高一必修一数学第二章测试：一元二次函数、方程和不等式·基础卷（解析版）

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷

第二章一元二次函数、方程和不等式•基础通关

建议用时：120分钟，满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

I.已知设M=a2-ab,N=ab-b?,则M与N的值的大小关系是()

A.M<NB.M<N

C.M>ND.M>N

【答案】D

【分析】利用作差法比较大小即可.

【详解】因为M=a'-ab,N=ab-b',

所以M-N=a?-ab-^ab-b^=ui-by>0,

当且仅当a=b时等号成立，故MNN.

故选：D

2.不等式(x—。(―2x+l)Z0的解集为()

(1

A.<x-<x<I>B.«xx<--,Wcr>1»

I22

C.«x—<x<1•D.x—<x<\'

22

【答案】D

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】•.(x-l)(-2x+l)Z(),

所以(x-l)(2x-l)W0,

「•原不等式的解集为

故选：D.

3.已知0<%<2,则3x(2-x)的最大值是()

A.一3B.3CD.6

【答案】B

【分析】利用基本不等式，直接计算即可.

【详解】3x（2-x）<3xl[x+（2-x）]2=3,当且仅当％=2-X,即x=l取得等号，满足题意.

故选：B.

4.若a,b,csR,则下列命题正确的是（）

A.若a>b，贝1」次、2>儿2B.若a<b<c<0,则

aa+c

C.若二,与，则D.若a>b，则a?〉//

cc

【答案】B

【分析】A.c=O,不成立；B.作差法判断结论；C.j>0,可得到a>〃；D,。=1力=-2时.不成立

【详解】对于A,当c=0时，不成立，A错误

b+cb优+c）。一（a+c）〃（a-b）c

对于B,-------=----7----;-----=7---1，a<b<c<0,

a+ca（a+c）a（a+c）a

（a—b\c八bb+c

：.a-b<0,a+cvO,-'-y---->0,即一<------,B正确

[a+c]aaa+c

对于C,-V>0=>c2>0,二>与，a>b,C错误

cLc

22

对于D,当。=1力=-2时，a<b,D错误

故选：B

34

5.已知4>0力>0,且a+劝=2,则一+二的最小值是（）

ah

27

A.6B.12C.—D.27

2

【答案】C

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】由〃>0/>0,a+3b=2,得士3+；4=：1（a+3〃）（31+4；）=1；（15+9吆b+4空a）

ab2ab2ab

,（15+2栏多==,当且仅当当=?,即2。=3b=g时我等号，

所以23+工4的最小值是27

ab2

故选：C

6.当xeR时，一元二次不等式比2-履+1〉0恒成立，则&的取值范围是（）

A.（）<攵<4B.k<4C.0<Z:<4D.左<0或A>4

【答案】A

【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果.

【详解1由一元二次不等式米2-去+1>0,可得女工0,

从而</,\2,,八，解得：0<k<4.

（一攵）-4^<0

故选：A.

7.已知正数-），满足丁+丁=32,则工+丁的最大值为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】利用妥可求1+y的最大值.

【详解】因为昼4产百1"+'2=32,所以丹12咨|正=8，

当且仅当、=丁=4时，等号成立，即x+y的最大值为8.

故选：A.

8.若上使得Y-2or+a+2«0成立，则实数〃的范围是（）

A.a>\B.a>2C.a>3D.a>—

5

【答案】B

【分析】分析可知原题意等价于^使得女工工。成立，令/=2x-l,利用基本不等式结

2x-l

合存在性问题分析求解.

【详解】因为f—2at+a+2W0,即X2+2Wa（2x-l）,

又因为则2x-l«I,5],可得二!工工〃，

2x-l

原迤意等价于Hre{x|lKxW3},使得工^工。成立,

2x-\

令t=2x-l€{x|lWxW5},则x=g,

9

当且仅当/=一，即/=3,x=2时，等号成立,

t

可得。22,所以实数〃的范围是。22.

故选：R

行3+2=—，解得a=lb=l

a99

-3x2=—

故AC错误，B正确;

不等式A2-bx-2aN0即寸-x-2N0,可得解集为任次4-1或x>2}.

故选：BD.

11.以下结论正确的是（）

A.若x>0,则丫=乂+一的最小值是2

B.若。，且而>0,则2+

ab

y=J/+3+J+3的最小值是2

C.

D.若。>0,b>0,且。十人=1,贝ija力S,

4

【答案】ABD

【分析1使用基本不等式（均值不等式）及其取等条件进行判断:

【详解】由基本不等式（均值不等式）：如果。>0,b>0,则"石4半，当且仅当。=。时取等号，可

得

如果〃>0./?>0,〃+疯，当口仅当〃=小时取等号.即〃〃为定值时.4+〃的最小值为2而.

如果。〉（），〃〉（），"W（等），当且仅当。时取等号，艮］a+b为定值时，必的最大值为（?），

对于A,当x>0时，），=x+：22口［=2,当且仅当x=^=l时取等号，故A正确；

对于B,因必>0,所以2>0且£>0,因此2+口2=2,当且仅当2=?,即"=人时取等号，故

ababNabab

B正确：

对于C,+^773--r4==2,当且仅当777^二丁二时取等号，此时X无实数解,

VX2+3VVX2+3"+3

故标+S的最小值不是2'选项0错

故&+3+「j—>26+3-「j—=2无法取等号,

6+3V&+3

误,

对于D,如果〃>（）,b>0,则而《（审当且仅当a=〃=g时取等号，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12,不等式，<1的解集为.

x

【答案】3%<0,或i>1}

【分析】先移项、通分，再转化为整式不等式求解即可.

【详解】由!<1得，--K0,通分得口<(),

XXX

此不等式等价于Ml-x)vO,解得x<0或x>l,

故不等式的解集为{x|xvO,或3>1}

故答案为：{x|x<0,或X>1}

13,已知实数X、)，满足一3Wx-2)*2,-4<2x+.y<0,则4x—3y的取值范围为—

【答案】W-10WxW4}

【分析】根据不等式的性质求得正确答案.

【详解)通过观察可知4x-3y=2(x-2y)+(2x+y),

由于-3Wx—2yK2,则一6W2(x-2)，)W4,

Hij-4<2x+y<0,所以一10«4x-3y44.

故岑案为：{x|-10WxW4}

14,已知J+(2—a)x+4—2aNO对任意2,转)恒成立，则实数。的取值范围为

【答案】«<2

【分析】变形得到立匚山2。在工«-2,转)上恒成立，由基本不等式求出

x+2

X+2X+4=(x+2)+—--2>2,得到a«2.

x+2x+2

【详解】X2+(2-a)x+4—2a20=f+2x+4>«(x4-2),

因为xw(-2,+“)，所以问题等价于巴29之〃在2,+8)上恒成立，

x+2

其中炉+"+4=(%+2)2―2("2)+4+/__222M.+2).8--2=2、

x+2x+2')x+2V)%+2

4

当且仅当x+2=-即x=0时，等号成立，

x+2

故。工2.

故答案为：6/<2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

(I)比较V+4y2+]与2(x+2y-l)的大小；

(2)已知。>人>。，c<d<0,e<0,求证：.

a-cb-d

【答案】《1)x2|4/I1>2(xt2>-1)；(2)证明见解析.

【分析】(1)利用比较法，作差即可判断大小：

(2)结合不等式性质即可证明.

【详解】解：(1)x2+4/+l-2(x+2y-l)=(x2-2A+l)+(4/-4y+l)+l=(x-1)2+(2.v-l)2+1>0,

.,.x2+4y2+1>2(x+2y-l).

(2)证明：因为，〃>人>0,可得一「>一/>0,a-oh-J>0,

11pP

则丁又e<°，可得一丁

b-aa-ca-cb-d

16.(15分)

(I)已知x>(),y>0,且X+4)，=4G，求孙的最大值；

(2)讦明：Vx、V、2G(0,+oo),(x+4y)(y+z)(4z+x)>32^z.

【答案】(1)3；(2)证明见解析

【分析】(1)利用基本不等式可得出关于外的不等式，即可解得孙的最大值;

(2)利用基本不等式可证得所求不等式成立.

【详解】(I)因为x>0，J>0,Kx+4y=4x/3,

由基本不等式可得工+4)，=4622而斤=4而，可得孙43,

x=4y=26

当且仅当「+4y=4G时，即当时,等号成立,

x>0,y>0

故取的最大值为3；

(2)因为X、y、z都是正数，

由基本不等式可得x+4y2277^^=47^，y+z>2j~^,4z+x>2>j4zx=4\[zx,

由不等式的基本性质可得（x+4y）（y+z）（4z+力232dxy•yzzx=32xyz,

当且仅当x=4y=4z时，等号成立.

故(％+4y)(y+z)(4z+%)之32xyz.

17.(15分)

已却。>0,b>0,且2a+b=ab.

⑴求他的最小值；

（2）证明：a+2b>9.

【答案】（1）8

（2）证明见解析

【分析】（1）变换得到2■+[=1，再利用均值不等式计算得到答案；

（2）变换a+2力=（〃+2刀（卜讣展开利用均值不等式即可证明.

12

【详解】（1）因为为+8=".所以一+7=1,

ab

a>0,b>0,故1=,+222、区，当且仅当』=2=1，即〃=2力=4时取等号,

ab\abab2

所以必28,即讪的最小值为8；

（2）证明：

〜/c,、(12、_2b2a、=312b2a八

a+2b=(a+2b)I—+J-I=5H----F—>5+2J....-=9»

当且仅当竺=学，即。=。=3时取等号，所以。+2b29.

18.（17分）

某L家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年

促销费用加万元（〃止0）满足x=4-白”为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万

件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销

位价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按史西元来计算）.

X

⑴求k的值；

（2潮2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用川万元的函数；

（3）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？

【答案】（1）2

(2)y=36—————77/(/??>0)

tn+\'

(3)3万元

【分析】(I)由〃?=0时，x=2代入即可求解；

(2)由销售综合减去促销费用、成本即可求解；

(3)由(2)结合基本不等式即可求解.

【详解】(I)由题意知，当〃?=0时，x=2(万件)，

则2=4-左，解得2=2：

?

(2)由(I)可得x=4--%.

zn+l

所以每件产品的销售价格为L5x殳丝(元)，

x

，2024年的利润y=1.5xx^-^x-8-16x-/??=36———

xm+\

(3),当〃zNO时，m+l>0,

.••4十(m十l)N2加=8,当且仅当m=3时等号成立.

川+1

二”-8+37=29,

当且仅当々=机+1,即6=3万元时，加、=29(万元).

m+l

故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.

19.(17分)

已知函数/(%)=mx2-(m+2)x+2,mGR.

(I)若/(%)>。对任意的工eR恒成立