广东省茂名市高州市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

广东省茂名市高州市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

一、单选题（每小题3分，共30分）

1.下列各数中，是无理数的是（）

A.2B-务C.3.14159D.V2

2.满足下列条件时，△力BC不是直角三角形的是（)

A.乙4=40°,ZB=50°B.Z-A:Z.B:Z.C=3:4:5

C.AB=6,BC=8,AC=10D.AB-.BC-.AC=5:12:13

3.根据下列表述，能确定具体位置的是（)

A.万达影城一号厅第三列B.高州市府前路

C.南偏西45。D.东经102。，北纬24。

4.在平面直角坐标系中,点P(3,-2)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.下列各式正确的是（)

11

A.+V9=±3B.-V—16=4C.16HqD.V8=±2

6.二次根式打一有意义，则x的值可以为（)

A.4B.1C.3D.5

7.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为NDAF时，顶部边缘D处

离桌面的高度DE为20cm,此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm,小组成员调整张角的大小继续探

究，最后发现当张角为NBAF时（D是B的对应点）,顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm,则底部边缘A

处与C之间的距离4（7为（）

C.20cmD.24cm

8.估算2+履的值应在（）

A.4到5之间B.5至1J6之间C.6至U7之间D.7至之间

9.实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简Jg—呼_后得（）

--------•••——>

Q----------------O-----b

A.aB.—aC.CL—2bD.2b—a

10.已知点A的坐标为（a-1,3+a）,下列说法正确的是（)

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A.若点A在y轴上，则a=—3

B.若点A在二四象限角平分线上，贝必=1

C.若点A到x轴的距离是3,则a=0或一6

D.若点A在第四象限，则a的值可以为2

二'填空题（每小题3分，共15分）

11.-27的立方根是.

12.若不^+（b—4/=0,则点M（a,b）关于x轴的对称点的坐标为.

13.若一个正整数的两个平方根为2%-7与-久+1,则这个数是.

14.在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点4的坐标是（2,百），则经过第

2024次变换后所得的点4的坐标是.

M4次

关力轴对称

15.如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=5,BC=12,AD是NBAC的平分线，若P,Q分别是和

4c上的动点，则PC+PQ的最小值是

三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16题8分，17-19每题6分，共26分）

16.计算：

（1）727-712+7=8；

（2）|1一71|+尚+6电

17.已知，2a+1=5,3a+b—1的平方根是±6,求a+4b的平方根.

18.如图，学校有一块三角形空地ABC,计划将这块三角形空地分割成四边形4B0E和三角形EDC,分别摆

放两种不同的花卉.经测量，^EDC=90°,DC=3,DE=4,DB=7,AB=8,AE=1,求四边形ZBDE的面

积.

第2页

A

19.如图，在平面直角坐标系中，已知4(0,1),B(2,0),C(4,3)

5-

---

3-

2-

1

-5-4-3-2-10123456%

；…-：…-1……；……-1

j-…!-…j••…f-…\-2

|-…j-…j-…I……\-3

:...:......:......T..：—4

:-…:…-:……；……-5

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；

(2)已知P为x轴上一点，若AP的长度为VTU，求点P的坐标.

四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分)

20.在平面直角坐标系中，已知点”(巾+2,2巾+7),点村5,3).

(1)若点M在y轴上，求点M的坐标；

(2)若MN||x轴，且MN=2,求N点的坐标.

21.如图，在平面直角坐标系中，将矩形40CD沿直线4E折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点恰好落在边OC

上的点F处，若点D的坐标为(10,8).

(2)求点E的坐标.

22.阅读与思考:

下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务:

红山文化遗址中出土了大量形状各异的精美玉器，图1是类似三角形的玉璧.

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图1

为了计算这个三角形玉璧的面积(中间的圆孔忽略不计)，我们小组建构了如图2所示的“玉璧模

型”，经测量，三边的长度分别为AB=13cm,BC=14cm,AC=15cm,同学们通过观察、猜

想、实验等方法，进行如下探究活动：

活动一：如果△ABC的三边长分别为a,b,c,设p为△ABC周长的一半，那么利用海伦公式

S4ABe—Jp(p—a)(p—b)(p—c),就可求出^ABC的面积•

活动二：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出△ABC的面积，具体解

答过程如下：

解：过点A作AD1BC于点D,

贝/OB=AADC=90°,

设BC=xcm,则CD=(14—%)cm,

图2

任务：

(1)按“活动一”求△ABC的面积；

(2)补全“活动二”的解答过程.

五、解答题(三)(本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分)

23.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如3+2遮=

(1+V2)2)善于思考的小明进行了以下探索，若设a+bV2=(m+nV2)2=m2+2mnV2+2n2(其中，

a,b,m,n均为整数)，则有a=TH?+2n2,b=2mn,这样小明就找到一种把类似a+8段的式子化为平方

式的方法.请你依照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)若a+b遮=(m+nV5)2，当a,b,m,n均为整数时，用含m,n的式子分别表示a,b,得：

CL—,b—.

(2)若a+4b=+小厅)2,当a,m,n均为正整数时，求a的值.

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（3）化简：79-4V5.

24.△ABC中，AC=BC,AACB=90°,D为△ABC外一点.

【探究发现】

(1)如图1,点D在边4B下方，乙408=90。.学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段4。、

BD、CD之间的数量关系.他们的思路是这样的，作EC1CD,取EC=CD,连接BE.易证△4DC三小

BEC.通过等量代换得到线段之间的数量关系.请根据同学们的思路，写出△4DC三ABEC的证明过程.

【迁移运用】

(2)如图2,点D在边AB上方，乙408=90。.猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结

论.

【延伸拓展】

(3)图3,在四边形ABCD中，^ABC=^BAC=^ADC=45°,若AD=3,CD=6,请直接写出BD的

值.

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答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：A、2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；

B、5是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；

C、3.14159是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；

D、鱼是无理数，故此选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率兀都是无理数，据此判断.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、,：5=40°,Z.B=50°,

：.Z.C=180°一乙力一乙3二90°,

・・・△力BC是直角三角形，故A不符合题意；

B、=3:4:5,Z71+ZB+ZC=180°,

:C=180°x=75。，

3十4十b

...△ABC不是直角三角形，故B符合题意；

C、'：AB2+BC2=62+82=100,AC2=102=100,

：.AB2+BC2=AC2,

是直角三角形，故C不符合题意；

D、-：AB:BC:AC=5:12:13,

.•.设AB=5x,BC=12x,AC=13久，

'：AB2+BC2=(5x)2+(12x)2=169/,"2=(13x)2=169/,

：.AB2+BC2=AC2,

...△ABC是直角三角形，故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】1.内角和判定：计算未知角，看是否有900角.

2.勾股逆定理：验证三边是否满足“两短边平方和=长边平方”.

3.分类验证：对每个选项分别用上述方法，快速判断是否为直角三角形.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A、万达影城一号厅第三列不能确定具体位置，不符合题意；

B、高州市府前路不能确定具体位置，不符合题意；

C、南偏西45。不能确定具体位置，符合题意；

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D、东经102。，北纬24。能确定具体位置，符合题意.

故选：D.

【分析】1.位置确定条件：平面内点的位置需通过“有序数对”（如经纬度、行列坐标）唯一确定.

2.选项分析：A、B、C仅提供部分信息（歹U、路名、方向），缺乏唯一性标识，无法确定位置.

D用经纬度（有序数对），全球范围内唯一，可确定位置.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：3>0,-2<0,

二点P（3,-2）在第四象限.

故答案为：D.

【分析】若A（m,n）,当m>0,n>0时，点A在第一象限；当m<0,n>0时，点A在第二象限；当

m<0,n<0时，点A在第三象限；当m>0,n<0时，点A在第四象限.

5.【答案】A

【解析】【解答］解：A、±V9=±3,故A选项符合题意；

B、被开方数为-16,没有意义，故B选项不符合题意；

C、庠=草，故C选项不符合题意；

79y93

D、窈=2,故D选项不符合题意；

故答案为：A.

【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键.根据如果一个数的

平方等于a,这个数就叫做a的平方根、一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x?=a,那么这个正数x叫

做a的算术平方根、如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根逐项计算判断即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：由题可知，2-久20时，二次根式庄G有意义，

解得久<2,

故答案为：B.

【分析】1.条件应用：二次根式有意义需被开方数>0,2.列不等式2-x20求解.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可知，

AB=AD,DE=20cm,AE=15cm,BC=7cm,

在RtAADE中，由勾股定理得：AD2=202+152,

解得AD=25cm,

.'.AB=AD=25cm,

在RtAABC中，由勾股定理得：AC2=AB2-BC2=252-72

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记得AC=24cm

故答案为：D.

【分析】1.第一次勾股：在Rt△ADE中，已知两直角边，求斜边AD.

2.等量代换：由题意知AB=AD,确定Rt△ABC的斜边.

3.第二次勾股：在RtAABC中，已知斜边和一直角边，求另一直角边AC.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：：16<19<25,

AVT6<V19<同,

即4<V19<5,

二6<2+V19<7.

故答案为：C.

【分析】1.找相邻平方数：确定19介于16(42)和25(52)之间.

2.估算平方根：由平方数范围推出内介于4和5之间.

3.变形不等式：给V19的范围两边加2,得到2+何的范围.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：由数轴，得a<0,b>0,

•••CL—b<0,

—1)2—

=\a-b\-\b\

=—(a—b)—b

=­a+b—b

——CL,

故答案为：B.

【分析】L符号判断：由数轴得a<0,b>0,进而得a—b<0.

2.根式化简：根据必=团，将根式转化为绝对值，再结合符号去绝对值.

3.计算结果：去绝对值后合并同类项，得到最终化简式.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：A(a—1,3+。)在丫轴上，则a—1=0,即a=1,故A错误，不符合题意；

4(a-l,3+a)在二四象限角平分线上，则a—l=—(3+a),即a=—1,故B错误，不符合题意;

A(a-1,3+a)到x轴的距离是3,则|3+a|=3,即a=0或a=-6,故C正确，符合题意；

A(a—1,3+a)在第四象限，贝即不等式组无解，故D错误，不符合题意；

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故答案为：C.

【分析】Ly轴上的点：横坐标为0,列方程求a.

2.二四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数，列方程求a.

3.到x轴距离：纵坐标绝对值等于距离，列绝对值方程求a.

4.第四象限：横坐标正、纵坐标负，列不等式组判断是否有解.

11.【答案】-3

【解析】【解答】V-3的立方等于-27,

•,.-27的立方根等于3

故答案为：-3.

【分析】(-3)3=27根据立方根的概念求解即可.

12.【答案】(—3,—4)

【解析】【解答】解：：倔下吾+(b—4尸=0,而孤与W20,(b-4)2>0,

a+3=0,b—4=0,

即a=-3,b=4,

.•.点M(—3,4),

点(-3,4)关于x轴的对称点的坐标为(-3,—4).

故答案为：(—3,—4).

【分析】L非负数性质：算术平方根与平方数的非负性，推导a,b的值.

2.轴对称变换：关于x轴对称的点，横坐标不变、纵坐标取反，直接计算对称点坐标.

13.【答案】25

【解析】【解答】解：根据题意得，2久一7+(—久+1)=0,

解得，x-6,

—x+1=-6+1=-5,

.•.这个数是(一5)2=25,

故答案为：25.

【分析】1.性质应用：正数的两个平方根互为相反数，建立方程(2%-7)+(-K+1)=0.

2.求解%：解一元一次方程得x=6.

3.计算原数：代入求平方根，再平方得原数.

14.【答案】(2,百)

【解析】【解答】解：根据所给变换方式可知，

每经过4次变换，点A的坐标重复一次，

：2024+4=506,

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.•.第2024次变换后点A的坐标与第4次变换后点A的坐标相同，

又•••第4次变换后点A的坐标为（2,8），

.•.第2024次变换后点A的坐标为（2,g）.

故答案为：（2,b）.

【分析】1.周期识别：观察变换顺序，发现每4次变换为一个循环，坐标回到初始状态.

2.次数计算：用总次数除以周期，判断是否为完整循环.

3.坐标确定：完整循环后，坐标与初始状态一致，直接得出结果.

15.【答案】瞿

【解析】【解答】解：如图所示：作Q关于直线AD的对称点Q,，过C作CF±AB于F,

C

AQ'FB

:人。是ABAC的平分线，

.♦.点Q,在直线AB上，

♦.•点Q和点Q,关于直线AD对称，

:.PQ=PQ\

：.PC+PQ=PC+PQ',

点Q‘随着点Q的运动而运动，当且仅当点Q,和点F重合时PC+PQ，有最小值CF,

在RtMBC中，乙4cB=90。，AC=5,BC=12,

­-AB=y/AC2+BC2=V52+122=13

；.SAABC芍ALBC=^CF-AB,即AC•BC=CF•AB

•OF_60

・"百

：.PC+PQ'的最小值既嘿

故答案为：患

【分析】1.轴对称：利用角平分线对称性，将PQ转化为PQ',把PC+PQ转化为PC+PQ

2.最短条件：当Q'落在AB垂线CF上时，路径和最小（垂线段最短）.

3.等面积法：通过直角三角形面积的两种表示，计算垂线段CF的长度，即最小值.

16.【答案】（1）解：727-712+^^8

=3百—2V3+（-2）

第10页

=V3—2.

⑵解：|1_©+G)1+6^|

「72

=v2—1+2+6xD

乙

=V2-l+2+3V2

=4V2+1.

【解析】【分析】1.化简原则：二次根式化为最简(开方后无分母、无开得尽方的因数)，绝对值根据符号

去绝对值，负指数幕转化为正指数幕.

2.运算顺序：先化简各部分，再按加减顺序计算.

3.分类处理：针对不同题型(含立方根、绝对值、负指数幕)，分别应用对应性质化简，再合并同类项.

(1)解：V27-V12+

=3V3-2^3+(-2)

=V3—2;

⑵解：|i_四+©1+

「V2

=v2-1+2+6xD

=V2-l+2+3V2

=4V2+1.

17.【答案】解：依题意得：2a+l=25,3a+b—l=36,：.a=12,b=1,

：.a+4b=12+4x1=16,

V16的平方根为±4,

+4b的平方根为±4.

【解析】【分析】1.算术平方根：=y=x—y2,据此由72a+1=5求a.

2.平方根：%的平方根为±y=x=y2,据此由3a+b—l的平方根是±6求b.

3.计算与求解：代入a,b得a+4b,再用平方根定义求其平方根.

18.【答案】解：,:乙EDC=90°,DC=3,DE=5,/.CE=VCD2+DE2=V32+42=5，

：.AC=AE+CE=6,

"：BC=BD+CD=3+7=10,AB=8,

：.AB2+AC2=100=BC2,

...△ZBC是直角三角形，且乙4=90。，

四边形4BDE-S&4BC—S4CDE

第11页

AB-AC-^DC-DE

=5X6x8-5X3x4=24-6=18

答：四边形力BCE的面积为18.

【解析】【分析】1.勾股定理：在Rt△EDC中求CE,确定AC长度.

2.逆定理应用：验证AB2+AC2=BC2,证AABC为直角三角形（乙4=90。）.

3.面积计算：用AABC面积减去4EDC面积，得四边形ABDE面积.

（2）解：设点P的坐标为（科0）,..FP的长度为VTU,

,,Vl2+m.2=V10，

解得zn=3或一3,

...点P的坐标为（3,0）或（—3,0）.

【解析】【分析】（1）图形绘制：根据坐标描点连线，直观呈现AABC.

（2）距离计算：利用两点间距离公式（勾股定理）,设未知数并建立方程，求解x轴上点的坐标；方程求

解：通过平方消去根号，解一元二次方程得解，确定点的坐标.

•.•ZP的长度为VTU,

第工2页

•,-Vl2+m2=V10>

解得m=3或—3,

.•.点P的坐标为(3,0)或(—3,0).

20.【答案】(1)解：I.因为点M在y轴上，；.血+2=0,

解得m=-2,

则2m+7=3,

.♦.点M的坐标为(0,3)；

(2)解：轴，且点M(m+2,2m+7),点2(n,3),/.2m+7=3,

解得加=一2,

则m+2=0,

.•.点M的坐标为(0,3).

又：MN=2,

=0+2=2或71=0—2=—2,

.♦.点N的坐标为(2,3)或(-2,3).

【解析】【分析】l.y轴上的点：横坐标为0,列方程求m,再得点M坐标.

2.平行x轴的直线：纵坐标相等，列方程求m,确定点M后，利用水平距离(横坐标差的绝对值)求点

N坐标.

(1)解：•.•因为点M在y轴上，

.,.m+2—0,

解得m=-2,

则2m+7=3,

.•.点M的坐标为(0,3)；

(2)解:-：MN||x^,且点时0+2,2/+7),点工(几3),

/.2m+7=3,

解得加=-2,

则m+2=0,

.•.点M的坐标为(0,3).

又，；MN=2,

,,.n=0+2—2或n=0—2=—2,

.•.点N的坐标为(2,3)或(-2,3).

21.【答案】(1)解：:•点D的坐标为(10,8),在矩形20CD中，，4D=OC=10,A。=CD=8,

由折叠的性质的可知：AF=AD=10ED=EF,

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在RtAAOF中，由勾股定理得：OF=7AF2—=五。2—82=6,

，F(6,0).

：.0F=6.

(2)由(1)得OF=6,：.FC=OC—。5=10-6=4,

设EC=K,则。E=EF=8—%,

在RtAEFC中,由勾股定理得：EF2=EC2+FC2BP(8-x)2=%2+42,

解得：%=3,

.•.点E的坐标为(10,3).

【解析】【分析】(1)折叠转化：利用折叠性质，将AD转化为AF,构建RtAAOF求OF.

(2)边长关联：通过OF求FC,设EC为未知数，利用折叠性质关联EF与DE；方程求解：在Rt△

EFC中应用勾股定理列方程，解出EC,确定E坐标.

(1)解：：点口的坐标为(10,8),在矩形AOCD中，

：.AD=OC=10,AO=CD=8,

由折叠的性质的可知：AF=AD10ED=EF,

在Rt△4。尸中，由勾股定理得：OF=yjAF2-OA2=V102-82=6,

；.F(6,0).

.".OF=6.

(2)由(1)得OF=6,

：.FC=OC-OF=10-6=4,

设EC=x,则DE=EF=8—久，

在RtAEFC中，由勾股定理得：后产=EC2+FC2即(8—%)2=/+42,

解得：x-3,

.•.点E的坐标为(10,3).

22.【答案】(1)W：'：AB=13(厘米)，BC=14(厘米)，AC=15(厘米)，p=*(a+b+c)=p=

1(13+14+15)=21(厘米)，

•••SAABC=Jp(p-a)(p-b)(p-c)=721x(21-13)x(21-14)x(21-15)=84(平方厘米).

(2)解：过点4作AD1BC于点。，

设BD=%厘米，贝北。=(14-尤)厘米，

^ADB=乙ADC=90°,

根据勾股定理得：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,

即132—必=is2-(14一久猿,

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解得：%=5,

・・・AD=-JAB2-BD2=V132-52=12（厘米），

S&ABC=宏BCXAD=宏X14X12=84（平方厘米）.

【解析】【分析】（1）海伦公式：直接利用三边求半周长，代入公式计算面积，简洁高效。

（2）勾股定理：通过作高构造直角三角形，设未知数列方程，求解高后计算面积，体现方程思想。

（1）解：\'AB=13（厘米），BC=14（厘米），AC=15（厘米），

•1.p=i（a+b+c）=p=i（13+14+15）=21（厘米），

S“BC=Jp（p-a）（P-b）（P-c）=V21x（21-13）x（21-14）x（21-15）=84（平方厘米）;

（2）解：过点2作AD于点D,

设BC=x厘米，贝!JCD=（14-久）厘米，

乙ADB=乙ADC=90°,

根据勾股定理得：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,

BP132-x2=152-（14-x）2,

解得：%=5,

AD=7AB2—BD2=V132-52=12（厘米），

:.SLABC=^BCx1x14x12=84（平方厘米）.

23.【答案】（1）m2+3n2,2mn

（2）解：（zu+小厅）2=租2+2077m+7几2,+4夕=（m+九夕）2（a,TH,几均为正整数），

••a+4夕=m2+2y[7mn+7/（a,几均为正整数），

Aa=m2+7n2,mn=2,

/.当TH=l,n=2时，a=I2+7x22=29,

当m=2,n=1时，a=22+7xl2=11,

综上，a的值为H或29.

（3）解：设9—4西=（m—九遮），其中皿几均为正整数,,••（TH—九西）=m2-2V5mn+5n2,

9-4A/5=m2—2V5mn+5n2,

/.m2+5n2=9,mn=2,

・••当TH=l,7i=2时，l2+5x22=21^9,

当m=2,n=1时，2?+5x17=%

2

•*-9-475=（2-V5），

,,J9-4V5=J（2—V5）=|2—V5|=V5-2,

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【解析】【解答】（1）解：（m+几通）2=62+2百77172+3九2,a+人百=（771+72H）2（q,5,771,"均为整

数），

*e•a+bV3=m2+2y/3mn+3H2（a,九均为整数），

22

/.a=m+3n,b=2mnf

故答案为：m2+3n2,2mn.

【分析】（1）公式展开：利用完全平方公式展开含根式的平方，对比系数得到afb与mfn的关系.

（2）方程求解：根据系数关系列方程，结合正整数条件枚举解，计算目标值.

（3）根式化简：构造完全平方形式，通过对比系数确定参数，利用绝对值性质化简.

（1）解：（771+nV3）2=m2+2Hmn+3n2，

,*,a+by/3=（jn+）1V3）（a,b,Tn,?i均为整数），

•'•a+bV3=