重庆市复旦中学教共体2025-2026学年高一上学期二段考试数学试题（解析版）

重庆复旦中学教共体2025-2026学年度上期二段考试

高2028届数学试题

尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：

今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱.

本试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上

命题人：

一、选择题：（本大题8个小题，每小题5分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号

为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对

应的方框涂黑.

A0,1,2,3,B2,3,4,5

1.已知集合，则AB（）

A.1,2B.2,3C.1,2,3D.2,3,4

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合交集的概念运算即可.

【详解】因为集合A0,1,2,3,B2,3,4,5，

所以AB2,3．

故选：

B.

4x

2.函数fx的定义域是（）

x1

A.1,4B.1,4

C.,11,4D.,11,4

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解.

4x4x0

【详解】要使函数fx有意义，则满足，解得x4且x1，

x1x10

所以定义域为,11,4．

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故选：D.

3.已知命题p:x1,，x22x1，则p的否定为（）

A.x1,，x22x1B.x,1，x22x1

C.x1,，x22x1D.x,1，x22x1

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可.

【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：

命题p:x1,，x22x1的否定是x1,，x22x1.

故选：C.

1

4.“x1”是“1”的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系.

1

【详解】由1，解得：x0或x1，

x

1

所以“x1”是“1”的充分不必要条件；

x

故选：A

1

5.已知关于x的不等式ax2bx10的解集为1,，则ab（）

2

A.3B.1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解法可求解.

1

【详解】由题意可得1,是ax2bx10的解，

2

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1b

1

2aa2

所以，解得，所以ab3．

11b1

1

2a

故选：A.

6.设a0.30.2，b0.20.3，c0.30.2，则（）

A.abcB.cab

C.cbaD.bca

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可.

【详解】由y0.3x在R上单调递减可知，0.30.20.30.20.30.3，即ca，

由yx0.3在0,上单调递增可知，0.30.30.20.3，所以0.30.20.20.3，即ab，

综上所述，cab.

故选：B

2

7.已知fx1是定义在R上的奇函数，且fx在R上单调递增，则不等式4xfx0的解集为

（）

A.1,2B.1,01,2

C.,12,D.2,12,

【答案】D

【解析】

【分析】由奇函数的性质得f10，由fx在R上单调递增得x1时，fx0；x1时，fx0；

结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可.

【详解】由函数fx1是定义在R上的奇函数，则fx1fx1，

令x0得f1f10，所以f10，

又fx在R上单调递增，所以x1时，fx0；当x1时，fx0；

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4x204x20

4x2fx0等价于或，

fx0fx0

2x2x2或x2

所以或，所以2<x<1或x2，

x1x1

2

则不等式4xfx0的解集为2,12,.

故选：D.

a23a2b

8.已知b=+1且a0，则的取值范围是（）

4ab

511511

A.2,B.2,C.,D.,

2222

【答案】A

【解析】

2

a3a2b3a2b421

【分析】先将b=+1代入，化简消元，可得21，令t，

2

4ababa2a2a2

2

3a2b15

换元得8t，结合二次函数的图像性质即可求解.

ab416

a2

3a212

a23a2b42a212a82a6a4

【详解】由已知，b=+1，则

4aba2a24a42

a1a2

4

2

2a22a2442

21，

22

a2a2a2

11

令t，因为a0，所以0t，

a22

2

3a2b42215

则2124t2t18t，

2

aba2a2416

2

151

令ft8t0t，

4162

111

所以当t0,时，函数ft单调递增，当t,时，函数ft单调递减，

442

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2

111155

所以当t时，函数ft取得最大值，即f8，

4444162

22

151115

又f0802，f82，

41622416

153a2b5

所以函数ft在区间0,的值域为2,，即的取值范围是2,.

22ab2

故选：A

二、多选题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）在每个小题给出的四个选项中，

有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列命题中，真命题的是（）

A.所有的素数都是奇数B.xy，x3y3

C.xQ，x3QD.xR，3x2x10

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：举反例即可判断；对于B：结合f(x)x3的单调性即可；对于C：存在性问题，举一个

符合条件的例子即可；对于D：利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题.

【详解】对于A：2既是素数，也是偶数，故A错误；

3

对于B：幂函数fxx是R上的增函数，所以xy，x3y3成立，故B正确；

1

对于：令，则3，故正确；

Cx33Qx3QC

2

对于D：Δ1431110，故D正确.

故选：BCD.

10.设集合Ax|ax20,B2,5，若AB，则实数a的值可以为（）

A.1B.1

2

C.D.0

5

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意，分A和A，两种情况讨论，结合AB，即可求解.

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【详解】由集合Ax|ax20,B2,5，

当A时，即a0，满足AB；

当A2时，即a1，满足AB；

2

当A5时，即a，满足AB，

5

2

综上可得，实数a的值可以为0或1或.

5

故选：BCD.

x

11.设f(x)的定义域为(0,)，对任意x0,y0，都有f()f(x)f(y)，且当x1时，f(x)0，

y

1

又f()2.则（）

4

A.f10

B.f(x)在(0,)上为增函数；

C.f(xy)f(x)f(y)

D.f(x)f(5x)2解集为{x|0x1或4x5}

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形

即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式.

【详解】对于A，令xy1，则f(1)f(1)f(1)0，故A正确；

xx

22

对于B，令0x1x2，则1，ffx2fx10，即f(x2)f(x1)，

x1x1

所以函数f(x)为减函数，故B错误；

xy

对于C，f(x)f()f(xy)f(y)，即f(xy)f(x)f(y)，故C正确；

y

15xx2

对于D，由f(x)f(5x)2得到f(x(5x))f()0，所以f()0f(1)，

44

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x5x

1

4

于是x0，解得0x1或4x5，故D正确.

5x0

故选：ACD.

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

2

12.lg25lg8log27log22log23________.

323

【答案】2

【解析】

【分析】根据对数的运算性质求解即可.

2

2log23331

【详解】lg25lg8log227log322lg25lg8log233

3log23

lg25lg433lg1002，

故答案为：2.

x

13.函数fxalgx13（a0且a1）图象恒过的定点为__________.

【答案】0,4

【解析】

【分析】根据指数函数经过的定点即可求解.

【详解】指数函数yax（a0且a1）过定点(0,1)，

则f(0)a0lg134，即f(x)过定点(0,4).

故答案为：0,4

111

14.已知函数fxx31，若正数m，n满足ffn11，则m的最小值为_____.

2x1mn

【答案】4

【解析】

1

【分析】根据函数fx的解析式，可得fxfx1，据此得出1n，再结合基本不等式中“1”

m

的代换应用，即可求解.

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1

【详解】因为函数fxx31，

2x1

131

则fxfxx31x1

2x12x1

12x2x1

221，

2x12x12x1

1

又函数yx3在R上单调递增，y在R上单调递减，

2x1

1

所以函数fxx31在R上单调递增，

2x1

1111

又ffn11，所以n1，即1n，所以n1，

mmmm

1111

又m，n均为正数，所以mmn1mn1

nnmmn

111

即m2mn22mn4，

nmnmn

11

当且仅当mn时，即m2，n时，等号成立.

mn2

1

所以m的最小值为4.

n

故答案为：4

四、解答题（本大题共5个小题，共77分）

15.已知a1，b0，且a4b6.

（1）求ab的最大值；

14

（2）求的最小值.

a1b

9

【答案】（1）

4

（2）5

【解析】

【分析】（1）直接利用基本不等式求解最值；

（2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可.

【小问1详解】

a1，b0，且a4b6，

所以6a4b24ab，所以4ab3，

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939

即4ab9，ab，当且仅当a3，b时取等号，ab的最大值为；

444

【小问2详解】

a1，所以a10，且a4b6，

1411414b4a1

a14b116

a1b5a1b5a1b

14b4a11

1721785，

5a1b5

4b4a1

当且仅当时等号成立，即ba1，

a1b

又因为a4b6，可求得a2，b1.

14

所以的最小值为5.

a1b

16.求下列不等式的解集.

（1）x22x30；

2x3

（2）≥1；

x1

2

（3）lnx3≤1

【答案】（1）1,3

（2）,12,

（3）3e,33,3e

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的求解步骤计算；

（2）根据分式不等式的求解步骤计算；

（3）利用1lne，结合对数函数的单调性求解.

【小问1详解】

x22x30，则(x3)(x1)0，解得x1,3

【小问2详解】

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2x32x3x2(x2)(x1)0

1100，

x1x1x1x10

解得x,12,

【小问3详解】

lnx231lne，由ylnx在(0,)上递增，

不等式转化为：0x23e，即3x2e3，

解得x3e,33,3e

2m

17.已知幂函数fx3m2mx（mR）在定义域上不单调.

（1）求函数fx的解析式；

（2）判断函数fx的奇偶性，并证明；

（3）若fa1f2a30，求实数a的取值范围.

1

【答案】（1）fx

3x

（2）函数fx为奇函数，证明见解析

23

（3）,1,

32

【解析】

【分析】（1）根据幂函数定义求m的可能值，结合“定义域上不单调”的条件筛选出符合要求的m，得到

函数解析式.

（2）验证函数定义域关于原点对称，再证明fxfx，判定函数为奇函数.

（3）利用奇函数性质转化不等式，结合函数在不同区间的单调性分情况解不等式，确定实数a的取值范围.

【小问1详解】

2m1

由幂函数fx3m2mx，得3m22m1，解得m1或m，

3

若m1，则fxx在定义域R内单调递增，不合题意；

1

11

若m，则fxx3在定义域,0，0,内单调递减，

33x

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但fx在定义域,00,内不单调，符合题意；

1

所以函数fx的解析式为fx；

3x

【小问2详解】

函数fx为奇函数，理由如下：

函数fx的定义域,00,关于原点对称，

11

且fxfx，所以函数fx为奇函数；

3x3x

【小问3详解】

由fa1f2a30及fx为奇函数，

得fa1f2a3f32a，

11

即a1332a3，

而fx在,0上递减且恒负，在0,上递减且恒正，

a10

23

所以32a0，解得a；

32

a132a

a10

或32a0，解得a；

a132a

a10

或，解得a1；

32a0

23

综上，实数a的取值范围为a1或a，

32

23

所以实数a的取值范围,1,.

32

18.2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成首次弹射起飞与着舰训练，这

进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注.对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进

k

行调查后发现：舰艇模型第x天（1x30）的销售单价Px（元）的解析式为Px40（k

x1

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为常数），第x天的销售量Qx（个）的部分数据如下表所示：

x381524

Qx40506070

已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价）

（1）求实数k的值；

（2）根据表格判断①Qxpxq，②Qxpx16q，③Qxpx1q这三个函数模型中

哪个模型最符合题意，并说明理由；

（3）根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入fx（元）在哪一天最低，最低收入是多少元?

【答案】（1）k180

（2）模型③，理由见解析

（3）日销售收入在第8天最低，最低为5000元.

【解析】

【分析】（1）根据销售收入列式求解即可；

（2）根据单调性和对称性质排除函数模型①，②，将3,40，8,50分别代入模型③，即可求解解析式；

18

（3）先求得fx2002x113，然后利用基本不等式求解最值即可.

x1

【小问1详解】

k

由题意得60405100，解得k180.

4

【小问2详解】

模型③最符合题意.

理由：因为表格中Qx对应的数据匀速递增时，x对应的数据并未匀速变化，所以排除模型①.

因为Qxpx16q表示在x16两侧等距的函数值相等（即函数图象关于x16对称），

而表格中的数据并未体现出此规律（5070），所以排除模型②.

2pq40p10

将3,40，8,50分别代入模型③，得，解得，

3pq50q20

所以Qx10x120.

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经验证，15,60，24,70均满足该函数解析式，故选择模型③.

【小问3详解】

180

由（1）知Px40，

x1

18018

则fx4010x1202002x113

x1x1

18

20022x1135000，

x1

18

当且仅当2x1，即x8时，等号成立，

x1

所以日销售收入在第8天最低，最低为5000元.

19.定义在D上的函数yfx，如果满足：存在常数M0，对任意xD，都有fxM成立，

则称fx是D上的有界函数，其中M称为函数fx的上界.

x

（1）判断函数f(x)是否是R上的有界函数并说明理由；

x2x1

xx

（2）已知函数gx1a24，若函数gx在0,上是以4为上界的有界函数，求实数a的取

值范围；

1m2x

（3）若m0，函数hx在区间[0,1]上是否存在上界M(m)，若存在，求出M(m)的取值范围，

1m2x

若不存在请说明理由．

【答案】（1）f(x)是R上的有界函数；理由见解析

（2）[4,4]

（3）存在，答案见解析

【解析】

【分析】（1）考虑x0和x0两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到f(x)0,1，存

在M1，使得f(x)M，证明出f(x)是R上的有界函数；

xx

x1x1

（2）由题意可知gx4在0,上恒成立，变形得到52a32，换元后

22

maxmin

根据函数单调性得到答案；

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12m1m1m12m1m12m

（3）分离常数，得到函数单调性，故hx，分和两

12m1m1m12m1m12m

种情况，得到答案.

【小问1详解】

f(x)是R上的有界函数，理由如下：

当x0时，fx0，

x1

f(x)

当x0时，21，

xx1x1

x

11

由对勾函数性质得x2或x2，

xx

11

x11或x13，

xx

1

f(x)0或0f(x)1，

3

1

∴f(x)的值域为,1，f(x)0,1，

3

∴存在M1，使得f(x)M，

所以f(x)是R上的有界函数；

【小问2详解】

由题意可知gx4在0,上恒成立，

11

4gx4，41a()x()2x4，

22

xxx

11