高中物理复习：带电粒子在组合场中的运动重难突破课

第59课时带电粒子在组合场中的运动［重难突破课］

题型一组合场应用实例

考法一质谱仪

1.构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。

2.原理：粒子由静止被加速电场加速，有

粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB=m^o

由以上两式可得缺，用=穿，？=怒。

Byjq2UmB2r2

【典例1】（多选）如图所示，电荷量相等的两种离子包20和须22从容器A下方的狭缝S飘入（初速度为

零）电场区，经电场加速后通过狭缝S2、S3垂直于磁场边界MN射入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，离子经

磁场偏转后发生分离，最终到达照相底片。上。不考虑离子间的相互作用，则（）

A.电场力对每个岗20和制22做的功相等

B.岚22进入磁场时的速度较大

C.岚22在磁场中运动的半径较小

D.若加速电压发生波动，两种离子打在照相底片上的位置可能重叠

答案：AD

解析：根据W=qU,裁20和制22的电荷量相同，加速电压相同，所以做的功相同，A正确；在加速电场中，根

据由于制20的质量小于条22的质量，所以制20的速度大于怎22的速度，B错误；臼/8=加。得R

Nn

三科,由于条22的质量大，历以冢22的半径也大，C错误；根据R4J乎，对于同位素，加速电压相同

时，质量越大做圆周运动的半径越大；对同种离子，加速电压越大，其做圆周运动的半径越大；着电压发生波

动，则制20和演22做圆周运动的半径在一定的范围内变化，所以叙2（）在电压较高时的半径可能和颊22在电压较

低时的半径相等，两种离子打在照相底片上的位置就重叠，D正确。

考法二回旋加速器

1.构造：如图所示，DHD2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中。

（接交流电源U）

2.原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由*3=噂，得£km=

R

驾至，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度3和D形盒半径R投定，与加速电压无关。

3.运动总时间

粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU,加速次数〃=鬻，粒子在磁场中运动的总时间

尸与空』叫咳。

22qUqB2U

【典例2】1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒

Di.D?构成，其间留有空隙，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。现对瓶核（:H）加速，所需的高频电源的

频率为/,已知元电荷为e,下列说法正确的是（）

A.被加速的带电粒了•在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大

B.高频电源的电压越大，航核最终射出回旋加速器的速度越大

C.僦核的质量为三

D.该回旋加速器接频率为/的高频电源时，也可以对氢核（；He）加速

答案：C

解析：根据周期公式7=等可知，被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而不变，A

eB

错误：设D形盒的半径为七则最终射出回旋加速器的速度满足ei，B=〃?=,即有-=£空，最终射出回旋加速器的

Rm

速度与频率无关，B错误；根据周期公式7=4詈可知〃?=竽=碧，C正确；因为危核（:H）与氮核（:He）的比

eB2n2nf12

荷不同，所以不能用来加速氮核（:He）,D错误。

题型二带电粒子在组合场中的运动

1.组合场的三种常见情况

（1）电场与磁场分别位于不重叠的区域内：

（2）电场、磁场在同一区域交替出现；

（3）磁场与磁场的组合，即强弱或方向不同的磁场分别位于不重叠的区域内。

2.带电粒子在分离的电场、磁场中的常见运动及求法

考法一先电场后磁场

【典例3】（2023•辽宁高考14题）如图，水平位置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的6倍。

金属板外有•圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为8、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为

机、电荷量为4（。/>0）的粒子沿中线以速度山水平向右射入两板间，恰好从下板边缘夕点K出电场，并沿PO方

向从图中0,点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为鬻，不计粒子重力。

3qB

（1）求金属板间电势差U。

（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角仇

（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在

磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心

答案：（1）叱（2）60°（3）见解析图

3q

解析：（1）设平行金属板间距为乩则平行金属板板长为Bd

粒子在两平行金属板间做类平抛运动

在水平方向有，5d=应

在竖直方向有豺=学

又力.=*?,联立解得^=甯。

（2）粒子进入磁场时的速度y=J%2+%2=乎%

设其与水平方向的夹角为。，则tana=匕=当，即a=30。

VQ3

由小名=叱得，粒子在磁场中做圆周运动的半径r=4膂

1r3qB

已知磁场圆半径/?=等詈，则，=同

3qB

作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图1所示

粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角。与粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可

得tanf=4,故0=60°。

2r3

图2

（3）根据几何关系，将磁场圆绕。峡顺时针旋转，当。点转到M点，粒子在磁场中的运动轨迹相应的弦为磁场

圆的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长。作出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的磁场圆的

圆心M,如图2所示。

考法二先磁场后电场

【典例4】如图所示，在xOy坐标系中有圆柱形匀强磁场区域，其圆心在。（上0）,半径为R,磁感应强度

大小为8,磁场方向垂直纸面向里。在），2R范围内，有方向向左的匀强电场，电场强度为E。有一带正电的微粒

平行丁”轴射入磁场，微粒在磁场中的偏转半径刚好也是R。已知带电微粒的电荷量为q，质量为山，整个装置处

于真空中，不计重力。

（1）求微粒进入磁场的速度大小；

（2）岩微粒从坐标原点射入磁场，求微粒从射入磁场到再次经过），釉所用时间；

（3）若微粒从y轴上），=3处射向磁场，求微粒以后运动过程中距），轴的最大距离。

带电粒子在组合场中运动常见的两类情况

从电场进入磁场从磁场进入电场

电场中：加速直线运动

磁场中：勺速圆周运动

磁场中：匀速圆周运动

电场中：勺变速直线运动C与£同向或反向）

从电场进入磁场从磁场进入电场

磁场中：匀速圆周运动

电场中：类平抛运动

电场中：类平抛运动（V与E垂直）

磁场中：匀速圆周运动

题型三带电粒子在交变场中的运动

1.交变场的常见类型

（1）电场周期性变化、磁场不变。

（2）磁场周期性变化、电场不变。

（3）电场、磁场均周期性变化。

2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路

【典例5】（2022•河北布考14题节选）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图甲所示，金属板与可

调电源相连形成电场，方向沿），轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强

度随时间的变化规律如图乙所示。板间。点放置一粒子源，可连续释放质量为〃h电荷量为夕（4>0）、初速度

为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：

（1）/=0时刻释放的粒子，在『=等时刻的位置坐标；

（2）在（）〜翳时间内，静电力对/=（）时刻释放的粒子所做的功。

答案：（1）（第，察？）（2）4如

解析：（1）在0〜毅时间内，电场强度为瓦，带电粒子在电场中加速，根据动量定理可知,声0・旋=/〃力

解得粒子在押时刻的速度大小为力=等

qBoBo

方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离

1nm^Enm

7V|=一片---------5-

2qB02qB02

在W〜等时间内，粒子在磁场中做勺速圆周运动，根据粒子在磁场中运动的周期丁=胃可知粒子偏转180。，速

qB0qB0qB

度反向，根据G，用。="--可知粒子水平向右运动的距离为

r2

m%2nE()m

X2=2f2=2：

2

qBoqB0

粒子运动轨迹如图,

所以粒子在，=等时刻的位置坐标为（必，与），即（受等，磐?）。

qB。\QOQ/

（2）在驾〜等时间内，电场强度为2月，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向

qB°qB0

cr2Eo--=mv2+wv'i

q8o

解得等时刻粒子的速度也=警，方向竖直向上，

qGD0

粒子在竖直方向上运动的距离为”

在粤〜等时间内，粒子在水平方向运动的距离为总=2口=2,初以2nE（）7n

2

qB。q^oQB。QBo

此时粒子速度方向向下，大小为也，在翳〜翳时间内，电场强度为3瓦,竖直方向夕3氏记H叫

解得粒子在翳时刻的速度「2n%

Bo

一%+内nm_口2后0抽

粒子在竖直方向运动的距离第=

2

2QB02qB0

粒子运动的轨迹如图，

在。〜舞时间内，静电力对粒子的做功大小为

+/2瓦伯+/3氏千=4^&）诙电场力做正功。

8。

□对点训练

在如图甲所示的正方形平面。4加内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个

质量为〃人带电荷量为+夕的粒子（不计重力）在1=0时刻平行于。c边从。点射入磁场中。已知正方形边长为

L，磁感应强度的大小为规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。

（1）求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期式）；

（2）若带电粒子不能从0〃边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期r的最大值;

（3）要使带电粒子从〃点沿着加方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期7及粒子射入磁场时

的速度大小。

答案：⑴舞⑵徵

(3)—胆(n=2,4,6,-)

qBonm

解析：（1）由/&）=〃*,看）=等，

联立解得3罂。

(2)图中所示为周期最大时粒子不能从边射出的临界情况，由几何关系可知sina=；,得a=30。。

在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为150。,

运动时间为1=2公=涪"，而1=5

126qB02

所以磁感应强度的变化周期T的最大宜为当。

3q8。

(3)图乙所示为粒子从〃点沿着。力方向射出磁场的一种情况。在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动

轨迹对应的圆心角为2A其中夕=45。，即5=2,所以磁场变化的周期为丁=等

弦0M的长度为s=®(〃=2,4,6,…)

圆弧半径为/?=、=《(n=2,4,6,•••)

解得叩=皿(〃=2,4,6,…)。

nm

基础练

题型一组合场应用实例

1.质谱仪最初是由英国物理学家阿斯顿设计的，他用质谱仪发现了笳的两种同位素就20和负22,从而证实了同位

素的存在。如图所示，让岚20和岚22原子核从质谱仪小孔$飘入电压为U的加速电场(初速度可看作零)，然

后从S3垂直进入匀强磁场发生偏转，最后打在底片上的不同地方。已知岚20和岚22原子核带电荷量相同，质量

之比约为20：22,从底片上获得在磁场中运动轨迹的直径分别为。|、。2,则Di:6应为()

A.1：0.91B.1：0.95

C.1：1.05D.1：11

解析：C设粒子的电荷量为外进入磁场的速度为也由动能定理可得则进入磁场时的速度为-=

科，在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得8/=〃审，化简可得R=：管，则有。：6=品：&=

\[m[:：L05,故选Co

2.劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示。置于高真空中的D形金属盒半径为R,两盒间的

狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为了,加速电压

为U。若A处粒子源产生的质子质量为〃h电荷量为+0在加速器中被加速，旦加速过程中不考虑相对论效应和

重力的影响。则下列说法正确的是()

A.质子被加速后的最大速度不可能超过2nRf

B.质子离开回旋加速器时的最大动能与加速电压U成正比

C.质子第2次和第1次经过两D形盒间的狭缝后，轨道半径之比为I:V2

D.不改变磁感应强度B和交流电频率了,该回旋加速器也能加速a粒子

解析：A质子出回旋加速器的速度最大，此时的半径为R,则妙=*=2几4；所以最大速度不爬过2加R故A

正确；根据分火=〃?=,知卜=也，则最大动能&咚亚，与加速电压无关，故B错误；质子在加速电

场中做匀加速运动，在磁场中做匀速圆周运动，根据丫=师知，质子第二次和第一次经过D形盒狭缓的速度之

比为近：1,根据/?=千，则半径之比为a：1,故C错误：带电粒子在磁场中运动的周期与加速电场的周期相

等，根据丁=学知，换用a粒子，粒子的比荷变化，周期变化，改变交流电的频率才能加速a粒子，故D错误。

qB

题型二带电粒子在组合场中的运动

3.如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为向、B?,今有一质最为〃八

电荷量为e的电子从MN上的尸点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场所中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形

图线。则以下说法正确的是（）

A.电子的运动轨迹为PENCMDP

B.Bi=2&

C.电子从射入磁场到回到尸点用时为萼

eBi

DB=4&

解析：B根据左手定则可知，电子从P点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场以时，受到洛伦兹刀方向向上，所

以电子运行轨迹为尸DMCNEP,故A错误；由题图可知，电子在左侧匀强磁场中的运动半径是在右侧匀强磁场中

的运动半径的一半，根据「=胃可得当=24,故B正确，D错误；电子在题图所示的运动过程中，在左侧匀强磁

eB

场中运动两个半圆，即运动一个周期，在右侧匀强磁场中运动半个周期，所以，=等+等=等，故C错误。

】

eBeB2eBr

4.（多选）圆心为。、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为8、方向垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁

场边缘上的4点有一带正电粒子源，半径04竖直，例N与04平行，且与圆形边界相切于4点，在MN的右侧有

范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为反当粒子的速度大小为vo且沿AO方向时，粒子刚好从B

点离开磁场，不计粒子重力和粒子间II勺相互作用，下列说法正确的是（）

A.圆形区域内磁场方向垂直纸面向外

B.粒子的比荷为意

C粒子在磁场中运动的总时间为箸

21fo

D.粒子在电场中运动的总时间为警

解析：ABD根据题意可知，粒子从4点进入磁场时，受到洛伦兹力的作用，根据左手定则可知，圆形区域内磁

场方向垂直纸面向外，故A正确；根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系可知，粒

子做圆周运动的半径为R,粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，根据洛伦兹力提供向心力有利源=〃耳，可得

2R

故B正确;

MM

E

根据题意可知，粒子从8点进入电场之后，先向右做匀减速运动，再向左做匀加速运动，再次到达8点时，速度

的大小仍为即，再次进入磁场，运动轨迹如图乙所示，则粒子在磁场中的运动时间为吐=[=叫，故C错误；粒子

2Vo

在电场中，根据牛顿第二定律有“=/W,解得。=辞=煞，根据结合对称性可得，粒子在电场中运动的总

时间为，电=也=竿，故D正确。

5.（多选）（2023•海南庙考13题）如图所示，质量为〃?，带电量为+g的点电荷，从原点以初速度w射入第一象

限内的电磁场区域，在OVyV泗，（）<x<x0（的、和为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在区域内有垂

直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（E值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，

则（）

A.粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足后=生咚

B.粒子从NP中点射入磁场时速度为用下茅

C.粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为勺

D.粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是勺隹事

2

qB、x0

解析：AD若粒子打到PN中点，则血=咽/=胃，解得七=紫华，A正确；粒子从PN中点射出时，则葭

一"速度/+]72+丫02,R借误；设粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为仇则

tan"=%=Jk=耍，粒子从电场中射出时的速度-=£，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则9姐=〃£，则粒

pv2£出qEx0sinffrr

）mv0

子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为1=m0$仇解得d=答，C错误；当粒子在磁场口运动有最大运

Bv0

动半径时，进入磁场的速度最大，则比时粒子从N点进入磁场，此时竖直最大速度匕m=等，必=柄03进入磁场的

最大速度Um=J%）2+i7ym2=15/%（）2+dyj,则由小归二加白可得最大半径下警它,D正确。

题型三带电粒子在交变场中的运动

6.（多选）某一空间存在着磁感应强度为8且大小不变、方向随时间/做周期性变化的匀强磁场（如图甲所示），

规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按“Tb—c—dTeT/的顺序做横

“8”字曲线运动（即如图乙所示的凯迹），下列办法可行的是（粒子只受洛伦兹力的作用，其他力不计）

（）

A.若粒子的初始位置在a处，在/=》时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度

B.若粒子的初始位置在/处，在/=（时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度

C.若粒子的初始位置在e处，在/=?r时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度

O

D.若粒子的初始位置在〃处，在，=3时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度

解析：AD要使粒子的运动轨迹如题图乙所示，由左手定则知粒子做圆周运动的周期应为7b=］若粒子的初始

位置在。处时，对应时刻应为1=37；）=?7；同理可判断B、C、D选项，综合可知A、D正确。

能力练

7.如图甲所示，在坐标系中，y轴左侧有沿x轴正方向的匀强电场、电场强度大小为民轴右侧有如图乙所

示周期性变化的磁场，磁感应强度大小治已知，以磁场方向垂直纸面向里为正方向。1=0时刻，从x轴上的P点

无初速度释放一带正电的粒子，粒子（重力不计）的质量为加、电荷量为私粒子第一次在电场中运动的时间与第

一次在磁场中运动的时间相等，旦粒子第一次在磁场中做圆周运动的轨迹为半圆。求：

（1）P点到。点的距离；

（2）粒子经一个周期鬻沿），轴发生的位移大小。

答案：（I）"（2）驾

22

口"2qB0qB0

解析：（1）设粒子第一次在电场中做匀加速运动的时间为电则“尸等，Eq=rna

q»o

设O、P间距离为X,则X=，£02,

Emir2

联立解得4,

2Mo

（2）如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径分别为