《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第4课时

第4课时7.4.1二项分布

（-）教学内容

〃重伯努利试验、二项分布及其数字特征.

（二）教学目标

结合具体实例，了解〃重伯努利试验的概念，了解二项分布的概念；能判断

随机变量是否服从二项分布，会计算二项分布的数字特征.

（三）教学重点和难点

重点：〃重伯努利试验、二项分布及其数字特征.

难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.

（四）教学过程设计

引导语

俗话说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，现在刘备帐下除了诸葛亮之外还有三名

谋士.假设对某事进行决策时，这三名谋士的提供正确意见的概率均为0.8,诸葛

亮提供正确意见的概率是（）9现刘备为某事是否可行征求他们意见.以下有两种

方案：

（1）征求每名谋士的意见，并按多数人的意见做出决策.

（2）采纳诸葛亮的意见.

同学们，如果你是刘备，你应该选择哪种方案呢？学完本节课，你就能做决

定了.

设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考，积极参与互动，说出自己

的见解，从而引入本节课内容.

1.〃重伯努利试验

在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含

两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱

靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努

利试验.

我们将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验称为〃重伯

努利试验.

问题1:你能根据〃重伯努利试验的定义，归结总结它的特征吗？

师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流，得出〃重伯努利试验具

有以下共同特征

（1）同一个伯努利试验重复做〃次；

（2）各次试验结果相互独立.

设计意图：在具体实例的基础上理解伯努利试验和〃重伯努利试验的概念,

并探究〃重伯努利试验的特征，提升数学抽象的核心素养.

问题2：下面3个随机试验是否为〃重伯努利试验？如果是，那么其中的伯

努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A,那么4的概率是多

大？重复试验的次数是多少？关注的随机变量X是什么？

（1）抛掷一枚质地均匀的硬币1（）次.

（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为OS,连续射击3次.

（3）一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.

师生活动：在学生充分思考、讨论的基础上，找几名学生回答.根据学生的

回答情况，教师进行评价指导，最后将结果以表1的形式展示给学生：

表1

随机是否为〃重重复试验关注的随

伯努利试验事件AMA)

试验伯努利试验的次数机变量X

正面朝上

(1)是抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝.上0.510

次数

(2)是某飞碟运动员进行射击中靶0.83中靶次数

(3)是从一批产品中随机抽取一件抽到正品0.9520正品次数

问题3：通过上述实例，你能说说伯努利试验和〃重伯努利试验有什么不同

吗？

师生活动:在学生思考的同时，教师可以适当的引导，让学生在充分理解这

两个概念的基础上进行辨析.

伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”.在实验中，只关注某个事件发生

或不发生；〃重伯努利试验是对一个“只有两个结果的试验”重复进行〃次，试

验中关注点是某个事件“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型的随

机变量，所以我们关心的是它的概率分布列.

设计意图：通过具体的实例加深对伯努利试验和〃重伯努利试验概念的理解,

通过辨析进一步理解这两个概念，提升学生逻辑推理和数学抽象的数学素养.

2.二项分布

问题4：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数

X的分布列是怎样的？

师生活动：教师提出问题，学生思考、交流，教师进行指导，共同体验二项

分布模型的构建过程.

用4表示“第i次射击中靶"(i=l,2,3),用如下图1的树状图表示试验

的可能结果.

求必结生K的取”[

—O43AAACA_,•一——3

A

r-一-AlA2A3。-2

一

Q生一-_q4A】A2A3。2

O.2~

6H------1

-oA:l—■A1A2A3-

人"———2

0.8.—A1A2A3-

一丁一

().2

-oA:i•.-A1A2A3一一1

_ll.1

NiA?•A1A2A3

O72P出一'A1A2A3一--------O

图I

由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有2-18种可能结果，它们两两

互斥，每个结果都是3个互相独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得：

P(X=0)=02,,

Mx=1)=44可©+苗&4)+P(A氐&)=3x0.8x0.22,

Rx=2)=HA42%)+P(A可A)+市44)=3XO.82X0.2

3

p(x=3)=P(AiA2A3)=O.8.

为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好

2次中靶的所有可能结果可表示为011,110,101,这三个结果发生的概率都相

等，均为0.82x0.2,并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率

为C；x0.82x0.2.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是，中靶次数X的分布

列为

P(X=2)=C；xO0xO.2f,k=0,1,2,3.

问题5：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结

果有哪些？写出中靶次数X的分布列.

师生活动：学生类比上面的分析，独立给出解答.

用4表示“第i次射击中靶"(i=l,2,3,4),则表示中靶次数X等于2的

结果有：AlA2AyA4,AA2A3A4,AA24A^24A4，4A2A劣儿，共6

种.中靶中靶次数X的分布列为

尸(X=A)=C：xO0xO.2J,k=。,1,2,3,4.

结合上面实例，师生共同归纳得出二项分布的概念：

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件4发生的概率为〃

(0v〃<1),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

MX=A)=C；pA(l—〃片，k=i,2,・•・，

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布,

记作X~

设计意图：通过对具体问题的分析，让学生掌握二项分布的概念及其特点,

发展学生的数学抽象核心素养.

追问L二项分布与两点分布有何关系？

师生活动：学生独立思考，回答该问.

两点分布是一种特殊的二项分布，是二项分布〃=1的情况.

追问2：二项分布和二项式定理有何联系？

师生活动：学生思考、讨论、交流，教师指导.

可以将P看成看I-〃看成。，则cy(i-p片就是[(I-P)+PF的通项公式.

则有Hx=A)=C：p"(1-p)j=[(1-p)+PT=1.

设计意图：通过比较，加深对二项分布概念的理解.

3.例题分析

例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

（1）恰好出现5次正面朝上的概率；

（2）正面朝上出现的频率在［040.6］内的概率.

师生活动：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两

种结果且可能性相等，这是••个1（）重伯努利试验.闪此，正面朝1.的次数服从二

项分布.本题宜先让学生思考、讨论和探究，可以先找几名学生回答，教师进行

指导，师生共同给出完整解题过程.

解：设从="正面朝上”，则P（A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，则X〜

5(10,0.5).

恰好出现5次正面朝上的概率等价于X=5,则

P（X=5）=党x0.55x0.55=—=—;

71000256

正面朝上出现的频率在［040.6］内等价于4WXW6,则

P（4<X<6）=品x0.51°+C；。x0.5,°+C；。x0§。=怒=不

设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化学生对二项分布的理

解.发展学生数学建模和数学运算核心素养.

例2如图2是一决高尔顿板的示意图.在一决木板上钉着若干排相互平行

但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一

块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后等可能地向

左或右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右

分别编号为0，1,2,...»10,用X表示小球最后落

入格子的号码，求X的分布列.

师生活动：教师引导学生分析，小球落入哪人格

子取决于在下落的过程中与各小木钉碰撞的结果.设

试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左

下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5.

图2

在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次

碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验.

小球最后落入格子的号码等于向右下的次数，因此X服从二项分布.教师找几名

同学展示自己的解题结果后，师生一起给出完整解题过程.

解：设A二“向右下落”，则可二“向左下落”，且P(A)=PR)=0.5.因为小球

最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞

小木钉10次，所以X~3(10,0.5).十是，X的分布列为

p(X=k)=C：ox0.5%k=0,1,2,…，10.

X的概率分布图如图3

图3

设计意图；通过教师引导分析，帮助学生逐步掌握抽象模型特征的一般步骤.

钉板试验可以使学生认识到随机现象的特点，偶然中蕴含着必然的规律，提升学

生数学建模核心素养.

例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙

获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲有利？

师生活动：

教师引导学生分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获

胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分的情况表示若干事

件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有八局,

把〃局比赛看成〃重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.

学生思考、交流、讨论，教师找两名学生分别用不同的方法来板书过程.最

后师生共同给出完整解题过程.

解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有可能的比分2:0或2:1,前者是前两

局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结昊是

独立的，甲最终获胜的概率为

p,=0.62+C；x0.62x0.4=0.648.

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分30,3:1和3:2.因为每局

比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为

3332

p2=0.6+C；x0.6x0.4+C；x0.6x0.4=0.68256.

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局

数，则X~网3,0.6）.甲最终获胜的概率为

23

Pl=p（x=2）+P（X=3）=C/x0.6x0.4+C；x0.6=0.648.

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则

X~B（5,0.6）.甲最终获胜的概率为

p2=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）

=C；x0.63x0.42+C；x0.64x0.4+C；x0.65=0.68256.

因为P2>〃i，所以5局3胜制对甲更有利.实际上，比赛局数越多，对于实

力较先者越有利.

教师提出思考1：为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概塞？

实际上，当甲或者乙先胜2局时，第3局就不用比赛了.如果设想进行比赛,

第一局第二局第三局最终获胜者解法2概率解法1概率

甲赢甲0.63

甲赢0.62

乙赢甲06x0.4

甲赢

乙赢乙

乙赢

甲赢甲06x0.4

Cix0.62x0.4

甲赢甲06X0.4

甲赢

乙赢乙赢乙

甲赢乙

乙师

乙赢乙

由于0.63+0.62x0.4=0.62,因此假设赛满3局不影响甲最终获胜的概率.

教师提出思考2：归纳确定一个二项分布模剪的步骤有哪些？

教师和学生共同总结归纳.

一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：

（1）明确伯努利试验及事件・A的意义，确定事件A发生的概率

（2）确定重复试验的次数〃，并判断各次试验的独立性；

（3）设X为〃次独立重复试验中事件A发生的次数，则*~8（〃,〃）.

思考2：我们用二项分布模型解决问题时需要注意哪些问题？

教师与学生共同总结归纳.

（1）判断一个随机变量是否服从二项分布要注意以下三点：

①每次试验只有两种结果：

②在每次试验中，某事件A发生的概率是同一个常数p；

③〃次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的

结果是相互独立的.

（2）当随机变量X服从二项分布时，应该弄清楚试验次数〃和成功概率p.

设计意图：对于例3,给出了两种解法.前一种解法符合比赛实际规则，比

较容易理解，但不符合二项分布的特征.后一种解法用二项分布求解，解法较简

单，但不易理解.需要志考的问题是为什么假定赛满3局或赛满5局不影响甲最

终获胜的概率.利用不同的方法解决问题，拓展学生的思维，提高学生解决问题

的能力，同时培养他们的逻辑推理和数学建模核心素养.

4.二项分布数字特征

问题：假设随机变量X服从一项分布风〃,〃），那么X的均值和方差是什么？

师生活动：教师提出问题，学生思考讨论，先猜测X的均值和方差是什么，

学生交流讨论后展示结果.

教师可以从具体的实例引导学生.例如：抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝

上”的概率为0.5,如果抛掷100次硬币，期望有100X0.5=50次正面朝上.根据

均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们可以猜想E（X）=〃p.

不妨从简单开始，先考虑〃较小的情况.

(1)当〃=1时，x服从两点分布，分布列为Mx=o)=i—〃，尸(x=i)=〃.

经计算，均值和方差分别为E(x)=〃，/Xx)=p(l-p).

(2)当〃=2时，X的分布列为P(X=0)=(1—〃)2,p(x