中考数学重点题型：最值问题 （2大易错点分析+26个易错点+易错题通关）教师版

最值问题

直线轨迹专题

易错点1:将军饮马

例：如图，在平面直角坐标系中，4(1,1),8(3,3),点夕为x轴上的动点，则必+P8的最小值为()

A.2逐B.275C.5D.V15

【答案】A

【分析】求出A点关于x轴的对称点A,连接4B,交x轴于点P,则P即为所求点，利用两点间的距离公

式即可求解.

【详解】解：作点A关于x轴的对称点连接48交x轴于点P,则P即为所求点；

・・•点A(1,1),

•••点A关于x轴的对称点4的坐标为(1,-1),

(I,-I),B(3,3),

•^(3—I)2+(3+1)2=2y/5,

即阴+尸8的最小值为26,

故选:A.

【点睛】此题考查了最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识.

变式1:如图，8是。。的直径，CD=8,Z48=20°,点8为弧AQ的中点，点P是直径CD上的一个动

点,则尸A+总的最小值为.

【答案】4

【分析】本题主要考查最短路径及圆的基本性质.作点8关于直径8的对称点E,连接AE、OA.OE、PE,

根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AE即为PA+依的最小值，然后利用圆周角、圆心角、弧之间

的关系及等边三角形的性质可求解.

【详解】解：作点B关于直径CQ的对称点&连接AE、。4、0E、小，根据两点之间线段最短及轴对称

的性质可得人石即为孙+出?的最小值，如图所示：

'BD=E>

ZACD=20°,

・•・ZAOD=40°,

•・•点8为弧AZ）的中点，

•••8。与次）的度数为20°,

・•・ZEO/）=20°,

・・・/AOE=60。，

•：OA=OE,

・••AAOE是等边三角形，

VCD=8,

/.AE=OA=4,

即PA+总的最小值为4,

故答案为:4.

易错点2：三点共线

例：如图，在△ABC中，43=13,80=10,。是3c中点，石尸垂直平分交边于点E,交AC边于

点F,在放上确定一点P,使|尸8-也最大，则这个最大值为（）

A.10B.5C.13D.6.5

【答案】B

【分析】本题考查三角形三边关系.延长8c交宜线b于P,在即上任取一点〃不与点P重合，连接了4,

P7），根据三角形三边关系证明此时，|28-即最大，最大值等「80长即可求解.

【详解】解：如图，延长BC交更线“'于P,在瓦'上任取一点〃不与点尸重合，连接P'B,PD，

A

•・•伊'8一产£)|<BD,\PB-PD\=\PD+BD-PD\=BD,

：.\PB-PD\>\P,B-P,D\,

・•・此时，也最大，最大值等于4。长，

•・•。是8c中点,

・•・5D--15C--X10-5,

22

・・.|PB-叫最大值=5,

故选:B.

变式1：如图，四边形A8C。中，AB//CD,ZA^C=90°,48=5,BC=3,CO=3,点P为直线BC左

侧平面上一点，△水:9的面积为T，则|%-PC|的最大值为.

【答案】3〃

【分析】本题考查三角形三边关系的应用、勾股定理、平行线的性质，关键是得到点P的运动路线.过，

作PHJ.BCJ-H,由三角形的面积公式求得。〃=1,则点。在平行于且与BC的距离为1的直线/上运

动，作C关于直线/的对称点C,连接AC并延长交直线/于产，连接?厂，则|AP-尸q=|AQ-?C|WAC,

当A、C、P共线时取等号，此时最大值为AC的长度，过C作CM±AMfM,利用勾股定理求解AC

即可.

【详解】解：过P作PHLBC于H,

的面积为g,BC=3,

：,-BC-PH=--PH=3,则尸H=l,

22

・••点。在平行于BC且与BC的距离为I的直线/上运动，

作C关于直线/的对称点C,连接AC并延长交直线/于〃，连接PC',则|A尸一尸。=同尸一2当

A、C\P共线时取等号,此时最大值为M9—pq=AC的长度,过。'作aw_L4W于M.

・•・BM=CC=2OC=2,C'M=BC=3,

在中，AM=AB-BM=3,

**-AC=JAM?+CM2=J32+32=3V2，

故答案为：3&.

易错点3：两动一定

例：如图，已知/4。"=15。，点M在边。8上，且QW=4,点N和点P分别是OM和04上的一个动点，则

【答案】B

【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形30。角所对直角边等于斜边一半，作“关于0A

的对称点,过1％作M|N_LOB交Q4于一点即为最小距离和点P,结合直角三角形30。角所对直角边等

于斜边一半求解即可得到答案.

【详解】解：作M关于。4的对称点1％,过作M|N_LO3交04于一点P,如图所示,

丁M】是M关于04的对称点，。0=4,403=15。，

NM0M=2/404=30°,OM.=OM=4,PM=PM「

♦:M、N工OB,：.(PM+PN)EE=MIN,NON%=90。，

：.M.N=-OM.=2.

121

.・・(PM+PN)inin=2,

故选：B.

变式1：如图，在四边形A8CO中，AD//BC,AB=AC,BC=6,△OBC的面积为24,A3的垂直平

分线MN分别交A/3,AC于点M、N,若点尸和点。分别是线段MN和8C边上的动点，则P3+PQ的最小

值为.

【答案】8

【分析】连接AQ,过点。作Q〃_LBC于，.利用三角形的面积公式求出。〃，由题意

PB+PQ=AP+PQ>AQ,求出AQ的最小值，可得结论.

【详解】解：连接AQ，过点。作O”J_8c于〃.

•・•△O8C面积为24,4。=6,

..--BCDH=24,

2

=8,

••・MN垂宜平分线段八B,

：.PA=PB,

;.PB+PQ=AP+PQ>AQ,

•••当八Q的值最小时，P/PQ的值最小，

根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小,

vAD//BC,DH1BC,

DH//AQ,

••・四边形O"QA是平行四边形，

〈DH1BC,

••・四边形。"QA是矩形，

..AQ=DH=S.

.••尸8+PQ的值最小值为8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解

题的关键是把最短问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型.

易错点4：两动两定

例：如图，已知正比例函数>=依（心>0）的图象与x轴相交所成的锐角为70。，定点A的坐标为（。，4）,

P为），轴上的一个动点，M、N为函数量=心”>0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为（）

A.2B.4sin40°

C.28D.4sin200(l+cos200+sin20°cos20°)

【答案】C

【分析】如图所示直线OC、），轴关于直线），=履对称，直线OD、直线y=h关于y轴对称，点4是点4关

于直线），=丘的对称点，作A'E_L。。垂足为七，交），轴于点P,交直线）=右于M,作尸N_L直线＞，=心垂足

为N,此时4"+2/3+户义=4，"+尸3+/^=4七最小（垂线段最短），在RTAA'EO中利用勾股定理即可解决.

【详解】解：如图所示，直线。以y轴关于直线y=E对称，直线。。、直线y=h关于y轴对称，点A是

点A关于直线），=匕的对称点.

作*及LO。垂足为E交y轴于点P,交直线y=履于M,作PML直线y=h垂足为N,

•:PN=PE,AM=A'M,

••/M+PM+PN=4知+夕加+。石=4£：最小（垂线段最短），

在R%/VEO中，•・•NA'EO=90。，O4'=4,NAOE=3N4OM=60。，

AfE=＞JOA＞2-OE2=273.

:.AM+MP+PN的最小值为2G.

故选:C.

【点睛】本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理、一次函数等知

识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到等P的位置.，题目有点难度，是最短问题中比较难的题目.

变式1：如图，已知正比例函数旷二日仅＞0）的图象与九轴相交所成的锐角为70。，定点A的坐标为（0,4）,P

为y轴上的一个动点，M、N为函数），=丘（攵＞0）的图象上的两个动点，则人M+的最小值为

【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形30。角的性质，勾股定理，利用轴对称性,

找到正确的P的位置是解答本题的关键.

作直线OC与y轴关于直线对称，直线0D与直线），=履关于y轴对称，点N是点A关于直线），="的

对称点，作A'E_LOD,作PN1MN,此时AM+MA+/W最小，即AM+PM+/W=A'七，在RtaAEO中，

利用勾股定理得到答案.

【详解】如图，直线oc与y轴关于直线丁二履对称，

直线0。与直线），=心关于y轴对称，

点A'是点A关于直线y=kx的对称点，

作A'E_LO£>,垂足为E，交y轴于点交直线)，=收于点M,

作PN_LM7V,

；PN=PE,AM=A!M,

AM+PM+PN=AM+PM+PE=ArE,

此时AM+MP+PN最小,

在Rl“VEO中，

Z/TEO=9()。，OA'=4,ZAfOE=3ZAOM=60°,

OE=-OAf=2,

2

AfE=xlOA,2-OE2=>/42-22=2G，

••・八例+叱+8V的最小值为2旧，

故答案为：2.

易错点5：两动一定长

例：如图，长方形A8CO中，AB=4,BC=2,G是人。的中点，线段“'在边人B上左右滑动，若EF=\,

则GE+3的最小值为（）

A.2百B.25/2C.3V2D.373

【答案】C

【分析】将EC沿着左向左平移使尸与E重合，得到CE,根据动点最值问题“将军饮马”模型，作G关于4B

的对称点G',连接CG',此时GE+b的最小值为线段CG'长，利用勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：将"C沿着左向左立移使户与E重合，得到CE,如图所示：

由平移性质得到EC=FC.EF=CC,

GE+CF=GE+EC,

作G关于的对称点G',连接CG'、GE、EC,如图所示:

G'

二•由对称性得到G'E=GE,

・•.GE+CF=GE+EC=G,E+EC,

由图可知，GE+CF=GE+EC=G*E+EC>GC,此时，当G'、E、C三点共线时，GE+G有最小值,

为线段CG'长，

•••EF=1,

：.CC=EF=\,

在长方形A8CO中，AB=4,BC=2,由矩形性质可得4。=3c=2,A8=QC=4,

.•.DC'=DC—CC=4-1=3,

vG是4。的中点，

:.GA=-AD=\,

2

,/G与G'关于4B的对称,

/.AG=AG=1,

在长方形ABC。中，？。90?,

・••在R3GZX7中，？£>90?,ZX7=AO+AG，=3,DC=3,上勾股定理得到

GC=dcrf+GD2=732+32=372，

・•.GE+CF的最小值3行，

故选：C.

【点睛】本题考查动点最值问题•将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动

点最值问题-将军饮马模型题型的设别及做题方法步骤是解决问题的关键.

变式1：如图，“4C中，=90°,ZA=30°,BC=2,若。,E是边A4上的两个动点，〃是边AC上的

【答案】3一也

2

【分析】过。作AB的对称点G，连接CG,交AB于N;过&作C,c2〃AB,R0G=也，过作，片。

于F,交A8于E,尸的长度即为所求最小值，根据含30度的直角三角形的性质，进行求解即可.

【详解】解：如图，过C作A8的对称点C-连接CG，交AB于N；过G作CC2〃AB,且6。2=&,过

g作于居交AB于E,GF的长度即为所求最小值，

・•.四边形是平行四边形，

QDEC2

:.C}D=C2E,

又•••CG关于AA对称，

:,CD=C\D，

：,CD+EF=C2F,

VZA=30°.ZACB=90°,

/.AC=y/3BC=2>/3,

:.CN=B/W=3,

过C?作GMLAB,则GM=GN=CW=75，

：・C?M//C\N,C\G〃MN,

:・MN=CG=4i,

/MEC?=/AEF2AFE=/C?ME=90°,

:.NMGE=NA=30。，

在R3QWE中，ME=1，GM=S，GE=2,

:.AE=AN-MN-ME=3-C-\=2-五，

・yri夜

••匕卜=1------，

2

ACF=2+1--=3-—.

222

BP：CD+律的最小值为3-XZ.

2

【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题.同时考查了平行四边形的判定和性质，含30度角的直

角三角形，勾股定理.熟练掌握轴对称的性质，确定线段和的最小值，是解题的关键.

易错点6：三动点

例：如图，在直角三角形ABC中，，ZACB=300,48=8,点P为8C上任意一点，连接物,以PA,PC

为邻边作平行四边形厚QC,连接PQ，则打2的最小值为（）

A.3B.4>/3C.6D.26

【答案】B

【分析】设P。与AC交于点。，作。/_18c于尸’，根据直角三角形的性质得8C=2A8=16,根据勾股

定理得4。=86，根据平行四边形的性质得0A=0C=4G，根据OP'_L8C,46=30。得

0〃二g0C=差，当尸与p’重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，进行计算即可得.

【详解】解：如图所示，设尸Q与AC交于点O,作OP'J_8C于P，

在凡AAAC中，ZACB=30°,

・,.BC=2人B=16,

JAC=yjBC2-AB2=>/i62-82=8g，

•・•四边形以QC是平行四边形，

・•・OA=OC=46，

•：OP工BC,ZACB=30°,

・••。尸」0。=这，

22

当P与尸重合时，O2的值最小，则PQ的值最小,

・JQ的最小值为：2OP'=4瓜

故选：B.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，垂线段最短的性质，解题

的关键是掌握平行四边形的性质用垂线段最短的性质.

变式1：如图，ZkABC中，AC=BC=3,AB=2,将它沿A8翻折得到△回/),点P、E、尸分别为线段AB、AD.

QB上的动点，则PE+P/的最小值是.

【答案】平取

【分析】首先证明四边四边形A/3C。是菱形，作出小关于A4的对称点M，再过M作MEJ_AD，交/W于

点P,此时PE+PF最小,求出ME即可.

【详解】解：作出/关于的对称点M，再过M作M£_L4。，交AB于点F,此时PE+产F最小，此时

PE'+P'F=MF,过点4作4N_LBC,C”_LAB于，，

•・•△A4C沿AB翻折得到ZkAB。,

：.AC=AD,BC=BD,

*：AC=BC,

：,AC=AD=BC=BD,

；•四边形AO8C是菱形,

\fAD//BC,

:.ME'=AN,

'：AC=BC.

：,AH=^AB=\,

由勾股定理可得，。〃=疹下=2&，

,/7xABxCH=；xBCxAN,

可得AN=t2,

3

：,ME,=AN=—

3t

・・・PE+P厂最小为生色.

3

故答案为；4，.

【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

易错点7：周长最小

例：如图，408=30%0C为/AO3内部一条射线，点P为射线。。上一点，0P=6,点M、N分别为04、

0B边上动点,则周长的最小值为（）

【答案】A

【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的

位置.作点。关于0A的对称点1,点。关于。8的对称点鸟，连接《鸟，与OA的交点即为点M,与。8的

交点即为点M则此时M、N符合题意，求出线段4丹的长即可.

【详解】解：作点P关于。4的对称点4,点夕关于。8的对称点尸2,连接勺鸟，与04的交点即为点M,

与。B的交点即为点N,

A

Pl

△PMN的最小周长为PM+MN+PN=+MN+,

连接OPZ,贝=OP=6,Zf]OA=ZAOC,ZP2OB=ZBOC,

・・・N《O6=2/AOB=60。,

・・・乙。46是等边三角形，

・•.4鸟=。[=6,即△PMN的周长的最小值是6.

故选:A.

变式1：如图，在aABC中，点。为A8上一动点，连接C。，点£为线段C。上一点，点?，点G分别为边

CA,边。4上的动点，若N4C4=30。，CE=6,则△所G的周长的最小值为.

【答案】6

【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质.作点£关「直线AC

的对称点M,点E关于直线4。的对称点M连接MN交AC于凡交BC于G,则此时，的周长最小，

最小值=MN，根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】解：作点E关于直线AC的对称点M,点E关于更线回的对称点N,连接MV交AC于凡交BC

于G,

则此时，△EEG的周长最小，且△EFG的周长的最小值=的，

连接CM,CN,

•・•点E关于直线AC的对称点M,点E关于直线8C的对称点M

:・CM=CE=CN=6,ZMCF=NECF,小CG=/ECG,

・•・ZMCF+ZNCG=ZECF+/ECG=30°,

・••/MCN=60。，

・••是等边三角形，

，MN=CM=6,

・••^EFG的周长的最小值为6,

故答案为：6.

易错点8：中位线

例：如图，在平行四边形488中，ZC=135°,48=2,AO=3,点/G分别是CD8c上的动点，连

接A",GH.E,F分别为A4,G”的中点，则石户的最小值是（）

A.2B.72C.乎D.2夜

【答案】C

【分析】作AQL8C,根据中位线定理可推出进一步可得当4GJ.BC时，AG有最小值，此

时历的值也最小.据此即可求解.

【详解】解：作AQ_L8C,如图:

•・•£,尸分别为A”，G”的中点

：.EF=-AG

2

故：当人G_L8C时，AG有最小值，此时的值也最小

:.EF的最小值是QAQ

•/ZC=135°M^=2

.­.ZB=180°-135°=45°

AQ=A8xsin450=&

，Er的最小值是正

2

故选：C

【点睛】本题考查了中位线定理、平行四边形的性质、解直角三角形等.掌握相关结论即可.

变式1:已知矩形A3CO中，4y=24>=4,点昆尸分别是边AN、C,〃的中点，点产为AD边上动点，过

点P作与A3平行的直线交所于点G,连接正，点M是正中点，连接MG,则MG的最小值=.

【答案】g

【分析】连接AC交PG与点M连接EN,利用勾股定理求得水?=2石，即有sin/ZMC邛，根据平行得

△4\右5“13和44〃65440/，有效=至=型.则有MG为△PEN的中位线，即MG=」EN,当

CFAFDF2

FN

EN_LAC时，EN最小，MG也最小，利用sin/B4C=——，即可求得答案.

AE

【详解】解：连接AC交PG于点N,连接目V,如下图：

VAB=2AD=4,点、E、尸分别是边A3、8的中点,

2

/.CF-FD-AE-2,AC7A》十CD一,2?十4?一2行，

BC二2二石

・••sinABAC=

~CA~245~~5~

,:PGHCD,

ANGsjCF,AAPGS^ADF,

.NGAGPG

'~CF~~AF~~DF'

,:CF=FD,

:.NG=PG,

•・•点M是PE的中点，

为△PEN的中位线，

:.MG=-EN,

2

当ENJ.AC时，EN最小,MG也最小，

..EN_•

•=sinNBAC=—,

AE5

•皈26

••EN=------9

5

则=且.

2255

故答案为：当.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、三角形中位线和三角函数的应用.解题

关键是恰当作辅助线，并得出中位线.

易错点9：斜中定值

例：如图，在平面直角坐标系中，正方形A8C。的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为

4,则线段OC长的最大值是（）

A.2+2石B.2+2石C.4及D.8

【答案】B

【分析】取48的中点E,连接OE、CE,则根据正方形的性质及勾股定理得出。£=2百,

OE=^AB=2,结合图形得出当点E在线段。。上时，线段OC的长最大，即可求解.

【详解】解：如图，取A8的中点E,连接OE、CE,则=

•・•四边形A8C。是正方形，边长为4,

A^ABC=90°,AB=BC=4,则BE=pB=2,

在RSCE8中，NC8E=90。，由勾股定理，得CE=jBC2+BE2=2后

*/在Rt^AOB中，NAOB=90。，点E是斜边AB的中点，

AOE=-AB=2f

2

由图可知：OC<OE+EC,当点£在线段OC上时，线段OC的长最大，最大值是OE+CE=2+2石,

故选B.

【点睛】题目主要考查正方形的性质，直角三角形斜边.上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关

系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键.

变式1：如图，长方形两边长A8=2,AO=I,两顶点4、4分别在），轴的正半轴和x轴的正半轴上运动,

则顶点D到原点O的距离最大值是.

【答案】1+V2/V2+1

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出。。过

的中点时值最大是解题的关键.取AB的中点£,连接。0、OE.DE,根据直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半可得。七二；A8,利用勾股定理列式求出OE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得

。力过点E时最大.

【详解】解：如图：取线段A6的中点K,连接。力、OE.DE,

VAB=2,点E是AB的中点，4408=90。，

・•・AE=BE=l=OE,

•・•四边形A8CO是长方形，

AAD=BC=],ZDAB=90°,

'DE=《AE、AD2=6,

•：OD^OE+DE,

・•・当点。，点£点。共线时，。。的长度最大.

，点。到点。的最大距离=OE+OE=1+夜，

故答案为：1+0.

易错点10：隐直线

例：如图，在长方形A8C。中，A8=5,AD=3,动点夕满足“凡仍.长方形.a，则以+股的最小值为

A.国B.734C.V29D.5拒

【答案】A

【分析】本题考查矩形性质，勾股定理.根据题意先求出的面枳，再利用作对称分析线段相加最小值

后用勾股定理即可求出本题答案.

【详解】解：设△RS中A8边上的高是〃，

•・•在长方形A8CQ中，AI3=5,AO=3,

S长方形AB8=5x3=15

•S^PAB=­S长方形aHCO»

••SMAB=§xl5=5,

：.-AB.h=-x5Ji=5即〃=2,

22t

动点P在与AB平行且与4B的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接班;，则班:

即为最短距离，

VAB=5,AE=2+2=4,

,,BE=>/AB2+AE2=\J5~+42=、/，

：・P4+P8的最小值为标，

故选:A.

变式1：如图，在矩形A8CD中，A8=5,40=12,点E是矩形内一动点，连接8旦CE,5、,皿=：S矩即。叱，

尸为AO上一动点，连接政，则跖+CE+庄的最小值是.

【分析】取/W的中点M,CD的中点N,连接MV、BD交于点E',过点£/作£FJL4）于尸'，过点石作

EG_L8c于点G,求出BD=QAB?+AD，=13，由M、N分别是ARCD的中点得到BM=CN=g,MN〃BC,

根据S、9=；S地形A8m求得EG4则点E在线段MN（不包括端点）上运动，证明EC=£。，当且仅当3、

E、。三点共线时，BE+CE最小,即B£+C£=8O=13为BE+CE的最小值，由点尸在AO上运动，得到

当£U_LAT>时，E/取得最小值|,即可得到3E+CE+庄的最小值.

【详解】解：如图，取A4的中点M,CO的中点M连接MV、B。交于点E,过点£作E9_L4）于9，

过点石作EG_L8C于点G,

;矩形A6CO中，A6=5,AD=12,

,BD=yjAB2+AD2=>/52+122=13»

■:M、N分别是A8、CO的中点，

ABM=CN=-,MN〃BC,

2

,S%BCE=TS矩形人网7八

；・；BCEG=；ABAD,即gx12xEG=》5x12,

・•・EG=-

2t

・•・点七在线段MN（不包括端点）上运动，

VC.。关于直线MN对称，

:.EC=ED,

当且仅当3、E、。三点共线时，BE+CE最小,即3F十CE=BD=13为3七十CE的最小值,

•・•点尸在AO上运动，

・・・当£/_1人£）时，石厂取得最小谊g,

531

・•.BE+CE+产E的最小值是：BE+CE'+EF=8。+=13+-=—,

22

故答案为：

2

【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、轴刈称的性质、靛短路径等知识，求出6E+CE和石尸的最小

值是解题的关键.

易错点11:矩形对角线

例：如图，RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,8C=4.点。是A8边上的动点，过点。作边AC、BC

垂线，垂足分别为£，F.连接石厂，则E尸的最小值为（）

A.3B.2.4C.4D.2.5

【答案】B

【分析】连接CD,求出AB的长度，根据矩形的性质EF=CO,求的最小值，即求C。的最小值，当

CZ）_LA8时，。。最小；根据三角形的面枳公式即可求出CD的长，即可求解

VZAC^=90°,AC=3,8C=4,

,AB=y]AC2+BC2=5»

VDEIAC,DFA.BC,NAC3=90。，

:./DEC=ZACB=ZDFC=90°,

・•・四边形CEDF是矩形：

；・CD=EF,

由垂线段最短可知，当C£>J_A小时，线段8最小，则线段后产的值最小,

此时s=-BCAC=-ABCD,

4八22

即;x3x4=gx5xCQ

ACD=2.4

・•・川的最小值为2.4,

故选:B.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩

形的判定与性质是解题的关键.

变式1：如图.直线尸。+3与坐标轴分别交于点A,片,点。是线段AR卜一动点.过点〃作PWLx轴于

4

点历，作PN_Ly轴于点N,连接MN,则线段MN的最小值为.

【分析】如图，连接0P,依题意，四边形是矩形，则。P=MN,当0P1A4时，0P最小，用等

面积法求得0P即可.本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，找到MN=OP是解题的关键.

【洋解】如图，连接02，

•••过点P作尸MLv轴于点作PN_Ly轴于点N,ZAOB=90°,

••・四边形OM/W是矩形，

•••OP=MN,

・••当OP工A8时，0P最小，

・・•直线)，=。+3与坐标轴分别交于点人B,

4

令工=0,则y=3,

40.3),

令y=。,则0="t+3,解得x=-4,

/.我-4,0)

.-.OA=3,O/3=4,

.•.AB=JOA2+OB?=用+42=5'

当。P_ZA8时，

SZAAA.o„Cr=—2OAxOB=—2OPxAB,

z„,OAxOB3x412

AB55

MN=OP=—.

5

I?

故答案为：y.

J

易错点12：数形结合

例：函数产&+2.r+2+&-6x+13的最小值是()

A.2+VF7B.1+2石C.5D.后

【答案】C

【分析】把3=，/+2入+2+，/一6x+13配方得J(X+1)2+(0—1『+J(X—3)2+(0—2)2,得到y就是在x轴

上的点？(笛0)到A(T1)和8(3,2)的距离之和，求得点A(T1)关于4轴的对称点为连接48交

x轴于P,则此时，点尸(“0)到A(T1)和8(3,2)的距离之和最小，即为A8的长，根据两点间的距离公式

即可得到结论.

Iy

【详解】.为

A♦/

—*"卜-「A二

y=Jx2+2x+2+Vx2-6x4-13

=J(x+1)2+(。-1)+-^(x-3)2+(0-2)*

••・)，就是在X轴上的点?(x,0)到4-1,1)和B(3,2)的距离之和,

•.•点A(-l.l)关于无轴的对称点为

连接A79交x轴于点P,

则此时，点尸(以))到A(-1,1)和8(3,2)的距离之和最小,即为的长,

.•根据两点间的距离公式得：A'B=^(-1-3)2+(-1-2)2=5，

故选：C

【点睛】本题考查了函数的最值，两点间的距离公式，推理出函数的最值就是43的长，是解题的关键.

变式1：数学教育家波利亚曾说：“对•个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东

西，这是数学解题的一个重要原贝厂.在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当

0<x<12时，求代数式JZ£+J(12-x):+9的最小值”,其中庐N可看作两直角边分别为“和2的

的斜边长，70^7^9可看作两直角边分别是12-x和3的的斜边长.于是构造出如图，

将问题转化为求AP+8P的最小值.运用此方法，请你解决问题：已知。，。均为正数，且。-10=-爪则

xla2+9+\lb2+25的最小值是.

【答案】2向

【分析】根据题中所给的思路，将庐3可以可看作两直角边分别是〃和3的Rt~4CP的斜边长，庐石

可以可看作两直角边分别是方和5的的斜边长，故问题转化为求4P+BP的最小值，连接A8,则

A尸+8尸的最小值为A&再利用勾股定理计算出AB即可.

【详解】解：如图：必不可以可看作两直角边分别是〃和3的RLACP的斜边长，庐而可以可看作

两直角边分别是/，和5的RL8OP的斜边长，故问题转化为求AP+8P的最小值，连接A3,则AP+3P的最

小值为AB,

Va-]0=—b»即a+Z?=10,

，BE=10,

VA石=3+5=8,

••AB=>/lO2+82=2V4T，

:.AP+BP的最小值为2向,

故答案为：2面.

【点睛】本题考宣勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答.

易错点13：蚂蚁爬行

例：如图，已知圆柱底面的周长为6m,圆柱高为3m,AC为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点

A爬到点C的最短距离为（）m.

A

B

A.2石B.3&C.3>/5D.5x/2

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定埋的应用，把圆柱的侧面展开，找出最短路径4C,利用勾股定埋解答即可求解,

把圆柱的侧面展开，找出最短路径是解题的关键.

【详解】解：如图，线段AC的长度即为蚂蚁从点A爬到点C的最短距离,

;圆柱底面的周长为6m,

BC=-x6=3m,

2

•・•48=3m,

：•AC=X/32+32=3V2m，

・••蚂蚊从点A爬到点C的最短距离为3&m，

故选：B.

变式1：如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点。的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体

的表而从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是.

【答案】25

【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时,

②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可.

【详解】解：由题意得：

①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：

...80=15,AO=20,

工在中，AB=yjBD2+AD2=25：

②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示:

・••在中，A8=j8£>2+AD2=

VA/725>25,

工一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,

需要爬行的最短距离是25,

由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑;

故答案为：25.

易错点14：切线与勾股定理

例：如图，。。的半径为2,点。到直线/的距离为3,点。是直线/上的一个动点，PQ切0。于点。，则

A.x/l3B.75C.3D.2

【答案】B

【分析】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点.因为PQ为切线，所以△0PQ是直角三角形.乂

。。为定值，所以当0P最小时，PQ最小，根据垂线段最短，知OP=3时出?最小，根据勾股定理得出结论

即可.

【详解】解：・・・「。切于。。于点。，

.・.NOQP=90。，

/.PQ2=OP2-OQ2.

又第=2,

・・・PQ2=0尸-4,即夕。="。尸一4,

・••当OQ最小时，R2有最小值.

又•,•点。到直线,的距离为3,

:.0P的最小值为3,

：・PQx后二二邪.

故选:B.

变式1：如图，在平面直角坐标系中，P是直线人A：y=gx+3上的一个动点，0O的半轻为1,过点P作。0

的切线，切点为Q,则。。长度的最小值为.

【分析】首先确定点坐标，利用勾股定理解得的长度：连接OP,0Q,切线的性质可得OQ-LP。，

所以在Rl△。尸。中，由勾股定理可得PQ=J。/—02?,当OPUAB时，OP取最小值，。。也取最小值,

然后利用面积法解得0P的值，进而确定。。长度的最小值即可.

【详解】解：对于直线八A：y=；x+3,

令工=0,则y=3,即8(0,3),

令片0,则0=gx+3,解得x=-6,即4-6,0),

・・・0A=6,013=3,

,/乙404=90°,

***AB=do^+OB?=>/62+32=3x/5,

连接OP,OQ,如下图,

y

•・・P。为00的切线，。。的半轻为1,即OQ=1,

0Q±PQ,

，在RtAOPC中，PQ=y/oP2-OQ2，

当。PIA8时，0尸取最小值，也取最小值，

此时可有Soyf）=-ABxOP=-OAxOBt

g|J-x3^xOP=lx6x3,解得。P=延，

225

：・PQ=J。尸-OQ?=＞哈7=华，

・・・PQ长度的最小值为返.

5

故答案为：叵.

5

【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴交点问题、勾股定理、垂线段最短、切线的性质定理等知

识，正确作出辅助线，结合切线的性质分析问题是解题关键.

易错点15：圆锥侧面展开图

例：如图，圆锥的底面半径是2,母线长是6.如果点A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧

面•圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（）

C

二

A.6&B.6x/3C.12D.47r

【答案】B

【分析】此题考查了圆锥的计算；首先求出4。的长，再利用勾股定理求出A。以及AC的长即可.

【详解】解：连接AC,过3作8D_LAC于O,

设圆锥侧面展开图的圆心角为〃。，

圆锥底面圆周长为2x2%二4»，黑,

IOV

则”=120,

・.・BC=BA,BDA.AC,

：.zABD=ar,

由AB=6,可求得80=3,

AD=3A/3,

AC=2AD=6x/3,

即这根绳子的最短长度是6G,

故选:B.

变式1：如图，圆锥的母线长A8为2,底面圆的直径为2,若一只蚂蚁从圆锥的点8出发，沿表面爬到AC

的中点。处，则其爬行的最短路线长为.

【答案】V5

【分析】画出圆锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短可判断4〃的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开

图的扇形的圆心角为〃。，利用弧长公式得到2万？二^^广，求出〃得到N3AC=90。，然后利用勾股定理计

180

算出4。'即可.

【洋解】解：如图为圆锥的侧面展开图，连接〃77,则的长为蚂蚁爬行的最短路线长,

设展开图的扇形的圆心角为“。，

根据题意得？成=嘿^，

1o()

解得〃=180,

即/胡E=180。，

/.NBAC*=90。，

在中，==5

，蚂蚊爬行的最短路线长为6.

故答案为：逐.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长，也考查了最短路径问题.

易错点16：手拉手

例：如图，在△ABC中，NACB=90。，AC=2C=2,点。是8。边的中点，点尸是AC边上一个动点，连

接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ,则。。的最小值是()

A

Q

A.在B.JC.—D.-

4224

【答案】B

【分析】

本题考垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，构造全等三角形解决问题.如图在C。的下方作等边△8T,作射线丁。.证明△C。噂△'N)Q(SAS),

推出NDCP=NOTQ=90°,推出/。”=30。，推出点。在射线，。上运动，当CQ_L7Q时，CQ的值最小.

【详解】

解：如图，在CO的下方作等边△口)丁，作射线TQ.

NCDT=NQDP=600,DP=DQ,DC=DT,

NCDP=/QDT,

在也。尸