江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中考试数学含解析

江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中调研测试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知直线与平行，则（

）A．4 B．5 C．6 D．73．若方程：表示圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．5．点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．6．已知是空间三个不共线向量，则“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C．0 D．8．已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（

）A． B．3 C． D．10．已知圆与圆，则（

）A．圆心距B．两圆的公共弦所在直线的方程为C．两圆的公共弦长为D．直线是两圆的一条公切线11．在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则（

）A．B．当且仅当为中点时，C．存在，使得D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题12．已知向量，，且，则.13．过点作圆的切线，则切线长为.14．已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为.四、解答题15．已知的三个顶点为.(1)求边上的中线的长；(2)求的外接圆方程.16．如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.(1)用向量表示；(2)求；(3)求向量与夹角的余弦值.17．（1）过点作直线的垂线，垂足为.①求点的坐标；②求以为直径的圆被轴截得的劣弧的长度；（2）已知点和直线（不同时为零），证明：点到直线的距离.18．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且.(1)证明：；(2)若平面平面，求的值；(3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）.19．已知曲线.(1)求曲线围成的平面图形的面积；(2)若是曲线上的两个动点，求的最大值；(3)是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

题号12345678910答案ADBDCABDBCDABD题号11答案ABD1．A根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．【详解】可化为：，∴直线的斜率为，设直线的倾斜角，则，∵，∴．故选：A．2．D利用两直线平行的充要条件列式求解即可.【详解】由直线与平行，得，所以.故选：D.3．B根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.【详解】因为方程：表示圆，则有，解得：，故选：B.4．D根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得.【详解】对于A，，向量共面，A不是；对于B，，向量共面，B不是；对于C，，向量共面，C不是；对于D，假设，则，于是，方程组无解，即向量不共面，能构成空间的一个基底，D是.故选：D5．C设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可.【详解】设对称点的坐标为，由题意可得，解得，所以点关于直线的对称点的坐标为.故选：C6．A利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解.【详解】因为实数均不为零，所以，此时向量共面，故必要性成立；因为是空间三个不共线向量，若向量共面，则存在非零实数、使得，则，取，即有，故充分性成立；所以“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的充要条件.故选：A7．B利用正三棱柱的性质计算出，，，再根据夹角公式即可求解.【详解】由题意，同理可得，因为平面，平面，所以，即，所以，所以，故直线与所成角的余弦值为.故选：B8．D易知直线l过定点，且点在圆内，结合垂直于，可得动点的轨迹方程为，由此容易得出的最大值．【详解】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，直线，易知直线恒过定点又,所以点在圆内，如图所示：

由于垂直于，则点的轨迹为以为直径的圆，线段的中点坐标为，，所以动点的轨迹方程为，又，，可得，即的取值范围为，所以的最大值为.故选：D9．BCD利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解.【详解】联立，可得，即两直线交点为.当时，直线和直线平行，不能围成三角形;当时，直线和直线平行，不能围成三角形;当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形;当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意.故选：BCD10．ABD根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D.【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径.对于A：,故A正确；对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去,得到,整理化简得,故B正确；对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误；对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确.故选：ABD.11．ABD以为原点，建立坐标系，设，根据，求得，由，可判定A正确；由，求得，可判定B正确；由，列方程方程组，可判定C错误；过作，证得即为直线与平面所成角，求得，利用换元法和函数的单调性，可判定D正确.【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，设，其中可得，因为，则，可得，所以，对于A，由，可得，所以A正确；对于B，由，可得若，可得，所以，解得，即分别为的中点，所以B正确；对于C，由，若，可得，则存在实数使得，可得，可得，因为，所以不存在，所以不存在使得，所以C错误；对于D，过点作，连接，在正方体中，可得平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以即为直线与平面所成角，在直角中，由，可得，所以在直角中，可得，令，其中，可得，且，所以，由函数在上单调递减，所以当时，，所以的最大值为，所以的最大值为，所以D正确.故选：ABD.12．/根据向量平行可知存在实数，使得，结合向量坐标运算求解即可.【详解】因为向量，，若，则存在实数，使得，可得，解得.故答案为：.13．把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可.【详解】方程可化为，圆心，半径，所以切线长为.故答案为：14．确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解.【详解】因为两条直线和都经过点，所以，，所以，分别在直线上，所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即，故答案为：15．(1)(2)（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可.（2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可.【详解】（1）由中点坐标公式得的中点，由两点间距离公式得.（2）设三角形外接圆方程为，因为点在所求的圆上，可得，解得，则外接圆的方程为.16．(1)(2)(3)（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；（2）利用向量的模与数量积的关系求解即可；（3）利用向量的夹角公式计算即可求解.【详解】（1）；（2）（3）因为，所以..由正四面体的棱长为2，可得，所以.17．（1）①；②；（2）证明见解析（1）①求得直线的方程，联立方程求解即可；②求得圆的方程，由勾股定理可得，计算即可求解；（2）方法一：求得过点和直线垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点分别作轴､轴的垂线，分别与相交于，由等面积法计算即可得证.【详解】（1）①因为直线的斜率，所以其垂线的斜率，所以直线的方程为.联立，解得.②因为，所以以为直径的圆的圆心，半径，所以圆的方程为.设圆与轴交于两点，则，所以，所以，所以所求弧长为.（2）法一：设，过点作直线的垂线，垂足为，则过点和直线垂直的直线方程为.联立，解得，所以点的坐标为.所以当时，.当时，.所以点到直线的距离.法二：过点作，垂足为.当时，过点分别作轴､轴的垂线，分别与相交于.由，得，所以，因为是斜边上的高，所以，即点到直线的距离.当时，.当时，.综上，点到直线的距离.18．(1)证明见解析(2)(3)（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而利用线面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，利用向量法可得结论；（2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求的值；（3）设，求得，利用向量法可求得，进而可求解.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，在矩形中，平面，所以平面.又因为平面平面，所以.以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，则，.所以，所以，所以.（2）.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为.若平面平面，则，得，解得，因为，所以.（3）设，则，所以.由（2）可知，平面的一个法向量，所以，得，解得.所以，所以，所以.19．(1)(2)(3)不存在，理由见解析【详解】（1）曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称.当时，曲线方程为.记圆心为，与轴分别交于两点，则，过点作，则，所以，所以.所以，所以，同理.由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积.（2）记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为，第三象限的圆心为､第四象限的圆心为.情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），.情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，（当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6.情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，（当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为.综上，根据对称性可知最大值为.（3）当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点.联立，得（*）.因为，