河北省唐山市2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

河北省唐山市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数（2+i）i的虚部是（）

A.2iB.-iC.2D.-1

2.已知向量a=,力二（3,-3）,若J//Z，则机=（）

11

A.2B.-2C.-D.—

9?

3.某公司生产人，B,C三种不同型号的电子产品，产量分别为100,400,300件，为检

验不同产品的质量，现用分层抽样的方法从以上产品中抽取40件进行检验，则应从C种型

号的产品中抽取的件数为（）

A.5B.10C.15D.20

4.已知圆台上、下底面的半径分别为1和2,高为1,则该圆台的体积为（）

57rnc-7兀、8兀

A.--B.27rC.—D.—

??3

22

5.唐山河头老街景区近期持续火爆出圈.甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为一，一，

5?

假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（）

1424

A.-B.一C.—D.—

S51S15

已知0=（,

6.在VABC中，b=»c=2,则8为（）

71兀2n5兀

A.-B.一uTD.

AA

7.某小组有4名男生.和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥

而不对立的两个事件的是（）

A.至少有1名男生和至少有1名女生B.至少有1名男生和全是男生

C.至少有1名男生和全是女生D.恰有1名男生和恰有2名男生

8.已知直四棱柱ABC。-的棱长均为2,上ZMD=。，设〃，方分别是相邻两个面

的对角线所在的直线，贝h与b所成角的余弦值不可能为（）

A.；B."C.昱D.逅

4444

二、多选题

9.在VA8c中，M为边人8的中点，贝IJ（）

—>—t——――>■■~~>——►・・・・）—•~~>—>**.一——,

A.AB=CB-CAB.BC=BA+ACC.CM=CB+CAD.BM=CB-CM

2

10.已知复数z=十,则（）

A.zT是纯虚数B.展表示的点在第四象限

C.\=\=y/2D.z是方程f+2r+2=0的一个根

11.在VABC中，AB=3,BC=4,AC=5,分别以边A8,BC,AC所在的直线为轴,

其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，分别记为M,1匕，卬一则（）

A.几何体场侧面积为207c

B.几何体W?与几何体W?的体积之比为5：3

C.几何体M与几何体1%的外接球半径之比为5：3

D.过几何体W顶点的平面截1%所得的截面面积最大值为12

三、填空题

12.数据：1,2,3,3,5的第50百分位数是.

13.某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为

4.2小时，方差为1.96：高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91,高一年级男生女

生人数之比为3:2,则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为.提示：

S2=_^~k；+。-二）2]+-^—优+（尸二）2].

7w+〃m+n

2b/、os|

14.在V4NC中，已知生上二竺^,角。的内角平分发交A月于点五，且CE=6,则4"+〃

rrn*;f

的最小值为.

四、解答题

15.己知平面向五与I的夹角为45。，且同=1，.=、9

—>—>

⑴求a.b

试卷第2页，共4页

(2)求上+2〃；

(3)若£+2分与〉助垂直，求A的值.

16.如图，四棱锥S-ABC。的底面是正方形，SD_L平面48CQ.

⑴求证：4。_1_平面5。8：

(2)若AB=1,直线S8与平面A8CD所成的角为60“，求四棱锥5-A8C。的体积.

17.2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任

务，历时约8小时.安全返何天和核心舱.为了弘扬航天精神，某校组织高二学生进行了航

天知识能力测试.现随机抽取100名学生的测试成绩(单位：分)，将所得数据按照[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),180,90),190,10。]分成6组，其频率分布直方图如图所示.

频率

a............——

0.025..........................—

0.015...................

0.010—1-

0.005........——.................—

。“405060708090由0成竭分数

(1)求图中。的值：

(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为

代表);

(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格(60分以下)的学生，采用分层随机抽样

方法抽出5名同学，再从油取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解.，求这2名同

学分数在[40,50),[50,60)各一人的概率.

18.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面4ACG_L平面人8c.D,E分

别是杨8C,AiG的中点.

试卷第3页，共4页

《河北省唐山市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CBCCBADCABABC

题号11

答案AC

I.C

【分析】利用复数的乘法运算化尚复数(2十i)i,再根据复数虚部的定义求解即可.

【详解】因为(2+i)i=—l+2i,

所以虚部为2.

故选：C.

2.B

【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，列式;计算即得.

【详解】向量7i=G〃+Ll),力=(3,—3)，由力，得一3(/7/+1)=1x3,所以小二一2.

故选：B

3.C

【分析】求出分层抽样的抽样比，再求出目标数值.

401

【详解】依题意，分层抽样的抽样比为二八黑.八八二工

所以从C种型号的产品中抽取的件数为」-x300=l"

?0

故选：C

4.C

【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解.

【详解】依题意，该圆台的体积为V=%(12+22+lx2)xl=g.

故选：C

5.B

【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算得解.

22]

【详解】暑假两人都没来此地旅游的概率为(1-?•(1-?=彳，

14

所以暑假至少有1人来此地旅游的概率为1-《=

故选：B

答案第1页，共8页

6.A

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得.

【详解】在VABC中，C=-,b=yf2e=2,由正弦定理得加inC_‘”彳_1

4SHIu————

C22

而b<c,即8<C,所以8=：.

n

故选：A

7.D

【分析】根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可.

【详解】A.当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也

不对立，A错误

B.两名都是男生时，至少有I名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误

C.至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误

D.恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确.

故选：D

8.C

【分析】作出直四棱柱由面对角线构成的四面体，在四面体的各个面中求出三角形内角的余

弦判断即可.

【详解】直四棱柱A8CO-4与中，四面体AC5n的六条棱所在直线能表征直四棱柱各

个面上所有对角线，

该四棱柱的所有棱长都为2,上8八。=三，则A81=4B=8C=Cn=2&,

BR=2,AC=26,

8+8—43|

在△八BQ1中,cos上8]A£>尸2x2>/2x2>?2=4cos.用4=oos±^^i=;

答案第2页，共8页

8+8—121^3*)

在^ACB｛中，cosJLAB|C=2X2\/2X2\/2~7COSZB]JC=cosZ.AC=?1=—^~：

8+8-43iJ2

在ACBR中，cos上BQD=2x2,x2应二4，cosZCBiDi=cos"。的=苏=亍:

8+8-121向[7

在△4CR中'cos±AD,C=2x26x264cos/O/C=cos//C。=芯=—，

所以选项ABD均有可能，C不可能.

故选：C

9.AB

【分析】根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解.

【详解】在VA8C中，AB=CB—CA,A选项正确；

B，=81+A'，B选项正确：

在V48C中，M为边的中点，则2/A/=+ZZ，C选项错误;

CB-CM=/，所以D选项错误；

故选：AB.

10.ABC

【分析】利用复数的除法求出z,再逐项判断即可.

…22(1+i)2+2i

【详解】"数”匚T而而Thki

对于A,z-1;i是纯虚数，A正确;

对于B,z=l—i表示的点（I,一I）在第四象限，B正确;

对于C,|z=J2,C正确;

对于D,(l+i)2+2(l+i)+2=4+4iW0,D错误.

故选：ABC

11.AC

【分析】根据给定条件，利用圆锥的侧面积公式、体积公式求解判断AB：借助圆锥轴截面

求出其外接球半径判断C：求出过顶点的圆锥截而而积最大值判断D.

【详解】在VA8C中，AB'+BC2=25=AC2,即VA8C是直角三角形，且上ABC=90°，

对于A,也是底面圆半径为4,母线长为5的圆锥，侧面积为兀x4x5=20兀，A正确；

答案第3页，共8页

对于B,%是底面圆半径为3,高为4的圆锥，体积为匕二;71x3^x4=12兀

1匕是底面圆半径为耳，直线AC为轴的共底面的两个圆锥组合而成，

体积为匕=!万X当『X5=¥?I,Tf-=7»B错误；

3S5唳4

二525

对于C,W1轴截面等腰三角形底角正弦为二，其外接球半径为0~.3—6，

52XS

15r2525

%的外接球半径〃=-月。=一，因此,二-^x二二彳，C正确：

对于D,W,轴截面等腰三角形顶角等于2上CAB是钝角，

过几何体以顶点的平面截以所得的截面等腰三角形顶角为40<8<2上CA8),

12s

该截面面积S=-x5<in0<—,

22

当且仅当0=90。时取等号，D错误.

故选：AC

12.3

【分析】第50百分位数为数据的中位数，即得.

【详解】数据：1,2,3,3,5的第50百分位数是3.

故答案为：3

13.2

【分析】根据给定条件，求出该校高一学生每周平均锻炼时长，再利用方差公式计算出方差.

【详解】高一男生、女生锻炼时长平均数为4.2,)；=3.7,方差分别为父=1.96,$=1.91,

则该校高一学生每周锻炼时长的平均数二-=32-x+£2y-=4,

所以该校高•学生每周平均锻炼时长的方差为

答案第4页，共8页

i2

?=^[1,96+(4.2-4)2]+^[1.91+(3.7-4)2]=2

故答案为：2

14.I8x/3

【分析】利用正弦定理边化角，逆用和角的正弦公式化简求出C，再利用三角形面积公式,

结合基本不等式求出最小值.

【详解】在中，由"於=吗正弦定理得空处H二”1,

ccccCQinrn^f

即2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB,而sin8>0,

1兀

yii］cosC=-,而0<C<7i,解得C=4,而角。的内角平分线交AB于点E,且CE=6,

得_U.6siU+L.6si/」小kA

由SIACE+S

262623

整理得_L+_l=42,因此4a+b=2>/3(-+-)(4a+b)=243(5+-+—

ab6abab

ir,ib4a

当且仅当厂了即“=2a=6时取等号,

所以4。+b的最小值为］8为

故答案为：IX、万

15.（1）1

⑵布

⑶

【分析】（1）根据数量积公式，即可求解.；

（2）利用向量数量积运算律，结合模长公式即可求解：

（3）根据向量垂直，则（4+2。）•［一房）=。，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求

解.

【详解】<I）ab=|^||^cos45°=lxyflx-^-=1'

⑵p+2.=正+好1+护="+4+8=9：

（3）由题意可知，伍+%）•（1-依）=刀+（2-A）小。-2加=0

B|Jl2+（2^）xl-4A:=0,解得：*=1

答案第5页，共8页

16.(1)证明见解析;

【分析】(1)要证明AC_1_平面SO8,需证明AC垂直于平面SO8内的两条相交直线；

(2)要求四棱锥S-A8CQ的体积，根据四棱锥体积公式为底面积，〃为高)，

需要先求出底而正方形的面积和四棱锥的高.

【详解】(1)因为四边形相8是正方形，所以ACJ.BD,

因为5。_L平面ABC。，平面人BC。，所以5O_L4C,

因为BDnSO=。，且8。,SD「平面SQ8,

所以AC_L平面SD8：

(2)因为SQ_L平面人BCO,所以上S3。为直线S/T与平面43C。所成的角，

因为人3co是正方形，且48二1,

所以BD=J腑+物=J2«所熨收D二xA。=1,

因为SB与平面48CQ所成的角为60“，

SDSD6厂

所以tan上L53。=布=不=>/3：解得：SD=xl6,

BDJ2

所以四棱锥S-ABC。的体积为V=；S/i=；x|x#"冬.

17.(1)0.030

⑵71

(3)(

【分析】(1)根据频率和为1求得〃：

(2)由频率直方图的平均数求法可求得本次航天知识能力测试成绩的平均数；

(3)应用分层抽样等比例性质确定各组抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率.

【详解】(1)由题意可得0010+0.015+0.015+〃+0.025+0.005)xl0=1,可得〃=0.03；

(2)由题意可得(O.OlOx45+0.015x55+0.015x65+0.03x75+0.025x85+0.005x95)x10=71,

本次航天知识能力测试成绩的平均数为71.

(3)由题意,[40,50),[50,60)的频率比为0.010：0.015=2:3,

设抽取的5人中[40,50)有2人为[50,60)有3人为A,比C,

任抽2h^ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10种情况,

答案第6页，共8页

其中分数在[40.50),[50、60)各一人有,共6种情况，

所以这2名同学分数在[40,50),[50,60)各一人的概率为白=1.

18.(1)证明见解析;

(2)2.

【分析】(1)利用线面平行的判定推理得证.

(2)由面面垂直的性质，结合二面角的平面角的意义作出图形，进而求出其正切值.

【详解】(1)在三棱柱ABO4出中，取A3中点尸,连接EF,BF,由E是的中点,

得EF//Bgf/BC,EF=$G=BD,则四边形8/汨尸是平行四边形，DEIIBF,

而BFU平面，OE丈平面4/3与，所以。£7/平面八4仍一

B

(2)在平面ACCA内过点4作A】H_LAC于”,由平面AACG_L平面48C,侧面A/CGn

平面A8C=AC,

得4HJL平面A8C,而ABT面ABC,则4/7_1_人8,在平面ABC内过〃作“G_LAB于G,

连接AG,又儿〃n"G="，4〃,“GL平面人。“，则A3J_平面AG”,

又4GU平面A。"，则4B_LA|G,上%G”是二面角A-/16-C的平面角,

由人8=AA=2,±/MC=[,得AH=2sin==>/L4"=I,GH=AHs\n-=—

33?7

4〃

因此lan上AGH=二2：所以二面角4的止切值为2.

GH

19.⑴处用米;

3

(2)20如米:

(3)16006平