，A=1【点评】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．21．（7分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=kx（x＞0）的图象于点①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．（2）①当n＝1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2，∴m＝3﹣2＝1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=k∴k＝3×1＝3，（2）①PM＝PN，证明如下：当n＝1时，P（1，1），令y＝1，代入y＝x﹣2，x﹣2＝1，∴x＝3，∴M（3，1），∴PM＝2，令x＝1代入y=3∴y＝3，∴N（1，3），∴PN＝2∴PM＝PN，②P（n，n），n＞0点P在直线y＝x上，∴M（n+2，n），∴PM＝2，∵PN≥PM，即PN≥2，∵PN＝|3n-n|3n∴0＜n≤1或n≥3【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．22．（7分）（2024•无锡）如图，在△ABC中，AB＜AC．（1）尺规作图：求作点D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，若BC＝8，tan∠ACB=34，则CD＝20039【考点】作图—复杂作图；解直角三角形．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）20039【分析】（1）利用基本作图，先作∠ACE＝∠ACB，再作∠FBC＝∠ACB，CE和BF相交于点D；（2）BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，如图，先利用等腰三角形的判定与性质证明BT＝CT＝4，再利用正切的定义求出JT＝3，则利用勾股定理可计算出JC＝5，所以BJ＝5，接着证明△DCJ∽△DBC，利用相似三角形的性质得到DJDC=JCBC=58，则可设DJ＝5x，则DC＝8x，然后利用DJ【解答】解：（1）如图，点D为所作；（2）BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，如图，∵∠JBC＝∠JCB，∴JB＝JC，∴BT＝CT=12BC＝在Rt△JCT中，∵tan∠JCT=JT∴JT＝3，∴JC=32∴BJ＝5，∵∠DCJ＝∠DBC，∠JDC＝∠CDB，∴△DCJ∽△DBC，∴DJDC设DJ＝5x，则DC＝8x，∵△DCJ∽△DBC，∴DJDC=DC解得x=25∴DC＝8x=200故答案为：20039【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质．23．（7分）（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）1；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴BCBE∴BC2＝BA•BE，由（1）知GE＝BE，∴BE=12∵AB＝2BO，∴BC2＝BA•BE＝2BO•12BG＝BG•BO（3）∠CAD＝45°，证明如下：解法一：如图，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，CO=∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如图，延长FO交AC于点H，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE=12BG，可证BC2＝BG•（3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，∠BCE∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴BCBE∴BC2＝BA•BE，由（1）知GE＝BE，∴BE=12∵AB＝2BO，∴BC2＝BA•BE＝2BO•12BG＝BG•BO（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：解法一：如图，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，CO=∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如图，延长FO交AC于点H，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．24．（13分）（2024•天津）将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点B，C在第一象限，且OC＝2，∠AOC＝60°．（Ⅰ）填空：如图①，点C的坐标为(1，3)，点B的坐标为(4（Ⅱ）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C′．设OP＝t．①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO′C′Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O′C′与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S，当23≤t【考点】四边形综合题．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】（I）(1，（II）①BE＝﹣2t+5；32②23【分析】（I）过点C作CH⊥OA，根据特殊角进行计算即可；（II）①分当O′与点A重合时和当C′与点B重合时，两种情况进行讨论；②根据不同情况分类讨论即可．【解答】解：（I）过点C作CH⊥OA，∵四边形OABC是平行四边形，OC＝2，∠AOC＝60°，A（3，0），∴OC＝AB＝2，CB＝OA＝3，∠B＝∠AOC＝60°，∵CH⊥OA，∴∠OCH＝30°，∴OH=∴CH=∴C(1∵CB＝OA＝3，∴B(4故答案为：(1，3)（II）①∵过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，∴∠OO'C″＝∠AOC＝60°，O′P＝OP，∴OO′＝2OP＝2t，∵A（3，0），∴OA＝3，∴AO'＝OO'﹣OA＝2t﹣3，∵四边形OABC为平行四边形，∴AB＝OC＝2，AB∥OC，∠O'AB＝∠AOC＝60°，∴△EO′A是等边三角形，∴AE＝AO′＝2t﹣3，∵BE＝AB﹣AE，∴BE＝AB﹣AE＝2﹣（2t﹣3）＝5﹣2t，∴BE＝﹣2t+5；当O′与点A重合时，此时AB与C'O'的交点为E与A重合，OP=如图：当C′与点B重合时，此时AB与C'O'的交点为E与B重合，OP=CB∴t的取值范围为32②如图：过点C作CH⊥OA，由（1）得出C(1，3)，∠∴tan60°=3=∴MP=当23≤t∴32＞0，开口向上，对称轴直线t∴在23≤t＜1∴23当1≤tS=∴3＞0，S随着∴在t=32在t＝1时，S=∴当1≤t≤3∵当32＜t＜52时，过点∵由①得出△EO′A是等边三角形，EN⊥AO，∴AN=∴tan∠∴EN=∴S=3=-3∵-3∴开口向下，在t=-43∴S=-∴在32＜t∴S=-则在32＜t当52S=∴-3＜0，S∴在52≤t≤114时，则把t=52∴在52≤t综上：23【点评】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25．（10分）（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且-c＜m＜b2，过点M作（1）若b＝﹣2，c＝3．①求点P和点A的坐标；②当MN=2时，求点（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当AN+3MN=9【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①利用配方法即可得到顶点P的坐标，令y＝0，解方程即可得到A的坐标．②过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，证得EF＝AE，表示出点M、点E的坐标，进而表示出FM，根据直角三角形的性质列出方程求解即可得到M的坐标．（2）求出顶点P的坐标和抛物线的对称轴，作辅助线，证明MQ＝QP，根据AN+3【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0）．答：P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC，∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，∴在Rt△AEF中，EF＝AE，∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中﹣3＜m＜﹣1，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0），∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3，∴F（m，m+3），∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FM=∴﹣m2﹣3m＝2，解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去），∴M（﹣2，3）．答：点M的坐标为（﹣2，3）．（2）∵点A（﹣c，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，∴﹣c2﹣bc+c＝0，得b＝1﹣c，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中-c∴顶点P的坐标为（1-c2，(1+c)如图，过点M作MQ⊥l于点Q，连接MP，则∠MQP＝90°，Q(1-∵MP∥AC，∴∠QPM＝45°，∴MQ＝QP，∴1-c即（c+2m）2＝1，解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去），同②，过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，则点E（m，0），点F（m，﹣m﹣1），点M（m，m2﹣1），∴AN+3∴2(-即2m2+m﹣10＝0，解得m1∴点M的坐标为（-5答：点M的坐标为（-5【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握直角三角形的性质．

考点卡片1．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整数的位数﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）2．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．3．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．4．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”5．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．6．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．7．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．8．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．9．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．10．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．11．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．12．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．13．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x14．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．15．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．16．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．17．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．18．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．19．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．20．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．21．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．22．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．23．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．24．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．25．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．26．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．27．圆的综合题考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．28．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．29．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写