函数的图象（1大考点+8大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

2.8函数的图象

目录

03课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、函数图像问题..................................................................3

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................5

题型一：作函数的图象..............................................................5

题型二：函数图象的识别............................................................6

题型三：利用图象研究函数的性质....................................................9

题型四：利用图象解不等式.........................................................10

题型五：利用图象求参数的取值范围.................................................H

题型六:根据实际问题作函数图像...................................................12

题型七：对函数图像进行变换.......................................................14

题型八：根据函数图像选择解析式...................................................16

04好题赏析（一题多解）..........................................................19

05数学思想方法...................................................................20

①数形结合.......................................................................20

②转化与化归.....................................................................21

③分类讨论.......................................................................21

06课时精练（真题、模拟题）......................................................23

基础过关篇.......................................................................23

能力拓展篇.......................................................................28

1/30

01课标要求

1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

2、会画简单的函数图象.

3、会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.

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02落实主干知识

一、函数图像问题

1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、指点、连线.

2、利用图象变换法作函数的图象

平移变换：①尸/⑴一鑫*”=；

注意：»=/丽)吗粼华一%/皿、±可：

②尸小)/妥产T片/«)±人；k八二)左晨：£二号=/(5±。)

翻折变换：@y=f(x)>^=|/(x)|：④y=/(x)鬻黑号=/(附(偶函数);

伸缩变换：⑤尸"X)，沿德梵麻->歹=/住，⑥产/⑴沿黑濡倍号=4/。),

\(o7

对称变换：①卜=(任关于直线4=0(即y轴)对称

卜―

②匕，9'、关于直线k0(即x轴)对称：

卜=■/(%)•

③1'=，!?’\关于原点对称

④【'"(£)'、关于直线上=。对称

[y=J(2a-x).

⑤F=[：+?关于直线a号对称

y=/(8-x).2

⑥匕女、关于点"对称

[y=2h-J(2a-X).

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常用二级结论

1、对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.

2、反比例型函数：）,=竺幼心=0:。2]-£1!^J;=_、+%对称中心为点（小,乂1）.该函数定

cx+d\cd）x-x0

义域为｛XIXHX。｝,值域为｛引歹工为｝,x=--,y=—.

（）c0c

3、对勾函数：y=^^=X+-（k>0）

XX

4、某些含根式的函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断.

5、/（x）在区间/上的图形是（向上）凹的o，（x）ZO（即切线的斜率递增）.

“X）在区间/上的图形是（向上）凸的=/"（x）WO（即切线的斜率递减）.

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03探究核心题型

题型一：作函数的图象

【例1】作出下列各函数的图象.

(l)y=|log2(x+l)|；

2x-1

(2)y=--：

x-1

(3)y=x--2|.v|-l.

【解题总结】

函数图象的常见画法及注意事项

(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.

(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,

则可利用图象变换作图.

(4)画函数的图象一定要注意定义域.

【变式分别作出下列函数的图象.

(l)y=Vx2-2x+\+—；

x

⑵y=|x-2|(x+l)；

(3)y=|iog2(-v+l)|.

【变式1・2】己知函数/(x)=(x+l)e、

⑴判断函数/(x)的单调性，并求出/(力的极值；

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(2)画出函数/(x)的大致图像并求出方程/(x)=a的解的个数.

【变式1・3】(2025•甘肃兰州•一模)已知函数/(x)=|G—2|x+3(4eR).

-7T

-

-

1

-

-

3T

I

rI-T

I

X

BU23

Lr

r卜TT

III

L11

-

-

(I)当”=1时.画出函数y=/(x)的图象:

(2)当%>0时，/(”>x恒成立，求。的范围.

题型二：函数图象的识别

【例2】(2025•江西•三模)函数/(x)=x+(c=er)cosx的部分图象大致为()

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【解题总结】

识别函数的图象的主要方法

(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.

(2)利用函数的零点、极值点筝判断.

(3)利用特殊函数值判断.

【变式2・1】(2025•辽宁・模拟预测)下面可以作为函数/(x)=e8"-lnN图像的是()

[变式2-2](2025•陕西安康•模拟预测)函数/*)=ln(x+l)-Inx的图象大致为()

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【变式2・3】（2025•广西河池•二模）己知函数/（x）=xJlnx（aeR）,则以下最不可能是其图像的是（）

函数/（力=（2*+2-'）目的大致图象是（）

【变式2Y】（2025•山西朔州・模拟预测）

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题型三：利用图象研究函数的性质

e'r<0

【例3】(多选题)(2025•湖南郴州•三模)已知函数/(x)=J_八，则下列结论正确的是()

\nx.x>0

A./(4)是奇函数

B./(工)是增函数

C.不等式/(x)>0的解集为(f,0]51,xo)

D.若函数J=/")-〃恰有两个零点，则〃的取值范围为(0』

【解题总结】

利用函数图像求函数最值时，需先绘制出相关函数图像。依据题目对函数提出的条件与

要求，在图像上精准定位取得最值的位置，进而通过计算得出答案。这一过程巧妙地将抽象

的数学问题转化为直观的图形分析，充分体现了数形结合的数学思想。

【变式3・1](多选题)如图放置的边长为1的正方形48。沿x轴滚动.设顶点的纵坐标与横坐标

的函数关系式是J，=/(x)，则下列说法正确的有()

%

C------

~O~(P)~A_X

A.J=/(x)是周期函数，且最小正周期为4

B.歹=/(X)的最大值为亚

C.一[。,4]时，y=/(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为兀

D.一[。，4]时，点/>经过的路程为拉27t

2

【变式3-2](多选题)(2025•湖北武汉•一模)已知函数/(x)=qY+bx2+5+d(。。。)，若函数

g(x)=|/(x+2)-3|为偶函数，则下列说法一定正确的是()

A.y=|/(x)|的图象关于直线》=2对称

B.g(0)=0

C.ab<0

D./(0)+/(4)=6

【变式3-3](多选题)下列说法中，正确的是()

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A.若对任意占,马>o,则y=/(x)在/上单调递增

B.函数y=2|x+l|的递减区间是(-8,7]

C.函数/(x)=2*+2z的单调递增区间为[],“o)

D.y=2x+2cosx在R上是增函数

【变式34](多选题)(2025・重庆•模拟预测)已知定义在口,+8)上的函数/(*)满足Vxw[l,+s),

2/(x)=/(2.r),且当xe[l,2)时，/(x)=-x2+3x-2,则卜列结论正确的是()

A./(3)=g

B./(x)在[4,7]上单调递增

C.函数/(x)=y(x)-。的零点从小到大依次记为工1，々，工3,…，若演+占=6,则。的取值范围为

喝

「1、

D.若函数4力二八力-。在[3[6]上恰有4个零点，则。的取值范用为-J

//

题型四：利用图象解不等式

【例4】(2025•河南•三模)若"X)是定义在R上的奇函数,当i>0时，八幻=2'-4,则不等式〃”)20的

解集为()

A.[-2,2]B.[―2,0]iJ[2,+CO)

C.[—2,0)U[2,+oo)D.(一8,-2]U2+8)

【解题总结】

当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时,

常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.

【变式4・1】(2025・高三・山西晋城・期末)己知“X)为定义在R上的奇函数，/(1)=/(4)=0,当0vx<2

时，/(工)单调递减，当x>2时，/(X)单调递增，则小等式/⑴工。的解集为()

x-3

A.(-8,-1]U[0,3]U[4,-K»)

B.[-4,-1]<J(0J]U(3,4]

C.(-a>,-4]u[-l,l]U(3,-boc)

D.[-4,-l]U[0,l]U(3,4]

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【变式4-2】已知函数/（x）满足：/（2-X）+/（2+K）=0,当x>2时，/（x）=ln（x-2）,则不等式

Mix）<0的解集为（）

A.(_8,1)U(2,3)B.(-oo,0)u(0,l)u(2,3)

C.(1,2)U(3,+8)D.(0,1)52,3)

【变式4・3】（2025•河南商丘•三模）已知定义在R上的奇函数/（x）在[0,+8）上的图象如图所示，则不等

式f/（x）>2/（x）的解集为（）

A.(-V2,0)u(V2,2)B.(y,-2)u(2,e)

C.(-co,-2)u(-V2,0)u(V2,2)D.(-2,-V2)u(0,V2)u(2,+co)

题型五：利用图象求参数的取值范围

【例5】（2025・贵州毕节•二模）已知函数/（x）=F尸,八若方程/（》）=左有3个互不相等的实数根

x+4x+4,x<0.

X],x2,x3（x,<x2<x3）,则斗马工的范围为.

【解题总结】

首先绘制出函数的图像，细致观察参数变化时函数形态与位置关系的动态演变。通过深

入分析，精准定位参数的临界状态，以此为关键节点，进一步推导并确定参数的合理取值范

围，为后续研究或应用提供明确依据。

【变式5・1】（2025•吉林长春•一模）已知函数/*）满足/（x）=/（2x）,且当xe[l,2）时〃x）=lnx.若在区间

[1,4）内，函数g（x）=/（x）-2ar有两个不同零点，则。的范围为.

【变式5-2]（2025・辽宁•三模）已知函数/（刈=叱，关于x的不等式。*2（力-/（力>0只有i个整数解,

x

则实数。的取值范围是.

.\Ilog,AT-11,0<x<4

【变式5・3】（2025•河南•模拟预测）已知函数=F'，存在o<再</</，使得

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/（X,）=/（X2）=/（X3），则再的取值范围是—.

【变式54】（2025•云南曲靖一模）已知min{〃,函数/（x）=min卜，白.，若3xe[l,3],

使得关于x的不等式/。）《/《）成立，则实数/的取值范围是

题型六：根据实际问题作函数图像

【例6】（2025•海南省直辖县级单位•三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上

匀速跑步，他从点A处出发，沿的头方向经过点8、C、。返回到点A,共用时80秒，他的同桌小陈在固

定点。位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为f（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为V（单位:

米），若V=/（f），则/⑺的图象大致为（）

【解题总结】

1、依据定义域与值域确定图像位置;

2、借助奇偶性判定图像对称特性；

3、利用周期性明晰图像循环规律；

4、通过单调性把握图像变化走向；

5、凭借特殊点排除选项错误可能。

【变式6-1】直角梯形如图，直线左边截得面积S=f（/）的图象大致是（）

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瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图像大致是（）

"iDP=x.函数/(x)=\PB\2-\PA\2,则y=/(x)的图象大致为()

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c

题型七：对函数图像进行变换

【例7】（2025•安徽・三模）已知函数/（x）=cos4x,g（x）=e\若下图是函数尸（x）图象的一部分，则

B./(x)[g(-x)-g(x)]

D.

g（A）-g（-X）

【解题总结】

（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.

【变式7・1］若函数y=/（x）的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（）

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【变式7・2】已知函数/(x)=Wnx的图象如图所示，则函数/(1-月的图象为()

+2(0<a<l)的图象平移，可以使图象上的点2(-2,0)变换成点

。(-1,-2),则函数y=/(x)的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为()

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1

D.

X，一]0（

【变式74】（2025・四川成都•一模）函数J，=lgx的图象经过变换8：'今后得到函数了=/（£）的图象,

[y=y+2

则.f（x）=（）

A.-1+lgxB.1+lgxC.-3+lgxD.3+lgx

【变式7・5]若函数y=/（x）是奇函数，则下列各点一定是函数y=/（x+l）+2图象对称中心的是（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-h-2)D.(1,2)

题型八：根据函数图像选择解析式

【例8】（2025•辽宁•模拟预测）已知函数/（X）的部分图象如图所示，则/（4）的解析式可能是（）

B.f[x)=——2sinx

x

C./(A-)=ln|x|-ex|D.f(x)=\n\x\-x2

【解题总结】

U依据定义域与值域确定图像位置；

2、借助奇偶性判定图像对称特性；

3、利用周期性明晰图像循环规律；

4、通过单调性把握图像变化走向；

5、凭借特殊点排除选项错误可能。

【变式8・1】（2025•河南•模拟预测）己知函数/（X）的部分图象如下，则“X）的解析式可能为'、）

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ccosx

D-771

【变式8・2】（2025•四川南充•三模）函数/（x）的图象如图所示，则/（X）的解析式可能为（）

lOsiiu

B./(%)=

x2+l

10(e'-e'i)

D-/(*)=

x2+2

【变式8・3】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分

家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函

数图象的特征.我们从这个商标八人

中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是（)

c/V)=-^-7D."*■

X—1

【变式8-4】已知函数/（x）的图象如图所示，则函数/（x）的解析式可能是（）

v

A./(x)=(4^-4-)|x|B./(x)=(4-4-)log2|x|

C./(力=(4'+4->|D./("=(4、47)嗔2国

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041好题赏析(一题多解)

2.已知函数/(.')的图象如图所示，则函数g*)=/(Tx|)的图象为()

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①数形结合

1.某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如下图所示(收支差额=车票收入-支出费用)，由

于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议⑴不改变车票价格，减少支出费用：建议(2)

不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中,实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系,

C.②反映建议。)，④反映建议(2)D.④反映建议(1),②反映建议(2)

2.已知函数g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

g(x)

C.y=/(x)g(x)D.

y7M

11A

3.在同一直角坐标系中，函数y=/,y=bg“卜+5%。＞0,且“Hi)的图象可能是

()

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②转化与化归

4.已知函数/(x)=(〃7x-l)2—sinr-加在0,y上只有一个零点，则正实数，〃的取值范围为()

/I(1,2(乃+2))

A.(0,1]8.0小[12收

k冗)

(1「4(乃+2)、(1「4(乃+1)'

C.0,l]u[——-~~-,+ooD.0,1]u[12~-5+0°

I

5.设aeR,若x>0时均有[伍一1口一1](/一然一1)利，则。=.

6.如图所示，函数>=/")的图象由两条射线和三条线段组成.若X/XER，则正实

数〃的取值范围是

③分类讨论

x+x,xH)则不等式/(/(X))<6的解集为

7.已知/(幻=・

一厂+x,x<0

X，—3xx•()

8.已知函数/(》)二・'，若g(x)=/(x)-〃有4个零点，则实数Q的取值范围为.

x-Inx,x>0

9.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出।发向同一方向运动，它们的路程/(x)(i=l,2,3,4)关于时间

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2

M4加）的函数解析式分别为工（幻=2，-1,f2（x）=x,£（x）=x,£（幻=1。氏（戈+1）,有以下结论:

①当x〉l时，甲走在最前面；

②当X>1时，乙走在最前面；

③当Ovx<l时，「走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；

④如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.

其中正确结论的序号为.

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基础过关篇

1.（2025•山东枣庄•二模）将函数y=log。,5、的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单

位长度，得到函数y=的图象，若则a+b的最小值为（）

A.-4B.-3C-2D.1

2

|lg(|x|-l)|,|x|>l

2.（2025・湖北十堰•模拟预测）若函数/*）=7c一，关于X的方程/2(X)-3〃X)+2=0的根的

2sin-x,|x|<1

个数为（）

A.7B.8C.9D.10

3.（2025•天津•一模）已知函数/S）的部分图象如图所示，则/（》）的解析式可能为（）

ln|.v|-sin-兀-x

B.f乙W、=

x

n

ln|x|-sin—xD./(.r)=ln|x|-SinX

C.fM=2

息+3至少有

4.已知x=0是/（x）=-（..if-ax的极大值点，若直线2日-2y+l=0与曲线y=」

一个交点，则〃的取值范围为（）

A.[-V6,+oo)B.

3

C.—00,------D.

2

5.（2025•山西忻州•模拟预测）函数/（可=（2'+2，）区的大致图象是（

).

X

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6.（2025・安徽淮北•二模）函数/（x）=a-+bx2+cx+d的图像如图所示，则（）

B.b<0

C.c<0D.d<0

7.如图为函数/（x）在卜2,2］上的大致图象,则/（X）的解析式可能为（）

A./(x)=(e-t+el)cos.rB./(4)=(「+e)sinx

C./(x)=(er-er)cosxD./(x)=(ex-ex)-sinv

<7（v）x>0

8.（2025•北京东城•二模）已知<；下列选项中能使/（x）既是奇函数又是增函数的是（）

—g（x），x<也

A.g（x）=xB.g（x）=x2C.g（x）=exD.g（x）=ln|x|

9.（2025•内蒙古呼和浩特•二模）如图，梯形048。是上底为近，下底为3拉，高为拉的等腰梯形，记

梯形。18c位于直线x=W>0）左侧的阴影部分的面积为/（。，则y=/«）的大致图象是（）

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10.（2025•甘肃金昌•二模）如图，这是函数/（X）的部分图象，则/"）的解析式为（）

―“、sin6x一cos6x

C.f（x］=--------->小）=一k

'JT-T

11.（2024・全国甲卷・高考真题）函数/（》）=-/+（。'-€7卜加在区间［-2.8,2.8］的图象大致为（）

12.（2023・天津•高考真题）已知函数/（力的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）

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5sinx

x2+1

5cos.r

13.（2022•天津•高考真题）函数y=的图象大致为（）

14.（2022・全国乙卷・高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是

2sinx

15.（2022•全国甲卷•高考真题）函数y=（3-r）cosx在区间4卷的图象大致为（）

16.（2025•天津•高考真题）已知函数y=/（x）的图象如下，贝U/（x）的解析式可能为（）

17.（多选题）（2025・广东广州•三模）函数/（X）=4—+2（"HO）的图象被称为牛顿三又戟曲线，以下图

象可能为函数/卜）的图象的是（）

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D.\»

r

18.(多选题)已知函数/(0=一卜一4左一1|+1,xe[4k-\,4k+3\tksZ,则()

A./(2025)=-1B./(x)是偶函数

C./(l+x)=/(l-x)D./(x)+/(x+2)=0

19.(多选题)(2025•湖南娄底•模拟预测)下列函数，其图象平移后可得到函数y=e'的图象的